CC BY
18
БОТ: 10.15587/2312-8372.2018.135843
ЗАСТОСУВАННЯ СПОСОБУ АГРЕГУВАННЯ ЕЛЕМЕНТ1В У ФОРМАЛ1ЗОВАНОМУ ГЕОМЕТРИЧНОМУ МОДЕЛЮВАНН1 БАГАТОФАКТОРНИХ ПРОЦЕС1В ГЕОМЕТРИЧНО1 ЕКОНОМЕТРИКИ
Адоньев С. О., Найдиш А. В.
1. Вступ
Задачi геометрично! економетрики [1] потребують створення для кожно! з них рiзних моделей. Практично, тд кожну задачу розробляеться своя модель, при цьому, iснуючi методи математичного моделювання розрахованi на використання обмежено! кiлькостi факторiв, що можуть бути включен до моделi. Тому завжди, перед створенням модел^ необхiдно зробити анаиз кожного з факторiв щодо його впливу на адекватнiсть процесу. У разi виникнення неадекватностi, необхщно якiсно i кiлькiсно змiнити вихщш фактори, а це, практично, завжди тягне за собою змшу, уточнення або, взагаш, перебудову моделi. У зв'язку з цим, створення ушверсальних моделей для будь-яких задач гометрично! економетрики, що можуть враховувати будь-яку скшчену множину факторiв багатофакторних процешв, е задачею актуальною i являе собою науково-прикладну проблему. При цьому, комп'ютерна реалiзацiя повинна бути розрахована на звичайний персональний комп'ютер середньо! потужностi, а програмна реалiзацiя повинна бути маловитратною за комп'ютерними ресурсами i пристосованою до реаизаци у комп'ютерних iнформацiйних системах та автоматизованих робочих мiсцях. У такiй постановщ проблема розглядаеться уперше.
2. Об'ект досл1дження та його технолог1чний аудит
Об'ектом дослгдження е моделювання багатофакторних систем в сферi геометрично! економетрики. Моделювання економiчних, технологiчних та будь-яких шших процесiв, якi вщбуваються на реальних суб'ектах господарювання, мае сво! особливостi. Зокрема, його метою е надання пiдrрунтя для прийняття оптимального управлiнського рiшення у тш сферi дiяльностi, яка моделюеться. Наразi розроблено широкий спектр методiв i моделей.
Одним з найбiльш проблемних мюць е необхiднiсть врахування велико! кiлькостi вихщно! шформацп рiзноl фiзичноl природи. Це значно ускладнюе модели Адекватнi моделi е складними, зi значними обмеженнями по кiлькостi факторiв, не унiверсальними.
3. Мета та задач1 досл1дження
Мета дослгдження - запропонувати, у формалiзованому геометричному моделюванш багатофакторних процесiв, спосiб створення ушверсальних моделей. Цей спошб повинен бути здатен враховувати будь-яку скшчену множину факторiв, кшьюсть i якiсть яких можна було б змiнювати без перебудови, при цьому, само! моделг
Для досягнення поставлено!' мети необхщно виконати таю задача
1. Проанаизувати iснуючi рiшення поставлено! проблеми.
2. Дослщити особливостi апарату точкового числення Балюби-Найдиша в контекстi моделювання багатофакторних систем.
3. Сформувати послщовнють побудови формашзовано! геометрично! моделi з використанням точкових агрегатiв, а також визначити и переваги та недолiки.
4. Дослщження iснуючих р1шень проблеми
В галузi математичного моделювання енергозберiгаючих заходiв в комунальному господарствi плiдно працюють вчеш наукових шкiл Ки!вського нацiонального ушверситету будiвництва i архiтектури, Нацiонального техшчного унiверситету Укра!ни «Ки!вського полiтехнiчного шституту» та iнших [2]. Зокрема, створено значний доробок геометричного моделювання в енергозбереженш, в тому числ^ в будiвництвi, вентиляцii, освiтленнi та теплогазапостачанш [3]. Також розроблено цiлий спектр моделей в будiвництвi, енергогенеруваннi та енергоспоживанш. Геометричнi моделi енергоефективних будiвель запропонованi в роботах [4, 5], а моделi мiських мереж висвплеш у роботi [6]. В економщ, зокрема, фiнансах, оцiнцi активiв та ризиюв при iнвестуваннi також юнуе значний доробок моделей [7-9].
Однак, проблема створення ефективно! системи шдтримки управлiнських рiшень на базi поеднання вшх галузей мунiципального господарства в однш системi моделей, на раз^ ефективно не вирiшена. Зокрема, модель TRACE [10] недостатньо враховуе локальш особливосп, результати дуже приблизнi i не завжди е оптимальними.
У роботi [11] у найбшьшш мiрi вказано на шляхи розв'язання задач багатофакторного моделювання. У прийнятт ефективних управлшських рiшень, моделювання виступае, практично, единим шструментом до^дження складних економiчних систем. Аналiтичнi методи для вивчення реальних складних багатофакторних систем е малоефективними, оскiльки зi збiльшенням складностi системи виникае рiзке збiльшення обчислювальних операцiй, якi, до того ж, через це не завжди надають адекватний розв'язок.
У робот [12] було запропоновано та вказано на можливють застосування точкового БН-числення для розв'язання багатофакторних задач геометрично! економетрики. Розвиток точкового числення Балюби-Найдиша (БН-числення) надае широю можливост формаизованого геометричного моделювання для складних багатофакторних задач. У цих роботах розглянуто деяк з ушверсальних формаизованих геометричних моделей, придатних для створення поверхонь вщгуку, побудова яких необхщна для прийняття управлiнських рiшень.
5. Методи дослщжень
При дослiдженнi були використаш наступнi науковi методи:
метод анашзу при вивченнi iснуючих методiв моделювання багатофакторних систем;
- метод класифшацп при виявленш типових проблем моделювання процесiв на реальних об'ектах як багатофакторних системах;
- методи точкового числення Балюби-Найдиша як шструменти формалiзацii вихiдних даних, складання точкових форм i побудови моделц
- метод узагальнення при визначенш унiверсальних властивостей одержаноi моделi.
6. Результати досл1дження
Точкове БН-числення [13] е геометрiею вiдношень однорiдних геометричних фiгур або iхнiх властивостей метричного характеру, як визначенi у одному симплекс та вiдповiдають необхiдним умовам щодо параметрiв. Пояснимо на прикладах, про яю умови йдеться. Нехай точки А i С визначають пряму а, точки В i D визначають пряму Ь (рис. 1).
с
А
Рис. 1. Приклади прямих та вiдрiзкiв, що не застосовуються у точковому
численш Балюби-Найдиша
Вщношення — або — не мають шякого сенсу для точкового БН-числення
Ь а
да
взагаи, тому що з математичноi точки зору вони вщповщають вщношенню —.
да
Тому у точковому БН-численш розглядаються не вщношення прямих, а тiльки вiдношення певних вiдрiзкiв на цих прямих, або на ламанш лiнii, ланки я^' е прямимн. При цьому, два вщлзки, вщношення яких визначаеться, повинш мати
• v ' • ас к вв < лл
спшьну точку. У зв язку з цим, в1дношення або (рис. 1) у точковому
БН-численш не застосовуються, { навпаки (рис. 2), вщношення вщр1зюв ^^ , АМ СЫ
-,-, тощо - застосовуються.
мвт
т ,
м
В с
А
Рис. 2. Приклади геометричних ф^ур для простого вщношення трьох точок
а
Ь
Наявшсть спшьно1 точки для двох вщрпмв переводить ïxhg звичайне
Л M ЛПЛ/Г
в1дношення у просте вщношення трьох тонок прямое наприклад,-= Aß M -
MB
просте вщношення трьох точок (ПВТТ), яке визначае параметр t.
У разi, коли визначено ПВТТ, тобто параметр t, то можна обрати нескiнчену множину вiдрiзкiв на прямiй, вiдношення довжин яких будуть дорiвнювати значенню t. Обрання i3 цiеï множини двох вiдрiзкiв, вiдношення довжин яких дорiвнюе t, називаеться геометрiею числа t [14]. Як вщомо, для значень 0<t<1 змiнювана точка М знаходиться всередиш вiдрiзку АВ, якщо -1>t>1, то змiнювана точка М знаходиться за межами вiдрiзку АВ i утворюе пряму m (рис. 2).
Як вщомо, ПВТТ е iнварiантом афiнних перетворень, тобто його значення не змшюеться при паралельному проекцiюваннi (проектуваннi). У основу побудови точкових агрегапв [14] покладено ПВТТ, що визначае параметр i. Воно завжди присутне в цих точкових агрегатах у явнш чи неявнш формах. З цього, розв'язок будь-яко1' зад^ у точковому БН-численш не потребуе використання проекцiй. Розв'язання у точковому БН-численш завжди вiдбуваеться у простор^ це стае можливим через те, що застосовуеться проектування на ос локальних чи глобальноï систем координат. Однак, у разi необхщност проведення дослiджень на площинах проекцш треба розглянути двi осi, що визначають цю площину проекцiй i, скориставшись уже вiдомими координатами геометричноï фiгури розв'язку, побудувати потрiбну проекцш. Таю можливостi точкового БН-числення е важливими для побудови моделi багатофакторного процесу, у якiй кожному фактору, який дослiджуеться у процеш, ставить у вiдповiднiсть вiсь, зi значеннями однiеï координати, а не площина, зi значеннями двох координат. Для моделi процесу, що враховуе n факторiв, треба узяти систему з n осей у виглядi зв'язки прямих, у якiй кути мiж осями не е прямими, а можуть бути будь-якими. При такш побудовi формалiзованоï геометричноï моделi процесу наявним е параметричний зв'язок мiж геометричною фiгурою процесу та ïï проекцiями на осi, кожна з яких вiдповiдае фактору дослщжуваного процесу. Тому багатофакторна модель процесу не е багатовимiрною моделлю у традицшному розумiннi. У багатовимiрних моделях використовуеться проекцшний зв'язок мiж геометричною фпурою об'екту та його проекшями, а у формалiзованiй геометричнiй моделi - параметричний зв'язок. Певна рiч, для формамзовано1' геометрично!' моделi можна встановити i проекцiйний зв'язок, але в цьому немае нiякого сенсу i, здебтьшого, це потребуе складних алгебра1'чних перетворень.
Геометрична модель будуеться з використанням методiв та алгорштв традицiйноï математики та геометрiï. Формалiзована геометрична модель [1] будуеться з використанням методiв точкового БН-числення. Чим вiдрiзняеться точкове БН-числення вiд традицшно1' математики? У точковому БН-численнi кожному кроку геометричних побудов, алгоритму розв'язання задачi ставиться у вщповщшсть точковий агрегат. Наявшсть тако1' послiдовностi точкових агрегапв покроково формалiзуе геометричну частину алгоритму розв'язку. Алгебра1'чш перетворення послщовност точкових агрегатiв надае просторовий розв'язок задачi у точковiй формi, яка являе собою формалiзовану геометричну
модель процесу. Оскшьки у точковому БН-численш параметром завжди е ПВТТ, а проектування вщбуваеться на осi, то поведшку та вплив кожного фактору у процес завжди можна виявити, за наявносл просторового розв'язку.
Як вщомо, для дослiдження будь-якого процесу необхщно побудувати поверхню вiдгуку за емтричними вихiдними даними (яку надаи будемо називати емпiричною поверхнею вщгуку). Наведемо приклад. Нехай формалiзована геометрична модель процесу вщображена емпiричною поверхнею вщгуку (рис. 3) у виглядi точкового рiвняння•
М = [^¿7(1 - 2и) + 4 Д2гш + Д3г/(2и - 1)]а(1 - 2г>) -+4 [ Л21й(1 - 2 и) + 4 А22ий + А23и(2и -1)] VI) + +[А:пй( 1 - 2 и) + 4 А32ий + А33и(2и - 1)]о(2о -1),
(1)
що являе собою параболiчну поверхню Балюби. Тут лши Ai1Ai2Ai3 являють собою параболи, що проходять через три дшсш точки А,|, А,2, А,з, а четверта -
1
нескшчена точка визначаеться параметром Г = — на прямш АпА;3.
А
11
А
А13
М, л
^ а23
М
М3
А
А33
31
Рис. 3. Геометрична схема поверхнi вiдгуку
У зв'язку з тим, що ребра АПАЙАЙ е параболами i рухома лiнiя М1М2М3, за допомогою якоi утворюеться емтрична поверхня вiдгуку, також е параболою, то звщси i виникла назва поверхш «параболiчна», побудову яко! було запропоновано у [13].
Точковi агрегати у виглядi точкового рiвняння (1) не придатш для проведення розрахунюв, вони лише вказують на схему проведення розрахунюв для кожно! координати (фактору) окремо.
У зв'язку з тим, що точки Ау багатофакторного процесу можуть визначатися скшченою множиною координат (факторiв процесу) i, при цьому, модель не е багатовимiрною, то невщомо як подати точки Ау у точковому рiвняннi (1). Враховуючи те, що параметри моделi (1) у просторi дорiвнюють
параметрам на ушх координатних осях, то розрахунки будемо проводити за схемою (1). У цш схемi замють точок Ау будемо пiдставляти показники характеристик вщповщних факторiв - Ху, тобто, координати (2):
Хт
Хкпи{\-2и) + 4Хк12ии + Хк3и(2и -1) -Ъ) +
+4 +
Хкп и{\ -2и) + 4Хкпии + Хк3и(2и -1)
+
(2)
Хк,и{\-2и) + 4Х*2гш + Хк?и(2и -1) -1),
де к = 1,п - порядковий номер фактору;
п - загальна кiлькiсть факторiв процесу;
и, V - параметри поверхш вщгуку, що змiнюються у межах вщ 0 до 1;
и = 1-и;ъ = 1-ъ;
Хк - числа, що визначають характеристики фактору у рiзних умовах;
X™ - емпiрична поверхня вiдгуку для к-го фактору за певною характеристикою т;
т = \,т - кшьюсть характеристик фактору.
Зауважимо, оскiльки кожний фактор, який враховуеться у дослщженш процесу, завжди мае декiлька характеристик т, то для к-го фактору можна побудувати т поверхонь вщгуку по кожнiй з характеристик. Яку з т поверхонь вщгуку, чи уел разом, будувати, залежить вщ мети дослщження процесу.
Емшричну поверхню вщгуку Х'Ц з (2) для формал1зовано! геометрично! моделi М з (1), як геометричну ф^уру, можна дослщжувати методами точкового БН-числення. За результатами дослщжень можна приймати рiшення, як вiдповiдають метi дослiдження. Як бачимо, дослщження моделi процесу, що полягае у агрегуванш результатов геометричних дослщжень поверхонь вщгуку X™ для кожного фактору, тобто шлях вiд елемента до процесу в цшому, е новим тдходом у моделюваннi процешв з метою прийняття обгрунтованих управлшських рiшень. Як вiдомо, традицiйнi методи дослщження процесу, що побудоваш на його дезагрегуванш, потребують:
- аналiзу факторiв;
- визначення 1хньо1 важливост i, як результат, обмеження !хньо! кiлькостi з метою встановлення, через обмеження, областi розв'язку;
- визначення цшьово! функцп; тощо, i, при цьому, побудована модель не завжди е адекватною.
Для тдвищення адекватност результат моделювання до реальних треба яюсно i кiлькiсно змiнювати фактори, що входять до моделi, а це потребуе перебудови модел^ школи навiть в цiлому. I навпаки, запропонований метод агрегування геометрично! шформацп щодо поверхонь вiдгуку вiд елемента до формалiзованоl геометрично! моделi процесу в цшому дозволяе враховувати: уш, без винятку, фактори та !хш характеристики;
- у pa3i змши кiлькостi та якост факторiв, формалiзована геометрична модель залишаеться у початковому виглядi;
- дютавати розв'язок без визначення област рiшень та без визначення щльово1' функцii.
При цьому, отриманий розв'язок практично завжди е адекватним, тому що враховуе ус фактори. Його можна удосконалювати за рахунок змши акцентв у моделi, наголосивши на ту чи шшу характеристику ушх або окремих фaкторiв. Також передбачеш створення i дослiдження узагальнюючих штегральних характеристик фaкторiв i процесу в цшому.
7. SWOT-аналiз результатiв дослщження
Strengths. Серед згаданих вище переваг запропонованого способу агрегування елементiв-фaкторiв можна вщзначити одну нaйголовнiшу. Це розбиття будь-якого процесу будь-якоi склaдностi на розв'язання сотень, тисяч, або, навпъ, десятюв тисяч дрiбних розрахункових задач, як потребують на 1'х обчислення долi секунди.
Застосування способу агрегування елементв процесу (САЕП) значно знижуе витрати ресурсiв ЕОМ, дозволяе пров^дити обчислення в режимi реального часу. Це надасть можливють провести достатню кiлькiсть комп'ютерних експериментiв з моделлю з метою виявлення нaйбiльш прийнятного вaрiaнту. Як результат - шдвишуеться оперaтивнiсть та обгрунтовашсть прийняття управлшських рiшень.
Weaknesses. Межами дослiдження для фaкторiв i процесу в цшому е межi геометричноi фiгури у виглядi поверхнi вiдгуку. Межi поверхш вiдгуку можуть змiнювaтися лише зi змiною пaрaметрiв, характеристик або умов для фaкторiв.
Opportunities. У подальших дослiдженнях будемо застосовувати формaлiзовaнi геометричш моделi (ФГМ), якi вiдрiзняються вщ запропоновано1' у цiй роботi (1). Таким чином, змшюючи ФГМ, можемо знайти таку, що у найбшьшш мiрi адекватуе процесу, модель якого будуеться.
Перспективи подальших дослщжень полягають у бiльш детaльнiй розробцi САЕП, створенш способiв та aлгоритмiв поверхонь вщгуку, що являють собою пaрaболiчнi поверхнi Балюби, створеннi методики комп'ютерного моделювання iз формaлiзовaними геометричними моделями багатофакторного процесу.
Економiчний ефект вiд його впровадження може бути встановлено за результатами зменшення витрат комп'ютерних ресуршв, за рахунок оптимiзaцii витрат на мaтерiaли та технологii облаштування, за рахунок зменшення витрат на обiгрiв примщень, за рахунок вчасно прийнятих управлшських ршень, тощо. У кожному конкретному випадку застосування способу агрегування елеменлв, економiчний ефект буде визначатись з урахуванням особливостей його застосування.
Threats. При впровадженш на пiдприемствi шформацшно1' системи, що базуеться на основi розробленого способу агрегування елеменлв, необхiдне формування велико!' бази даних вихщних фaкторiв. Це потребуе додаткових витрат. Крiм того, на початковому еташ iснуе суттевий вплив людського
фактору, зокрема, у випадку помилок при введенш вихщних даних можливе отримання некоректних результат моделювання.
8. Висновки
1. Проведено всебiчний аналiз сучасних методiв вирiшення проблеми геометричного моделювання багатофакторних систем. Практично для кожного типу задач, зокрема, в сферi геометрично! економетрики, юнують вщповщш методи i моделi. Однак, попри !х велику кiлькiсть та рiзноманiття, вони виршують проблему лише частково. Адекватш точнi методи е складними в реаизацп i розробляються пiд конкретний специфiчний об'ект. Тобто, вони недостатньо гнучк для переналаштування i не е ушверсальними. Бiльш загальнi методи, наприклад, моделi за аналогiею, прост у застосуваннi та унiверсальнi, але дають занадто грубi оцiнки.
2. З огляду на виявлеш переваги та недолши iснуючих методiв моделювання, доцшьним е застосування математичного апарату точкового числення Балюби-Найдиша. Вiн дае можливють зручно формалiзувати будь-яку необхщну кiлькiсть вихiдних факторiв рiзно! фiзично! природи.
3. Розроблена послiдовнiсть поб^о^ формировано! геометрично! моделi з використанням точкових агрегатiв, а також визначеш !! переваги та недолiки. В основу розробленого способу покладено використання властивостей простого вiдношення трьох точок прямо! у точковому численш Балюби-Найдиша. Це дае можливють розбиття складно! багатофакторно! задачi на вiдповiдну кшьюсть простих однофакторних задач, що суттево спрощуе обчислення.
Таким чином, запропоновано спошб створення унiверсальних геометричних моделей з використанням шструментарш точкового числення Балюби-Найдиша, який вщкривае новi можливостi моделювання i дослiдження багатофакторних систем.
Лггература
1. Bondar O. A. Interpretatsiinyi skhematyzm upravlinnia ekonomichnymy systemamy: monograph. Kyiv: Naukovyi svit, 2013. 121 p.
2. Pidhornyi O. L., Ploskyi V. O., Serheichuk O. V. Aktaualni problemy heometrychnoho modeliuvannia v zadachakh enerhozberezhennia u budivnytstvi // Ventyliatsiia, osvitlennia ta teplohazapostachannia. 2010. No. 14. P. 25-31.
3. Prakhovnyk A. V., Deshko V. I., Shevchenko O. M. Enerhetychna sertyfikatsiia budivel // Naukovi visti Natsionalnoho tekhnichnoho universytetu Ukrainy «Kyivskyi politekhnichnyi instytut». 2011. No. 1. P. 140-153. URL: http://nbuv.gov.ua/UJRN/NVKPI 2011 1 22
4. Marty v V. The determination of optimal propotions of buildings: proceedings // Geometry and computer. Ustroh: Silesian University of technology Gliwice, 2010. P. 57-58.
5. Marsh A. The Application of Shading Masks in Building Simulation // Ninth International IBPSA Conference. Montreal, 2005. URL: http://www.ibpsa.org/proceedings/BS2005/BS05 0725 732.pdf
6. Capeluto I. G. Shaviv E. Modeling the Design of Urban Grids and Fabric with Solar Rights Considerations // Proceeding of the ISES 1997 Solar World Congress. Taejon, 1997. P. 148-160.
7. Fabozzi F. J., Vardharaj R., Jones F. J. Multifactor Equity Risk Models and Their Applications // Encyclopedia of Financial Models. 2012. doi: http://doi.org/10.1002/9781118182635.efm0056
8. Swindle G. Multifactor Models // Valuation and Risk Management in Energy Markets. 2012. P. 221-222. doi: http://doi.org/10.1017/cbo9781139568302.014
9. Shank J. D. Multifactor Asset Pricing Models and Industry Portfolio Investment Strategies // SSRN Electronic Journal. 2012. doi: http://doi.org/10.2139/ssrn.2286937
10. Tool for Rapid Assessment of City Energy (TRACE): Helping Cities Use Energy Efficiently. URL: http://www.esmap.org/TRACE
11. Balyuba I. G., Naydysh V. M. Tochechnoe ischislenie / ed. by Vereshhaga V. M. Melitopol: MGPU im. B. Khmel'nitskogo, 2015. 236 p.
12. Adoniev Y., Vereshchaga V. Technique of b-functions algebraic generation // Intellectual Archive: Shiny Word Corp. 2017. Vol. 6, No. 5. P. 19-23.
13. Konopatskyi Ye. V. Polishchuk V. I. Teoretychni osnovy tochkovoho vyznachennia poverkhon zi zminnym sympleksom // Naukovi notatky. Mizhvuzivskyi zbirnyk. 2008. No. 22 (2). P. 276-281.
14. Bumaha A. I. Tochkove rivniannia duhy paraboly druhoho poriadku // Prykladna heometriia ta inzhenerna hrafika. 2012. No. 90. P. 49-52.
