АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЖОРДАНА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА СТОРОНАХ КВАДРАТА, ВПИСАННОГО В ЕДИНИЧНЫЙ КВАДРАТ Текст научной статьи по специальности «Математика»

1Фм(т)| < с| |/(в,Т)| (10)

0

где с не зависит от N и т.

Правая часть (10) является суммируемой на [0, *] функцией от т. Поэтому из (5) с учетом (7) по теореме Лебега о предельном переходе получаем формулу (4).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Корпев В. В., Хромов А. П. Об одной смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения // Математика, Механика : еб, науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2016. Вып. 18. С. 27-30.

2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физматлит, 1961.

УДК 517.984

O.A. Королева

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЖОРДАНА - ДИРИХЛЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА СТОРОНАХ КВАДРАТА, ВПИСАННОГО В ЕДИНИЧНЫЙ КВАДРАТ

Рассмотрим интегральный оператор:

У = А/ = у А (ж,*) /(*) (1)

0

Обозначим:

А1(ж, *) = А(ж,*), если {0 < * < 1/2 - ж, 0 < ж < 1/2}, А2(ж,*) = а(ж,*), если {1/2 + ж < * < 1, 0 < ж < 1/2}, А3(ж, *) = а(ж,*), если {0 < * < -1/2 + ж, 1/2 < ж < 1}, А4(ж, *) = а(ж,*), если {з/2 - ж < * < 1, 1/2 < ж < 1}, А5(ж, *) = а(ж,*), если {1/2 - ж < * < 1/2 + ж, 0 < ж < 1/2} и {-1/2 + ж < * < 3/2 - ж, 1/2 < ж < 1} .

Будем предполагать, что дХкШ А«(ж,*), (г = 1,..., 5) непрерывны в своих областях, (к + I < 2, причем, если к + I = 2, то к = I = 1). дХАг(ж,£), (г = 1,..., 5) непрерывно дифференцируемы в своих областях, причем

А5(ж, ! - ж + 0) - А1(ж, ! - ж - 0) = а,

1

Ав(ж, 1 + х - 0) - А2(х, 2 + X + 0) = Ь, Ав(ж, -1 + х + 0) - Аз(х, -1 + х - 0) = с, А5(х, 3 - х - 0) - А4(х, 3 - х + 0) = (, где а, Ь, с, ( - постоянные.

То есть ядро А (х, £) может нмееть скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат.

В работе изучаются работы оператора (1). Для него доказывается аналог теоремы Жордини Дирихле.

В пространстве вектор-функций рассматривается оператор

Н 1

г = Вд = В(х, £)д(£) 0 < х <-, (2)

ио 2

где г(х) = (г1(х),22(х),2з(х),*4(х))Т> 9(х) = (91 (х),92(х),дз(х),94(х))т,

В (х, £) =

^ 0 А(х, 1 - ¿) А(х, 2 + £) 0 ^

А(1 - х, £) 0 0 А(2 - х, 1 - ¿)

а(2 + х, 0 0 а(22 + х, 1 - ¿)

У 0 А(1 - х, 2 - £) А(1 - х, 2 + £) 0 у

В [1] доказывается, что (1) эквивалентно (2).

Теорема 1. Для оператора В-1 справедливо представление

В(х) = Рг'(х) + ах(х)г(0) + а2(х)г ^ 0 +

Г 2

+а3(х)г(х) + / а(х,£)г(£) (3)

Л

1 Г*

(0)+ ТгЫ+ / а(ф(г) & = 0, (4)

2 Л

где аДх), г = 1, 3, а3(х), а(х) - непрерывные матрицы функции, каждая компонента матрицы а(х,Ь) имеет такой же характер гладкости, что и компоненты Вж(х,^); 5, Т - некоторые постоянные матрицы 4 х 4.

А

Теорема 2. Если, Яд существует, то Яд/ = V(х), где г>(х) = гДх), при х Е [0,1 ], и г>(х) = г3 (х - 2) , при х Е [ 1, 1], (5) ¿1, г3 - первая, и третья компоненты вектора г(х), удовлетворяющего системе (3), (4).

Также доказывается обратное утверждение:

Теорема 3. Если Л таково, что однородная краевая задача для (3), (4) имеет только нулевое решение, то Я\ существует и определяется по формуле (5).

Основной результат:

Теорема 4. Если /(ж) Е Аа, где Аа - замыкание по норме С[0,1] области значений оператора А и /(ж) Е V[0,1]7 то

11/(ж) - & (/,ж)11то —>

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Королева О. А. Интегральный оператор е ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 6-13.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С КОНЕЧНООПРЕДЕЛЁННЫМ

ПРАВИЛОМ ВЫБОРА

Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, в которых рассмотрение ведётся с точки зрения первого (управляющего) игрока, на основе его информации о выборе и интересах партнёра. В иерархических играх исследуется оптимальное поведение первого игрока и вычисляется его наибольший гарантированный результат при различных предположениях об его информированности [1-4]. В настоящей работе наибольший гарантированный результат вычисляется для специального вида информированности первого игрока, а именно конечноопределённого правила выбора, который содержит в себе, как частные случаи, некоторые виды информированности, исследовавшиеся ранее.

Определение. Иерархической игрой называется система Г = = (X, У, где X - множество стратегий первого игрока, У - мно-

жество стратегий второго игрока, ^ : X х У ^ Я - функция выигрыша первого игрока, ц : 2ххУ ^ 2ххУ и обладающее свойствами

VТ С X х У д(Т) = 0, д(Т) С Т

- правило выбора, с помощью которого задаётся информированность первого игрока об интересах второго.