CC BY
25
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
АРГУМЕНТ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
Р. Н. Бояринов (г. Москва) [email protected]
Настоящая работа посвящена обзору последних результатов в теории аргумента дзета-функции Римапа Б(¿). Дадим необходимые определения и опишем простейшие свойства Б(¿).
Определение 1. Для вещественного Ь, отличного от ординаты нуля ((в), положим
п V2
где arg( + it) получается, непрерывным продолжением, arg£(s) вдоль ломаной линии, начинающейся в точке s = 2 (arg Z(2) = 0), идущей к точке s = 2 + it и затем к точке s = 1/2 + it. Если, же t — мнимая часть нуля Z(s), то
S(t)= Hm + S) + S(t- 6)). ¿^+0 2
Определение 2. Для, положительного T, отличного от мнимой части, нуля Z (s), символ ом, N (T) будем обозначать число нулей дзета-функции, в прямоугольнике 0 ^ Res ^ 1, 0 < Ims ^ T. Если T совпадает с мнимой частью нуля Z (s), то положим
N(T)= lim hN{T + 6) + N{T-6)).
¿^+0 2
Нижеследующая теорема описывает простейшие свойства S (t). Теорема 1. ([1], с. 45). Справедливы следующие утверждения: S(t)
ординатами комплексных нулей Z (s).
S(t)
кратностей нулей Z (s), имеющих эту точку своей, ординатой.
3, На всяком промежутке непрерывности (7,7'), где 7,7' — соседние ординаты нулей ((в), функция Б(¿) является, монотонно убывающей с производными
<?'(*) = -^1п^ + 0(Г2) и £''(*) = --1 + 0(Г3).
Одной из задач теории аргумента дзета-функции Римана является проблема определения порядка роста величины М(Т) — числа перемен знака Б(¿) на промежутке 0 < £ ^ Т. Первый результат здесь принадлежит Г, Бору и Э, Ландау [2], которые в 1913 г, доказали существование положительной постоянной
, • , S(t) S(t)
lim int ——— = —00, limsup ——— = +00. (ln t)c t^+J (ln t)c
Отсюда следует, что функция S (t) при t — меняет свой знак бесконечно много раз, В 1946 г, А. Сельберг [3] разработал новый метод, с помощью кото-
S(t)
промежутке (T, T + H]:
М(Т + Я) - М(Т) ^ Я(1пТ)^е"С10Ж.
Длина H рассматриваемого промежутка имела вид T0'5+е, где 0 < е ^ 0, 5 —
произвольное фиксированное число.
Дальнейшее уточнение этого результата происходило по двум направлениям. Первое связано с нахождением нижних оценок разности M (T + H) — M (T) при H = T0 < a < 1/2,а второе — с заменой правой части неравенства Сельберга функцией, растущей быстрее, чем Я (In Т) з e-ci^ln lnт _ В 1981 г. А, Гош [4] доказал, что при H = T"+£
М(Г + Я) - М(Т) > Я(1пТ) ехр
где 0 < i < 1/2. При этом величину a можно брать равной нулю, если гипотеза
0, 5
Наконец, в 1996 г. А, А, Карацуба [5] доказал неравенство А, Сельберга при H = T27/82+е, Далее, в 2002 г, М, А, Королев [6, 7] доказал результат А, Гоша при H = T27/82+е, Отметим, что вопрос об истинном порядке роста M(T) при T — в настоящее время остается открытым,
В 2009 г, Р, Н, Бояриновым была доказана теорема о дробных моментах случайных величин, из которой следует более лучший результат о числе перемен
S(t) ческих сумм,
В 1998 г, Р, Вон и Т. Ву. in [8] при исследовании распределения значений некоторых тригонометрических сумм получили асимптотические формулы для
c такой, что
дробных моментов этих сумм. Изучая распределение нулей дзета-функции Ри-мана, в 2008 г, М, А. Королев [9] получил асимптотические формулы для дробных моментов некоторых характеристик этих нулей,
Р, Н, Бояриновым предлагается метод, позволяющий получать асимптотические формулы для дробных моментов случайных величин с более лучшими остатками и для более широкого множества значений параметра по сравнению с результатами работ [7-9],
Сформулируем следствие более общей теоремы Р, Н, Бояринова о дробных моментах случайных величин.
Рассмотрим полное вероятностное пространство (П, Е, Р). Пусть £п : П — Р — случайная величина, а Fn(x) = Р(ш : |£п(ш)| < х) — функция распределения, где п — некоторый вещественный параметр, а х > 0. Обозначим та(п) =
[ xadFn(x) — а-ый момент случайной величины Пусть, далее, [х] — целая о
х
Теорема 2. (Р. Н. Бояринов) Пусть существует абсолютная постоянная n0 ^ 1 такая, что для, любого n > n0 и любых целых чисел, 1 ^ v ^ [g ln f (n)] + 1, где 0 < g ^ 0.1 — некоторая, постоянная, справедливо следующее равенство:
т2и{п) = a2v(l + j^j , \в\ ^ 1,
где f (•) — вещественнозначная функция и lim f (x) = а a2v — некоторая последовательность положительных чисел. Тогда, найдется вещественное число ni > n0 та, кое, что для, л, юбого n > щ и любо го 0 < а ^ 0.5g ln f (n) справедливо равенство:
ma(n) = ß(a) + вЯп, где ß(a) — некоторая функция параметра а И ^ 1 и
Rn
Ri
R2 R3
0 <а< 30;
216+2«
Vlnf(n) < а ^ 0.5ßln f(n);
' 222 ln ln f (n)
Ri
g+1 + ,5
211-Й /922 f(m\\ 2~
gln f (n)
R2 = 27ß(a)
g + 1 + ,5
( 212+2йа2 ln f \
gln f (n)
а
р о2+й / \ ( eV^fjn) R3 = 2 + ц(а) exp I--^^
[2°-5аГ (0.5а + 0.5) тг"0'5, если a2v = и 5 = 0; ^(a) = < 2 v
I Г (0.5a + 1), если a2v = v! и 5 =1,
где Г(-) — гамма-функция Эйлера.
Замечание 1. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае: относительно предельного распределения, F(x) будем предполагатьь, что F(x) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица (существует такая абсолютная, постоянная L > 0, что для, любых x, y g r выполняется неравенство: |F(x) — F(y)| ^ L|x — y|).
Приведём несколько примеров применения теоремы 2.
Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 2 из работы [7, с. 63]
Теорема 3. (Р. Н. Бояринов) Для, любого 0 < е < 10-3 существует число Ti = Ti(e) > 0 такое, что для, любого Т ^ при Н = Т§з+е и х = Т°'1е и любых
0 < а ^ '"бь'д1 и 3(lnlnT)(lnx)_1 < h ^ (1пТ)-0'5 выполняются следующие равенства:
T+H
Г (lnln T )a/2
J \S(tTdt=[ J Н (v(a) + 6Rt{ol)) ,
T
T+H h " ' '
J J S(t + u)du
T 0
где Б = e40e"3, v(a) = у ), |0| ^ 1, ^ 1, о
Ri, 0 < a < 30;
dt = K ' H (via) + вгRT(a))
(W 2)a
a
Дт(а) = { R2 , ;
p Vln In In T ^ / In In In Г .
Лз ' 218 In В ^ " ^ 16 In В '
a+l
211 /225(1пБ)1П1П1П1ПТ\ 2
In In In T у
215о;2(1пД)1п(^п'п1пТ'
» 2a
R2 = 27 -v(a)
a + l 2
ln ln ln T
/ VlnlnlnT^ i?3 = 4 ■ ^(a)exp (--222 ьд •
Замечание 2. Формулы, теорем,ы, 3 с Н = Т£ и х = Т0'05£ справедливы, для всех Т Е (X, 2Х), X ^ Х0(е), за, исключением значений, образующих множество Е с мерой шев(Е) < X 1-0>°4£.
Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 3 из работы [7, с, 69],
Теорема 4. (Р. Н. Бояринов) Для, любого 0 < е < 10-3 существует число Т\ = Т\(£) > 0 такое, что для, любого Т ^ Т\ при Н = Т^+£ выполняется следующее неравенство
М (Т + Н) - М (Т) > Н (1п Т) ехр ( -где С = 2411п В, В
С(1п 1пТ) 1п 1п 1п 1пТ\ 1п 1п 1п Т
е40е-3.
Замечание 3. Неравенство теоремы 4 с Н = Т£ справедливо для, всех Т Е (X, 2Х), X ^ Х0(е), за, исключением значений, образующих множество Е с мерой шев(Е) < X 1-0>04£.
Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 3 из работы [9].
Теорема 5. (Р. Н. Бояринов) Для любого 0 < е < 10-3 существует натуральное число N1 = ^1(е) > 0 такое, что для, любого натурального
выполняются следующие
N ^ N1 при, М равенства:
и любого 0 < а ^
1п 1п 1п N 161пА
Е 1дп1с
N гСи^М+М
(1п1п Н)а'2 (тгл/2)а
М (и(а) + вЯм(а))
где А = е38'4е-3, и (а) = 2а5аГ (0.5а + 0.5) п-0'5, |0| ^ 1, о
Я1
Ям (а) = { Я2 Я3
0 < а < 30 ;
зп < гу < v1"•
ои ^ а ^ 218 ЫА ,
У1п 1п 1п N ^ п 1п 1п 1п N . 2181п А ^ " ^ 161пА '
Я1
1п 1п 1п N
Я2 = 27 ■ и (а)
а+1
2й ( 225(1п А) 1п 1п 1п 1п ^ 2
а
2150!2(1п А) 1п(^п1п1п^
а+1 2
1п 1п 1п N
Я3 = 4 ■ и (а) ехр I —
л/1п 1п1п Л^
222 ЫА
Замечание 4. Формулы, теорем,ы, 5 с М = ] справедливы, для всех N Е (X, 2Х), X ^ Х0(£), за, исключением значений, образующих множество Е с мерой шев(Е) < X 1-0'04е.
Иной подход к исследованию величины М (Т) был предложен Дж. Мюллер [10], Пусть Т > 0 — достаточно большое число. При каком значении А промежуток (Т — А,Т + А] будет содержать точку перемены знака функции Б(£)?
А
положить равной с11п1п1п Т, где с1 > 0 — абсолютная постоянная.
Используя идею Дж, Мюллер, М, А, Королев [11] в 2005 г, получил без-
Т, А.
была доказана следующая теорема.
Теорема 6. (М. А. Королев). Пусть £ — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < £ < 0, 001, Т ^ Т0(£) > 0, Я = Т27/82+£, А = 4, 391п1п1п1пТ. Тогда, интервал (£ — А, £ + А) содержит точку перемены знака, функции Б(£) при любом, Т ^ £ ^ Т + Я, за, исключением значений из множества Е с мерой шев(Е) = О (Я(1п1п Т)-0'5).
В 2009 г, Р, Н, Бояриновым был получен более лучший результат.
Теорема 7. (Р. Н. Бояринов) Для, любого 0 < £ < 0,001 существует вещественное положительное число Т0(£), такое, что для, любых Т ^ Т0(£), Я = Т27/82+е и А = 4, 391п1п1п1п Т интервал (£ — А, £ + А) содержит точку перемены знака, функции Б(£) при любом, Т ^ £ ^ Т + Я, за исключением значений из множества Е с мерой шев(Е) = О (Я(1п1пТ)-1(1п1п1пТ)-0'5), постоянная под знаком О абсолютная.
Следующей важной задачей теории дзета-функции Римана является проблема роста функции Б(£). Известно, что функция Б(£) при £ ^ меняет знак бесконечно много раз, но в то же время может принимать сколь угодно большие по абсолютной величине как положительные, так и отрицательные значения,
В 1946 г. А, Сельберг [3] доказал неравенства
А
путей уточнения этих оценок состоит в замене правых частей неравенств (1) большими величинами.
Так, в 1977 г, X, Монтгомери [12], пользуясь гипотезой Римана, установил существование на любом промежутке (Т 1/6,Т) точек £0 и для которых
, , г^чч „ (1п Т )1/3 8ПР (±8(1)) > А у '
(1п 1п Т ) 7/3
(1)
В 1986 г. К, М, Тсанг [13] усилил результаты А. Сельберга и X, Монтгомери и получил неравенства
sup (±S(t))>Ai-^-]a, (3)
T<t<2t \lnln T )
в которых A > 0 — абсолютная постоянная, а величина а берется равной 1/2, если гипотеза Римана верна, и равной 1/3 в противном случае.
Иной путь уточнения неравенств (1) — (3) состоит в замене промежутка (T, 2T), на котором изучаются верхняя и нижняя грани S (t), на более короткий промежуток (T, T + H), 0 < H < T.
М. А. Королев [14] в 2005 г. доказал следующую теорему
Теорема 8. (М. А. Королев). Пусть T > T0 > 0, (InT)(lnlnT)-3/2 < H < T. Если гипотеза Римана, верна, то справедливы, неравенства
, ^ 1 ln H sup (±S(t)) ^
Т-На^т+2Н 90п V 1п1п Н
В 2009 г, Р, И, Бояринов доказал теорему о больших значениях функции Б(¿), но при меньших значениях Н.
Теорема 9. (Р. Н. Бояринов) Существует абсолютная положительная постоянная Т\ такая, что для, любых вещественных чисел, Т > Т\ и л/1п 1п Т ^ Н ^ (1пТ)(1п1пТ)~3/2 при справедливости гипотезы, Рим,а,на, будут верны неравенства
^ 1
вир (±ЬЩ) ^ --—-—— .
т-н^1т+2н 9001п 1п Я
Следующей важной задачей теории дзета-функции Римана является проблема кратных нулей дзета-функции Римана ((в).
Определение 3. Обозначая, через к(р) кратность н у ля р, для, целого ] ^ 1 величину N (Т) положим равной числу различ,них нулей р дзета-функции, с условием к(р) = ордината которых положительна и не превосходит Т.
Известно, что если точка Т = 7 является ординатой нулей р1,..., рт, то при переходе через эту точку функция N (Т) совершают скачок на величину, равную сумме кратноетей этих нулей: N(7 + 0) — N(7 — 0) = к(р1) + ■ ■ ■ + к(рт).
А. Фуджи [15] в 1975 г, доказал неравенство А^-(Т) ^ М(Т) ехр(—с^/]), в котором с - положительная абсолютная постоянная, ] - достаточно большое целое число, Т > Т0(]) > 0.
В 2006 г, М, А. Королёв [16] доказал несколько утверждений, уточняющих неравенство Фуджи,
£
рованное число, 0 < £ < 0.001, Т > Т0(£) > 0, Я = Т27/82+£. Тогда для любого целого ? ^ 1 имеет место оценка: Nj (Т + Я) — Щ (Т) ^ е7'2^(Т + Я) — М(Т))еМ~"оЛ, где я0 = В = е377г"2.
Теорема 11. (М. А. Королев). При любом ? ^ 1 и Т>Т0 > 0 справедлива оценка
N(Т) ^ с^(Т) exp(—с?), г<?е С1 = е7'3, с = е-30'3.
В 2009 г. Р. Н. Бояринов получил качественно новые оценки кратных нулей. Из этих оценок следует, что плотность нулей дзета-функции Римана, кратность которых больше некоторой постоянной ?0, те превосходит 10-12.
£
рованное число, 0 < £ < 0.001, Т > Т0(£) > 0, Я = Т27/82+£. Тогда, для, любого целого ? ^ имеет место оценка
2ке3'1
Щ(Т + Я) - Щ(Т) ^ (1_е_3)2(Л^(Г + Я) - ЩТ)) ехр(-х?),
где я = В = е377г"2, = (з + 0.1х + 2 (1.5ее)2/3) /я.
Замечание 5. Неравенство из теоремы 12 при Я = X£ справедливо для, всех Т из промежутка (X, 2X), X ^ X0(£), за, исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит X 1-0'01£.
Замечание 6. При Я = Т27/82+£ для любого целого ? ^ верно неравенство
— Щ(Т + Н)~ Щ{Т) ^ 2хе3
1Ш1 ---Ч—1- С -:-Г-Г ехр( —Х7),
т^+со Ж(Т + Я)-Ж(Т) (1-е-3)2 где я = В = е377г"2, ^ = (з + 0.1х + 2 (1.5ее)2/3) /х.
Теорема 13. (Р. Н. Бояринов) При любом ] ^ ^ и Г > Т0 > 0 справедлива, оценка
3'2
Щ{Т) ^/ЗЩТ)ехр{-щ), где а = -^Ю^е"19'5, [3
(1 — е-3)2
Другой важной задачей теории дзета-функции Римана является изучение распределения расстояния между последовательными нулями дзета-функции Римана ((в), лежащими в критической полосе 0 ^ Ие5 ^ 1. Количество N(Т) таких пулей с условием 0 < 1ш 5 ^ Т выражается следующей формулой Рима-на-Мангольдта
ЩТ) = ЦТ) + Б(Т) + -6(Т),
п
где Ь(Т) = — ^ + - аргумент дзета-функции Римана, а 8(Т) -
гладкая функция, производная которой имеет оценку вида: '(Т)| < Т-2.
Перенумеруем мнимые части нулей ((в) в критической полосе в порядке возрастания, а в случае совпадения нескольких ординат - в произвольном порядке: 0 <71 <72 < ■ ■ ■ ^ 7и ^ 7п+1 ^ ■ ■ ■ .
Существует несколько утверждений, указывающих на то, что случаи, когда расстояние между последовательными ординатами велико, встречается достаточно редко.
Далее, если Л ^ А0 > 0, а целое число г удовлетворяет уеловию 1 ^ г ^ А-1Т 1п Т, то для числа иг тар тп, 'Уп+г, удовлетворяющих условиям
1п+т — 1п . 2пЛ ~ ^ . ОТ1
г 1п(Т/(27г))'
А, Фуджи [17 ] получил следующую оценку:
иг ^ ClN(Т)ехр(—с(Лг)2/3(1пАг)-1/3),
с, с1
ство ординат с условия ми Т < уп ^ Т + Н, Н = Т 1/2+е, тп+1 — 7п ^ Л(1п Т )-1 не превосходит c1(N (Т + Н) — N (Т)) ехр(—сЛ).
Одним из следствий теоремы А. Фуджи об оценке иг явилась верхняя оценка суммы
Бк (Т) = £ (7п+1 — 1п)к
0.5Т<7п^Т
вида: ^ с(к) = (сх/с3/21п(к + 3))к, где к — целое число, 1 ^ к ^
с2(Т 1пТ)2/3, а с1;с2 — некоторые абсолютные положительные постоянные,
В 1990 г. А, Фуджи [19] улучшил свой результат при к = 2, получив более точную оценку:
\ , ,, ____2тгТ
0.5т<7„5ст ш 2тг
(7п+1"7п)2 ^8.55^, Т>То>0. 1п ■
Далее, М, А, Королев в 2007 г, [20] и в 2008 г, [21] опубликовал две работы, в которых уточнял результаты А, Фуджи и А, Ивича, Заметим, что в данных работах М.А, Королева содержится ошибка, заключающаяся в том, что он пользуется ошибочной формулой о числе нулей дзета-функции Римана, лежащих в критической полосе 0 ^ И,е в ^ 1.
В 2009 г, Р, Н, Бояринов устранил ошибку М, А.Королева и получил качественно новые результаты. Из этих результатов следует, что плотность соседних нулей дзета-функции Римана, расстояние между которыми больше 1п(гд2тг)) > гДе Л больше некоторой постоянной Л0, те превосходит 10-12.
Теорема 14. (Р. Н. Бояринов) Пусть е — сколь угодно малое фиксированное число, 0 < е < 0.001, Т > Т0(е) > 0, Я = Т27/82+£. Тогда, для любого Л ^ 4к-1 для, количества, V (Л; Т, Я) ординат 7„ нуле и ((з), удовлетворяющих условиям
7п+1 - 7п ^ 77^77^7, Т < 7„, 7„+1 ^ Т + Я 1п(Т/(2п))
имеет место оценка
е3
//(Л; Т, Я) < — (ЛГ(Т + Я) - ЛГ(Т)) ехр(-хЛ), Л
где х = |е"19-^1-5 .
Замечание 7. Неравенство из теоремы 14 при Я = X£ справедливо для, всех Т из промежутка (X, 2Х), X ^ Х0(е), за, исключением значений из некоторого множества, мера которого не превосходит X 1-0-01е.
Теорема 15. (Р. Н. Бояринов) При любом Л ^ 4/к1 «Т>Т0 > 0 для количества, V(Л; Т) ординат 7„ нулей ((з), удовлетворяющих условиям
7п+1 - 1п > 1 , 0.5Т <7„ ^ Т
1п(Т/(2п))
имеет место оценка
е3 9П
//(Л; Т) < —-]У(Т) ехр(—^Л), где XI =
Л ^ " V ^ 1 е19-5 ■ 106
Теорема 16. (Р. Н. Бояринов) Пусть Т ^ Т0 > 0, к - произвольное положительное число, а, Бк (Т) - сумма, определенная выше. Тогда, имеет место оценка:
Бк (Т) ^
к (4* + 2.5е4х1Г(к)) (^ет) * ЩТ) , к > 1; где н\ = е19.в^10б; Г(-) - гамма функция.
Теорема 17. (Р. Н. Бояринов) Пусть Т ^ Т0 > 0, к - произвольное положительное число, а, Бк (Т) - сумма, определенная выше. Тогда, имеет место оценка:
^ (Т) ^
к
( 4.1 1П(Т/(27Г)) )
В 2009 г, Р, Н, Бояринов предложил метод, позволяющий получить оценки скорости сходимости распределений случайных величин и использующий только асимптотические формулы для чётных моментов. Были доказаны следующие утверждения.
Теорема 18. (Р. Н. Бояринов) Пусть существует абсолютная постоянная п0 ^ 1 такая, что для, любого п > п0 существует натуральное число N = N(п) ^ 3 такое, что для, любых целых чисел, 1 ^ V ^ N справедливо следующее равенство:
m2v (n) = (Г2Л 1 +
f (n)
И ^ 1,
где f (•) — вещественнозначная функция и lim f (x) = а,
а2v — некоторая, последовательность положительных чисел. Тогда, найдется вещественное число n > n0 та кое, что для, любого n > n\ и любо го a > 0 справедливо равенство:
Fn{a) = F(a) + R„, ¿de < 6 №ü±I> +-U 3"
y/N
2N f(n)
1 - e-
F (a) =
Следствие 1. Если N постоянная, то
если a2v = v!;
-/= J е 2 если = ■ 0 '
[х1п/(п)] + 1, где 0 < х ^ ^ — некоторая,
^ 16201п 1п ¡{у) л/ х1п/(п)
Замечание 8. Подобного рода утверждение верно и в более общем случае: относительно предельного распределения, Е(х) будем предполагать, что Е(х) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица (существует такая абсолютная, постоянная Ь > 0, что для, любых х, у Е Е выполняется неравенство: |Е(х) — Е(у)| ^ Ь|х — у|).
Теорема 19. (Р. Н. Бояринов) Пусть существует абсолютная постоянная п0 ^ 1 такая, что для, любого п > п0 существует натуральное число N = N(п) ^ 3 такое, что для, любых целых чисел, 1 ^ V ^ N справедливо следующее равенство:
m2v (n) = (2v ( 1 +
в
f (n)
|в| ^ 1,
где f (•) — вещественнозначная функция и lim f (x) = Пусть для a2v
справедливы неравенства: 0 < a2v
^ (Cv)v{2-&] , где C > 1, 0 < 5 < 2 — некоторые постоянные.
2
Тогда найдется вещественное число п > п0 такое, что для любого п > щ и любого а > 0 справедливо равенство:
Ега(а) = Е (а) +
янная, то
450МС (1п1п / (п))2
, /224С(1пN +1) 1 где
М = тах(2В2, 6Ь), В = [4С] + 1. Следствие 2. = ^ +1, где 0 < х ^ ^ — некоторая, посто-
х(1п/(гг))2
Приведём несколько примеров применения теоремы 18 и её следствия 1,
Справедлива следующая теорема, являющаяся уточнением теоремы 2 из работы [22],
Теорема 20. (Р. Н. Бояринов) Пусть 0 ^ ш ^ 1,п — натуральное число и их — последовательность натуральных чисел, такая, что ^ ¡3 > 1. Пусть, далее, Б(ш; п) = ^ е2пгшМх, СуМмирование ведется, по натуральным
числам, х. Тогда, найдется натуральное число щ такое, что для любого п > П1
и любого а > 0 для функции распределения Еп(а) величины равенство:
4600v/ElCo 1п 1п п
справедливо
Ега(а) = 1 - е-а + |Я„| ^
VI
пп
где с0 =
Справедлива следующая теорема, являющаяся улучшением теоремы 6 из работы [7, с, 83],
Пусть к — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам
3(1п 1пТ)(1пх)-1 < к ^ (1пТ)-0'5,
где х = Т0'1е.
Рассмотрим две измеримые функции
... ЗДтгл/2 .. +
л/1п 1п Т '
Пусть ЗД) = : |<еС^>I < У) = : Ш\ < У) и
Ст(у) = Р(£ : < у) = -^-тев^ : < у) — функции распределения £(£) и
Теорема 21. (Р. Н. Бояринов) Для любого 0 < е < 10-3 существует число Т\ = Т\(£) > 0 такое, что для, любого Т ^ Т\ при Н = Т^+£ выполняются следующие равенства:
у ._
FT(у) = -= / в"" dt + RT, Rt ^- . -;
J Vlnlnln T 0
_ , ч 2 } t2 , . , . , 213лЛп~В In In In InT
у In J v in in in T
0
где B = e40e-3.
Замечание 9. Формулы, теоремы 21 с H = T£ и x = T°'05e справедливы, для, всех T g (X, 2X), X ^ X0(e), за, исключением значений, образующих множество E с мерой mes(E) < X 1-0>°4£.
Замечание 10. Используя, оценки для, нечетных моментов величин, £(t) и n(t) можно н,ем,н,ого улучшить остаточные члены, в асимптотических формулах в теореме 4 и получить оценки вида: rt = 0 (VlJnlnT) , R'T = 0 •
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Карацуба А. А,, Королев М, А. Аргумент дзета-функции Римана // Уеп, матем. наук, т. 60, №3(363), е. 41-96 (2005).
[2] Bohr Н,, Landau Е, Beitrage zur Theorie der Riemannsehen Zetafunktion // Math. Ann. 1913. 74, N1. 3-30.
[3] Selberg A. Contributions to the theory of the Eiemann zeta-funetion // Arch. Math. Naturvid. 1946.48, N5. 89-155.
[4] Ghosh A. On Eiemann's Zeta-funetion — Sign Changes of S(T) // Recent Progress in Analytic Number Theory, 1, 1981 Academic Press, New York.
[5] Карацуба А. А. О функции S(t) // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. 60. Ка5. 27 - 56.
[6] Королев М. А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой //Тр. Мат. Ин. В.А.Стеклова. 2002. 239. 215-238.
[7] Карацуба А. А., Королев М. А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Усп. мат. наук, 2006, 61, №3(369), 3-92.
[8] Vaughan Е, С,, Wooley Т. D, On the distribution of generating functions // bull. London Math. Soe., 1998. 30. 113-122.
[9] Королев M. А. Гипотеза Сельберга о распределении значений мнимых частей нулей дзета-функции Римана // ДАН, 2008, 421, .№3, 308-311.
[10] Mueller J. Н, On the Riemann zeta-funetion Z(s)—gaps between sign changes of S(t) // Mathematika. 1983. 29, N58. 264-269.
[11] Королев M. А. Изменение знака функции S(t) на коротких промежутках // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, №4. 75-88.
[12] Montgomery Н. L. Extreme values of the Riemann zeta-function // Comment. Math. Helv. 1977. V. 52. №4. p. 511-518.
[13] Tsang К. M. Some il-theorems for the Riemann zeta-function // Acta Arith, 1986. V. 46. №4. p. 369-395.
S(t)
жутках // Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 115-124.
[15] Fujii A. On the distribution of the zeros of the Riemann zeta function in short intervals // Bull.Amer.Math.Soe., 81:1 (1975), 139-142.
[16] Королев M. А. О кратных нулях дзета-функции Римана // Изв. РАН. Сер. матем., 2006, 70:3, 3-22.
[17] Fujii A. On the difference between r consecutive ordinates of the zeros of the Riemann zeta-function // Proc. Japan Acad., 51:10 (1975), 741-743.
[18] Ivic A. On small values of the Riemann zeta-function on the critical line and gaps between zeros // Liet. Mat. Rink., 42:1 (2002), 25-36.
[19] Fujii A. On the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function // Proc. Japan Acad. Ser. A Math.Sei., 66:4 (1990), 97-100.
[20] Королев M. А. О больших расстояниях между соседними нулями дзета-функции Римана // ДАН. Матем. 2007. 417. №6. 738 - 741.
[21] Королев М. А. О больших расстояниях между соседними нулями дзета-функции Римана // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. 72. JYe2. 91 - 104.
[22] Бояринов Р. Н., Чубариков В. Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи // ДАН, 2001, 379, JVH, 9-11.
Московский государственный универеиет им. М. В. Ломоносова
Получено 23.05.2010
