Асимптотические модельные уравнения трансзвуковых течений газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. ТАМАРОВА

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА

Получено уравнение для трансзвуковых течений газа, учитывающее поперечные возмущения, превосходящие возмущения основного потока. Указаны некоторые точные частные решения этого уравнения и их приложения к решению ряда задач.

Ключевые слова: асимптотическое разложение, дифференциальные уравнения с частными производными, трансзвуковые течения газа, частные решения.

1. Безвихревые изэнтропические течения газа в цилиндрических безразмерных координатах х, г , в описываются уравнением:

(1.1)

2 2 2 2 2 ф « + 2 ф х ф х, + 2 ф г ф г, +— фвф« + 2 ф х ф г ф гх +— ф х фвфвх +— фвф г ф гв +ф 2 ф хх +ф 2 ф гг +

г г г

+ -1- Фв Фвв - а 2 (ф хх +ф гг + - ф г + л" фвв i = 0, г v г г )

(г-1) .

а2 = рХ-1 = р х 2 Ф , + Ф 2 +Ф 2 + ^Фв

2 2 V х г 2 г2

В (1.1) Ф(х, г, в,,) - потенциал скорости, , - время, а - скорость звука, р - плотность, р - давление.

Введём для Ф(х, г,в,,) асимптотическое разложение

Ф = х + Е¥(г ,в, , 0 )+£3р(х 0, г ,в, , 0 ) , х = £Г°, , = -,0, (1.2)

где е - малый параметр. Подставляя (1.2) в (1.1) и оставляя члены старшего порядка, получим для

функции р(х0, г ,в,,0) трансзвуковое уравнение:

^0,0 +(х + 1)Рх0Рх0х0 + 2¥гРх0г Ч/вРх°в-кР+Х—-1 2У,0 + + А" Ув |рх0х0 = (13)

г 2 V г )

В (1.3) введены обозначения

- ^ (у) = V,0,0 + 2У у г, 0 + -2ГУвУа0 + V ¡V гг + А"УвУвв + ~ГУвУ У гв - ~~гV г^^

г г г г

1 1 Ар = ргг +-рг + — Рвв . г г

Функция

у(гл,0) удовлетворяет уравнению Лапласа ^ . Если у = 0 , то получим классическое трансзвуковое уравнение Линя-Рейсснера-Тзяна

2ФХ0,0 + (Х + 1рх0фх0х0 - ргг - 1 рг - Фее = 0, которое в стационарном случае переходит в уравнение смешанного типа Кармана-Фальковича:

(Х + 1)ФХ0ФХ0Х0 -ФГГ - 1 Фг - Г2Фее =

Уравнение (1.3) описывает трансзвуковые течения газа, возникающие при воздействии на обтекаемое тело бокового (по отношению к основному направлению движения, совпадающему с направлением

© Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А., 2013

оси х ) возмущения основного трансзвукового потока (для возмущающего поперечного течения Ф ,Фz ~ s, для основного течения Фу,Фz ~ s3). Для внешнего обтекания летательных аппаратов

таким возмущением является, например, боковой, меняющий свою интенсивность с течением времени ветер у = Vœ (t)г cos(e + a(t)). Для внутреннего обтекания, например для течений в соплах, таким возмущением может быть закрутка потока (у = r(t)в).

Условия на фронте ударной волны х0 = х0 (г, в, t0 ) получим из условий Ренкина-Гюгонио, подставляя в них разложение (1.2) и оставляя члены старшего порядка:

дх0 ( дх0 Ï2 1 ( дх0 ^2

2 dt0 + l дг I + r2 I дв

дх0 2 дх0 х-1U 2 1

+ 2уг 1Г+Г2-^^ V 1у + уГ + гт ув 1+

(1.4)

Х +1( * \ *

+ \фх0 +фх0 I Р = Р .

Если в (1.4) положить р = р*, то получим характеристическое уравнение для (1.3).

Запишем условия на обтекаемой поверхности, мало отличающейся от цилиндрической, задав её в виде

г = г0 (е,,0)+ г2 (х 0,е,,0 )г4 +.... (1.5)

Подставляя (1.2) и (1.5) в точное условие непротекания - Фхгх +Фг - г 2геФе = г<: и оставляя старшие члены, получим:

1 -г дг0 1 дг0 дг2

у - --е • р'- гце р'=-Х0. (16)

Значения рг, ре, уг, уе в (1.6) вычисляются при г = г0(е,t0).

Уравнение звуковой поверхности (V2 = а2) в трансзвуковом приближении принимает вид

N(у2 + -1 Уе ] + (л- 1)У 0 + (х + 1)ФХ0 = 0. (17)

Для установившихся течений (- / -, = 0) уравнение (1.3) имеет смешанный тип. Звуковая поверхность N = 0 является поверхностью параболичности уравнения (1.3), при этом в сверхзвуковой области (области гиперболичности) N > 0 , в дозвуковой области (области эллиптичности) N < 0 .

Подставляя (1.2) в выражение для давления, проводя разложение в ряд Тейлора и оставляя старшие по порядку члены, получим асимптотическую формулу для определения давления

Р = 1 (у, 0 +рх0 + + Т"7 У ). (1.8)

Укажем некоторые частные решения уравнения (1.3). Отметим автомодельный класс решений (индекс ноль у переменных х, , будем здесь и далее опускать):

у = ,, р = ,2р-1РР§,^,л) , # = 4, г

t

t

(Д+1У2

] = в + a ln t,

(2.1)

где а , ^ — произвольные числа. Подставив (2.1) в уравнение (1.3), получим уравнение для функции р = р((,^,^). Функция у удовлетворяет уравнению Лапласа: у¡-¡- + у^ + —уГ]Г] = 0.

Уравнение (1.3) допускает также решение

p = ZPk(,вtу.

(2.2)

k=0

В классе решений (2.2) в случае установившихся течений содержится решение, которое описывает течение газа в соплах Лаваля с постоянным ускорением (ру = const) и учитывает закрутку потока (у = Гв, Г = const):

Az!Г2a ln2 r +1 (х +1)2 а3r 4 2 8

р

= ax2 + (х + l)a2 r2 x +

(2.3)

При г ^ 0 составляющая скорости Уг = еърг имеет особенность 1п г / г, которая обусловлена изначально особенностью задания составляющей Ув У = еГ / г).

Уравнение звуковой поверхности для (2.3), согласно (1.7), имеет вид

Х + 1 2 x =--ar --

Г2

4ar2

При х ^ 1 влияние закрутки потока на распределение скоростей уменьшается, а особенность для рг при г ^ 0 исчезает.

дг дг \ / \

Условия (1.6) имеют вид: —- = 0, —- = рг (рг вычисляется при г = г0). Определив г0 и г2 (х),

5в дх

получим уравнение обтекаемой поверхности:

ro a2 (х + l)x2 + (х- 1)Г2 a

ln r0

1 (х + 1)

2

2 3 3

a r0

A

x + C

r0 = const .

(2.4)

Решение (2.3) можно использовать для описания течений в кольцеобразных каналах, уравнения утрен рис. 1).

внутренней и внешней стенок которых получим из (2.4) при r0 = r0(1), r0 = r0(2), r0(k) = const Ф 0 (см.

2

4

r = r0 + s

+

r

0

Рис. 1. Обтекаемые поверхности вида (2.4) при г0 = 3, г0 = 5

При Г = 0 в (2.3) получим известное решение, описывающее течение в центре сопла Лаваля. Укажем решение для случая у = Гв , обладающее свойствами: Ух,Уг,Ув ^ 0 при г ^ да

р = / (х,в)г 2 + g (г,в), А£ = 0. (2.5)

Подставив решение (2.5) и у в уравнение (1.3), получим уравнение для функции /(х,в):

(х + 1)/х/хх + 2Г/хв+(Л- 1)г2 /хх - 4 / - /вв = 0. Решение (2.5) допускает обобщение: р = / (<^,^)г 2 + g (г ,е), ^ = х + «1п г, г) = е + /\п г, «, / -произвольные числа.

3. Рассмотрим случай, соответствующий движению газа между вращающимися плоскостями е = е! ((), е = е2 ((). В этом случае

у/ = r2 (a(t )cos20 + b(t )sin 20) = r2 f (0, t), (3.1)

при этом в (1.3)

L(y) = r2 ($(a'a + b'b)+8(acos20 + bsin20)(2absin40 + a2 cos40 -b2 cos40)+a'cos20 + + b''sin 20) = r 2G(0, t). Функции a((), b(t) определяются из условий непротекания (1.6): fe(0k ((), t) = d0k (()) 8t, k = 1, 2, и соответственно равны

a(() = A0 ' cos202 -01 ' cos201 jj, b(t) = A0 'sin20 -01 'sin202jj, где A = 2sin 2( - 02).

Подставляя (3.1) в (1.3), получим уравнение для <p(x, r ,0, t):

2pxt + ( + 1)PxPxx + 4r(a cos 20 + b sin 20)pxr + 4(b cos 20 - a sin 20)px0 - Ap + + ( - 1)r2 (cos 20 + b'sin 20 + 2a2 + 2b2) = -r2G(0, t) (3.2)

Уравнение (3.2) допускает решение вида (2.2). Тогда получим систему четырёх уравнений для функций Po (r ,0, t), p(r,0, t), p2 (r ,0, t), P3 (r ,0, t):

'180 + 1P2 -AP3 = 0,

6p3t + 18(o + 1)p3p2 + 12(bcos20-asin20)p30 -Ap2 + 12r(acos20 + bsin20)p3r = 0,

4p2t +(0 + 1)(брр3 + 4p^)+ 8(b cos20- asin20)p20 - Ap + 8r(acos20 + b sin20)p2r + 1 í \ (3.3)

+ 6(0- 1)r2 ( cos 20 + b' sin 20 + 2a2 + 2b2) = 0,

2p1t + 2(0 + 1)pp2 + 4(bcos20-asin20)p0 -Ap0 + 4r(acos20 + bsin20)p1r + + 2(o-1)2(cos20 + b'sin20 + 2a2 + 2b2) = r2G(0,t) . При этом можно положить p3 = g (0, t )r-2, где g (0, t) определяется из уравнения

18(0 + 1)g2 - 4 g - g00= 0.

В частном случае, для установившихся течений рассмотрим решение

p(x, r, 0) = p2 (0)x2 +p(0)r2 x + p0 (0)r 4. (3.4)

Подставляя (3.4) в систему (3.3), получим систему трёх уравнений для функций p2(0), p1 (0), P0 (0):

( tt

P2 = 0

4(о + 1)p22 + 8(b cos20 - a sin 20)p2 - 4p - p = 0,

2(0 + 1)p Pi + 4(b cos 20 - a sin 20)p - 16p0 - p0 + 8(a cos20 + b sin 20)p + + 4(0- 1)2 + b2) = G(0)

f 8f 8 8 j Учитывая условия непротекания I —0 0 0 = 0,—— 0 0 = 0,—— 0 0 = 0, k = 0,1,2 I, получим, что

J [80\в=0,в2 ' 80 0=01 80 02 " j J '

02 -01 =~2",n , Pi = const = Q . Тогда p1 = C12 (1 + 0)+C2cos20, а функция p0 определяется из

уравнения:

р0" +16р0 = 2( +1 )Cj (Cj2 (1 + z)+C2 cos 20) - 8C2 sin 20(b cos 20 - a sin 20)+ + 8(a cos20 + b sin 20XQ2 (l + %)+C2 cos20) + 4( -1 )(a2 + b2 С - 8(a cos20 + b sin 20) ■ x X (2ab sin 40 + a2 cos40 - b2 cos 40) = H(0).

4. Рассмотрим обтекание поверхности, мало отличающейся от цилиндра (r0 = R ). В этом случае, предполагая поперечное обтекание поверхности безотрывным, положим у = Vx cos0(r + R2r-1). Тогда уравнение (1.3) примет вид

2Pxt + Or +1 )PxPxx + 2V» cos 0

R2

1 - R-

r

v j

Pxr - 2V«

sin0

2

Pxe -AP +

+ ^ VP

R 2 R

1 - 2—-cos 20 + —-

r2 r 4

v J

4

= -2

' R2 >

v r3 , v J

V3cos0

R

1 + —

v r J

' 2R2 R4

1--Г + ■ 4

rr

(4.1)

RT - 4sin2 0) .

От правой части (обозначим её а (г, в)) уравнения (4.1) можно освободиться, введя новую функцию р = р + g(г, в), Аg = а(г, в). Тогда в стационарном случае получим уравнение для функции р:

(r +1 )PxPxx + 2VOT cos0

' d2

'1 - R2 ^

r'

v J

Pxr - 2V

sin0

1+

R

2

r

v J

Px0-AP +

+ Г1 V»2Pxx

4

R 2 R

1 - 2—-cos 20 + —

r2 r 4

v J

(4.2)

= 0

Уравнение (4.2) имеет решение вида (2.2), где рк зависят от г, в, при этом можно положить

р3 = g(в)г 2 (в частности, g = 0 или g = 1/(3(х + l)cosв в)). Для течения вдали от тела (г ^ да) решение уравнения (4.2) можно искать в виде р = гЛ/(й,в)+..., й = хг-п .

Так как при Уда = 0 мы должны получить асимптотику, соответствующую классическому уравнению (х + 1)рхрхх - Ар = 0, то можно, по-видимому, положить Л = 3п - 2 . Отметим, что при формальном переходе в (4.1) при г ^ да получим предельное уравнение

M(р) = 2pxt +(r +1)PxPxx + 2VOT cos0pXr - (2/r V sin 0px0 -Ap + + (( -1) /2V^'pxx = -(2R2 / r3 V3 cos 0(1 - 4sin2 в\

(4.3)

которое в стационарном случае допускает точное решение

р = г/(й,в) + g (в)г-1, й = х / г, g(в) = -Я вУдаsinв в^в. При Л << 1 приближённое решение уравнения (4.1) в стационарном случае можно искать в виде

да ~

р = £рп(х,г,в)Я2п .

п=0

Тогда для р0 получим уравнение (4.3) в стационарном случае и без правой части МI р0 I = 0

которое имеет решение вида (2.2), где рп не зависят от ,, а также решение р0 = г/(й,}) + g(г, в),

й = х / г, } = в + а 1п г, Аg = 0. При Уда << 1 решение (4.1) можно искать в виде

да~

р = ^рп (х,г,в)Удап .

п=0

В этом случае для р0 будем иметь известное трансзвуковое уравнение (х +1) р0х р0хх - А р0 = 0 . В случае отрывного обтекания, предполагая, что с поверхности цилиндра сходят две вихревые прямолинейные пелены бесконечной длины с постоянными и противоположными по знаку интен-сивностями Г, выражение для у(г,в) можно записать в виде:

r

r

( \ œ ¥{r, в) = Vœ cos в( + Л2 / r )+ (г / (arctg ((r sin в - Л )/(r cos в - S )) -

0

- arctg((r sin в + Л))(r cos в - S ))) +

+ (г/2^)j(arctg ((r sin в((2 + Л2 )+ Л3 )/ (r 2 + Л2 )-SR2 ))-

0

- arctg ( sú^S2 + Л2 )-Л3 )/ (r cos в (s 2 + Л2 )-^^ 2)))s .

71

Точками схода вихрей являются точки r = R, в = ± — . Для определения силового воздействия на

обтекаемое тело согласно (1.8) необходимо знать 1//в(Я,в) (^r(R,$) = ü) по условию непротекания (1.6), которому функция (4.4) удовлетворяет. Определяя у/в из (4.4) дифференцированием по в и проводя затем интегрирование по S, получим

¥в (r, в) = -(Г + 2VX )R sin в + (rR / 27)(cos в ln|(l - sin в)/(l + sin в) -- 2 sin в(агctg (cos в/ (l - sin в))) + arctg (cos в /(l + sin в))).

2ж

Вклад в выражение для с0 =-|Pcos edв, соответствующий (4.4), согласно (1.8), (4.5) определя-

0

ется формулой (( = R = l):

2л

j^2ecosede = 2Г2 + 4Г, Г <-2.

о

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Vel'misov, P.A. Some classes of the solutions of aerohydromechanic equations // P.A.Velmisov, M.D.Todorov, J.A.Kazakova. - Applications of Mathematics in Engineering and Economics. - Soft trade, Sofia, Bulgaria, 2008, p.427-441.

2. Вельмисов, П. А. О параметрических решениях дифференциальных уравнений с частными производными; приложения в трансзвуковой газовой динамике / П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Журнал Средневолжского математического общества (г. Саранск). - 2010. - №4. - С. 24-30.

3. Казакова, Ю. А. О некоторых классах решений уравнений аэрогидромеханики / Ю. А. Казакова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. - №2(23). - С. 289-294.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ.

Тамарова Юлия Александровна, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.