Об обтекании тел вращения вязкой несжимаемой жидкостью 1. Главные члены разложений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том VII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

19 76

№ 1

УДК 533.6.011.3/5:629.7.025.73

ОБ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

1. ГЛАВНЫЕ ЧЛЕНЫ РАЗЛОЖЕНИЙ

Л. А. Ломакин, О. С. Рыжов

Рассматриваются возмущения вдали от тела с круглым поперечным сечением, обтекаемого равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Выделяется класс асимптотических разложений, которые удовлетворяют требованию о конечной величине интегральных моментных характеристик течения. Приводится система парных краевых задач, возникающих при сращивании решения для внешней и внутренней областей. Решение этой системы определяет первое приближение для внешней области и второе—для внутренней. Регуляризация функций позволяет построить второе приближение, равномерно пригодное в полной окрестности бесконечно удаленной точки.

1. Точное исследование трехмерной задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью как в классической, так и в обобщенной постановке показывает [1], что всегда существует „ламинарное" решение, гладкость которого зависит от гладкости границы и граничных условий. При достаточно малых значениях числа Рейнольдса „ламинарное" решение единственно, для больших чисел Рейнольдса вопрос о единственности остается открытым.

Наряду с доказательством разрешимости краевых задач в настоящее время строго установлены законы затухания возмущений вдали от тела [2 — 5]. Соответствующие асимптотические разложения задают параметры течения в первом и втором приближениях. Однако дальнейшие попытки продвинуться в этом направлении наталкиваются на очень большие технические трудности. Естественно, возникает вопрос о разработке сравнительно простого способа, который давал бы возможность находить асимптотические разложения и при некоторых разумных ограничениях гарантировал бы единственность полученных результатов. Ниже для изучения поля скоростей у тела вращения применяются методы асимптотической теории. Как и в работе [6], посвященной обтеканию профиля крыла бесконечного размаха, параметры жидкости находятся из решения системы парных краевых задач.

Предположим, что поток обладает осью симметрии. Как независимые переменные, так и искомые параметры жидкости будем считать безразмерными. В общепринятых обозначениях систему уравнений Навье—Стокса запишем в виде

dvx | 1

дх ~ г дг

dvг . dv,

* дх ^ "г дг

dvr , dvr

dp _ 1 д \ ( dvx <М1

дх г дг Г{дг дх J

. J др д ( ävr dvx\

п дг дх дх дг '

(1.1)

Вдали от тела поток стремится к равномерному, поэтому

Vx\oo=\, = р j со== -A/Eu> (1.2)

где Neu — число Эйлера.

Среди решений уравнений Навье—Стокса, для которых выполняются условия (1.2), имеется класс потенциальных решений, удовлетворяющих дополнительному равенству dvjdr = dvjdx. При построении потенциальных решений требуется, чтобы на поверхности тела в нуль обращалась только нормальная составляющая вектора скорости. В этом классе решений сила сопротивления оказывается равной нулю. Из теории гармонических функций следует, что индуцируемые конечным телом потенциальные возмущения распространяются равномерно по всем направлениям.

С другой стороны, из опытов известно, что в потоке вязкой жидкости имеются другие, более сильные возмущения, которые сосредоточены в спутном следе позади тела. Как показывает анализ системы (1.1), вдоль парабол эти возмущения затухают значительно медленней, чем вдоль лучей. Возмущения второго типа можно назвать вихревыми, так как для них dvjdr — dvrjdx ф 0.

Теория высших приближений для пограничного слоя [7] приводит к заключению, что, кроме потенциальных и вихревых, никаких других возмущений в стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости нет. Это заключение лежит в основе дальнейшего исследования.

2. Рассмотрим асимптотическое поведение параметров потока в процессе предельного перехода R = Ух* + г2 ->■ оо, выделяя особо случаи

х = 5/Д2, г=-ч/Д, 0<£< + оо, 0<7j< + oo; (2.1)

х = г = С/Д2, (I, С) € А (6) X (С > 0)\(5 >0, С = 0); (2.2)

здесь А^+0. Переменные I, т] назовем внутренними, а С—внешними. Их можно считать изменяющимися независимо от предельного перехода Д -»■ 0 до тех пор, пока выполняется соответствующее каждой паре переменных одно из условий

Li (S, V) = ч/VТ< С, L, (!, С) = S/C < С, С > 0.

В новых переменных конечное тело задается точкой (0, 0). Граничные условия на теле отбрасываются, вместо них необходимо рассматривать бесконечный набор интегральных моментных характеристик потока.

Поскольку эллиптическим задачам свойственна высокая степень гладкости решений, положим

vx {х, г) - 1, v, (х, г) е W(!\ р (х, г) - TVEu б (2.3)

Что касается класса функций \ то определим его по аналогии с тем, как это сделано в работе [6], учитывая одновременно специфические черты, присущие течениям с осевой симметрией. Итак, если и{х, /*)е№1Л), то

со

1) и (х, г) ~ 2 М<Л (•*> ГУ> иа) е с(к) ^ (г ^ 0)1;

У=1

2) ф)(х, г) = е(")(Д)«,^, ч, Д);

8(«>,£<»)--— О при Д-*0, /я-Ьл<Л;

1 ' 1 д^д-т? н

и,-»О при ¿,-»-оо, (;, 0);

3} «</+«(*, /■) = еИ1(Д)[и/+,(6, А)+ ^,(6, Ч, *)];

У+1' У ' у+1 / 7 (2.4)

при Д -»0, /ге + га<&;

4) «(/+«(*, г) = е(,«)(Д)[и;(5, С, Д)+ /?;«■>(?, С; Д)];

лт+п ' I дт+п п'(и)

«;(и), е: (») -—/ е'.(") , —о

У+1 1 1Л 1 д5т ^п I ] ' дчт

при Д О, т. +

при Д-»0, т+

В соответствии с принятой терминологией назовем асимптотическое разложение по малому параметру Д в переменных С внутренним, а в переменных С — внешним. Связь между представлениями одного и того же параметра жидкости во внутренней и внешней областях осуществляется при помощи принципа сращивания [7] асимптотических разложений с одновременным переходом к пределам ¿,, ¿2-» + <х>.

Последнее из входящих в определение класса условий означает различный характер затухания возмущений вдоль различных направлений. В соответствии с ним, как будет показано ниже, искомые функции во внутренней области (т. е. в простирающемся за телом спутном следе) удовлетворяют уравнениям параболического типа. Потребуем поэтому, чтобы вихревые возмущения обращались в нуль при &<0. Однозначная связь между внутренними разложениями для ъх и Vг устанавливается соотношением

г Г J дх г г 1) J д£

о о

которое является интегральной формой уравнения неразрывности. Отсюда вытекает

£^>(Д) = е</»(Д) = г;.(Д), Д)=ДвДД); (2.5)

г.(Д) = ш'/Ч(Д) = е;(й(Д) = в; (Д). (2.6)

3. Подставляя внутренние разложения для параметров потока в систему уравнений (1.1) и учитывая соотношения (2.1), (2.3) — (2.5), получим

4- -1- дС^м) _ п дух\ дуХ1 др1 _ п .

"Г „ Лг, и ' Л» л? г)г, I Яу, > ~ и '

V дг1 ' де ' ¿5 V ' '

vxl^0 при % -*■ + 0, ^>0, р1 0 при -ц ~> оо;

при

Поставленная задача легко решается. Прежде всего, /»! == 0. Далее имеем

дух1 1 д дух1

= vx^0 при 1-+0, 7]>0.

ае -п ¿ч ' ¿ч

В первом приближении обобщенным решением этой задачи Коши служит функция

Наконец, поперечная составляющая вектора скорости

Множитель А2/г1 введен в выражения для и ввиду того, что искусственные малые параметры а, и Д должны выпасть из решения после возвращения к исходным переменным лиг. Порядок малости первого приближения будет определяться величиной е, при условии е, = Д2. Как показывают вычисления, коэффициент с, = —/^<0, причем означает испытываемое телом сопротивление. Формулу (3.1) можно интерпретировать как задающую сток в начале координат.

4. Подставим в систему уравнений (1.1) внешнее разложение. Принимая во внимание соотношения (2.2) — (2.4) и (2.6) и предельное условие (1.2), сформулируем следующую задачу для функций первого приближения:

д°'х1 , 1 д(&'г1) ду'х1 др\ <Эг>м др\

й 1 с ас д1 ^ аг дг-

+ = 0;

(4.1)

'Охи Р1-+0 при + С2 оо, ¿2<С>0;

Дг); Д), Д""1 Дтг, Д), ^ Д) = 0(Да/Ц) при Д 0, 0.

Кроме того, на искомое решение необходимо наложить требование, заменяющее в асимптотической теории граничные условия на обтекаемом теле. Именно оно должно задавать источник в начале координат с интенсивностью, которая равна интенсивности описываемого формулой (3.1) стока.

Из второго уравнения системы (4.1) находим р\~ — ъ'хГ Тогда из оставшихся уравнений этой системы следует, что ъ'хХ и V'г1 являются обладающими цилиндрической симметрией гармоническими функциями Однако их точный вид невозможно установить, исходя только из условий ограниченного роста, которым они удовлетворяют при приближении к полуоси (£>0, С = 0).

Рассмотрим второе приближение для внутренней Входящие в него функции удовлетворяют уравнениям

области.

¡dvx2

I Я п

др-2 d-t]

_а_ дУхъ

dri ' дц

= — Д* (.

др2 ае

,Д4

е

V дЩ

и граничным условиям

dVrj

дИ

х 1

dv,

д£

г 1

as

ar,

d (т)Р г 2)

air, '

aes

^2.^2,^2 — 0 при /I2 + if]2 00, 0<1!<С;

ПРИ ЧО-

Предельные условия при I —const, 4 -» 00 (L,

(4.2)

(4.3)

+ 00) выводятся

путем сращивания асимптотических разложений. Эта же процедура позволяет записать предельные условия при £ = сопз1:^>0, С ->- О СЬЪ -> 4 оо) для внешней области. В результате краевые задачи (4.1) и (4.2), (4.3) получаются связанными и образуют первую пару в рекуррентной системе, которая определяет поле скоростей вдали от тела вращения.

Интегрирование второго уравнения из системы (4.2) дает

= Д), (4-4)

причем 0 при Е ->- + оо. На основании принципа сращивания асимптотических разложений имеем

при С-О, £>0. (4.5)

Но тогда в силу того же принципа

при т]->оо, !>0.

Последнее условие позволяет выделить „потенциальную" часть функции их2, а требование об отсутствии вихревых возмущений в области 5 < 0 — найти оставшееся слагаемое. Действительно, обратимся к первому уравнению из системы (4.2). Принимая во внимание выражение его правой части через функции автомодельной переменной Ь1г можно определить частный интеграл из обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, фундаментальная система решений как

которого запишется

/(и. I 2 "

■(тМ'

- L2 4 L\

Д2):

Ll-\\E

1

а

—I? 4 L1

1

«К?) = f

d\L

Е*

С учетом формулы (4.4) находим в итоге

^ 2 = — ёг (5; Д) + гк;)2(б, ч; Д) + г><2>($,д)>

/ =

& L

cM'^i) In^ + IKLJ

Д2

64л

64x2

llilx)

'1 л 9~

64тс2

2 —

■L\— 1 lnL?

(¿i- 16/, 1 + 32)

64я2

L\-1

4 M

i I

(4.6)

Если положить с\ — с\1(64и2), то величина 1~2Г2(1г)^0 при

+ 0, т)>0. Для функции имеем отсюда задачу Коши

<Ч2)2

Ч2)2

= 0;

<г|(2) V* 2 '

О при

+ 0, ^>0.

Согласно принципу минимальной особенности [7], ее обобщенное решение можно представить как

пу2

Л

£2 4

Интерпретация последней формулы проста: она задает диполь в начале координат. Чтобы завершить построение ъх2, нужно установить вид функции А), которая остается пока произ-

вольной.

Результат интегрирования третьего уравнения из системы (4.2) гласит

■г»,

1 Ле

т-ч

5г+ —

1

Д1

^ г» УТ

• А,2

Чп

Д2

+ 'иг2(Ьх)

Ъг 2:

+

8л

х \Е1 \-~Li

¿2

-¿2 4

(4.7)

Как при '% Н- 0, г) > 0, так и при ■ц оо, $ > 0 функция

1

Д1

ч

1

е2 16я2 62,

Переходя здесь к переменным С, имеем предельное условие для действительно,

"Оп

2 в; ¿Г

де

1

16тс2

при С^О, 5>0.

(4.8)

Ч ---- С

Условия (4.5) и (4.8) являются теми уточнениями последних из входящих в систему (4.1) формул, которые были необходимы для построения функций и во внешней области. Начнем с решения двух вспомогательных задач для уравнения Лапласа. Первая из них ставится следующим образом:

я* + С дг дч

¿>с

Де _с?__1_

16х2 ГЗ I 2 Ч ' 2

при

0, £>0.

Вторая задача формулируется как

а2 ср(2) ^ ,

№

ДтУ

а?2

А),

а ¿<р2) 4- — — С - = 0 • С дС

йЧ

при С^О, ;>0.

Оба потенциала ч5'1' и ср<2> должны быть регулярны всюду, за исключением полуоси (|>0, £ = 0). Очевидно, что

V; 1 = д^Щ + д<рю/д1, г»; 1 = д^/дЧ Ч- д^р/К. Структура граничного условия подсказывает вид

? 1 :

Д6 С, 1

~7

Ф»)(А2)1п-^ + Ф\2) (I

в котором нужно искать частное решение первой задачи. Функции ФУ и Ф(2) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка

, ¿2ф(1) ¿ф(')

(1+^1)

<р Ф<2)

+ 312

ль*

+ 4Ф

(2) .

Ь 4Ф|1) = 0,

■4ФУ —

Ни

(4.9)

(4.Ю)

Коэффициент перед решением уравнения (4.9) выберем так, чтобы скомпенсировать особенность, порождаемую решением уравнения (4.10) у потенциала «р^ на отрицательной полуоси I. Опуская выкладки, приведем конечный результат

ФГ»=

-3/2

ф(!а,=4- {¿,(1 + ^)-3/21п[(1 + й){Ь2 + У\+Ц)] - (1 + ¡Л)-1}.

С целью регуляризации производных дур/дЬ и д^/дЧ на полуоси ($>0, С = 0) введем остаточные члены, фигурирующие в определении (2.4) класса и положим

■^(б, С; Д) =

д*

2

Д6

24

~дГ 1

при $<0,

е; 32«» £3 (1 + ¿2)5/2

при % > 0; о«1} (6, С; Д) =

оо

п

__, _4_ J

д: Е' 32л2 с8 I /2

П ^ 2

при £<0,

___ С3 >

е 24*1+ е

з/..

(1

/2^5/2 2

»X

X

Е1

1

2 Д2

^)-ш(-4-оо)]} при $>0.

(4.11)

Рассмотрим общее решение второй вспомогательной задачи. При продолжении производных и ду^/дЧ на полуось

{£>0, С = 0) положим их равными своим предельным значениям

при С -»0. В результате такого продолжения по непрерывности имеем

( 1 д<р?) ; (5, С) ¿(5> о, с = 0),

«^(Е, С; Д) = {

Я

Д); ^>0, с =

ъ'г^а, С; Д) =

. (5, С) £(£>0, С = 0),

0; £>0, С = 0.

(4.12)

Легко видеть, что функции и опреде-

лены и непрерывны всюду, за исключением начала координат, а вне полуоси (£>0, С = 0) регулярны и с точностью до трансце-дентально малых по Д слагаемых совпадают с искомыми компонентами скорости ю'хХ и

Выделим из выражений для ъх2 и сингулярные члены, которые были необходимы для сращивания разложений. Оставшиеся слагаемые в названных выражениях продолжим в область КО, обозначив

",2 =

о, КО, ($,4)^(0,0); £>0, Ч) ф (0, 0);

и =4 Г°т 2 —

'2 \0; 5<0, (I,

1 ( - - Л2

(2 — е 21

Теперь уже нетрудно установить, что функции

<ц(г*>(X, г) = е2их2 + г;+ г>;?>), ^(х, г) = дЕгиГ, + £;(«;<о <«),

задают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удаленной точки второе приближение при условии, что продолжение (4.12) производных потенциала ср<2> на полуось (5 > 0, С = 0) осуществляется регулярным образом. Исходя из этого, применим к г/*2* известное в теории гармонических функций преобразование Кельвина [8]. Поскольку в| = о(Д2), то

г*;?'.

(V, С; Д), ■

+ V2

?2 + с-

с=

52 Д. Г2

где функция и?'2' (£', С; Д) регулярна в точке {%', С) = (0, 0) и, следовательно, разлагается в степенной ряд, радиус сходимости которого равен бесконечности. Постоянная Н^12)(0, 0; Д) = 0. Аналогич-

ные утверждения справедливы и относительно величины у'г\2К Суммируя полученные результаты, в первом приближении имеем

Ej 4тг + £2)3/2 '

Д4 С J г

а! 4я (?2 + С2)3'2

(4.13)

Последние соотношения описывают источник, помещенный в начале координат. Сопоставив их с равенствами (4.11), видим, что задаваемые им возмущения по порядку величины больше тех, которые соответствуют функциям и г/У- Тем не менее эти

функции должны быть сохранены в рассматриваемом приближении, в противном случае нарушится его регулярность.

Как показывают формулы (4.6), (4.7) и (4.13), малые параметры г| = з2=:Д4. Для выполнения закона сохранения массы движущейся жидкости необходимо, чтобы с\ = 0.

Равенства (4.12) и (4.13) устанавливают вид функции

чем завершается построение главной части второго приближения во внутренних координатах. Заметим, что фигурирующий в определении (2.3), (2.4) класса остаточный член 2» Р-д автоматически находится по формулам для ^(х, г), г) и р&>(х, г), которые вводят второе приближение, равномерно пригодное во всей окрестности бесконечно удаленной точки.

1. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., „Наука", 1970.

2. Finn R. On the Stokes paradox and related questions. Nonlinear Problems, ed. by Langer R. E. Madison, Univ. of Wisconsin Press. 1963.

3. Finn R. On the exterior stationary problem for the Navier—Stokes equations, and associated perturbation problems. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 19, N 5, 1965.

4. Б а б e h к о К. И., Васильев М. М. Об асимптотическом поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от тела. ПММ, т. 37, вып. 4, 1973.

5. Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью. Матем. сборник, новая сер., т. 91, № 1, 1973.

6. Л о м а к и н Л. А., Р ы ж о в О. С. О применении метода сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений к решению задач динамики вязкой жидкости. .Ученые записки ЦАГИ", т. VI, № 2, 1975.

7. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир", 1967.

8. Kellogg О. D. Foundations of potential theory. Berlin, Springer—Verlag, 1929.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 2;IV 1975 г.