Интегральный оператор с ядром, имеющим скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

О. А. Королева

ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОР С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА СТОРОНАХ КВАДРАТА, ВПИСАННОГО В ЕДИНИЧНЫЙ КВАДРАТ

В настоящей работе изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) интегрального оператора, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Частный случай такого оператора впервые рассматривался в [1]. Рассмотрим оператор

1

У = А/ = 1А (ж,*) /(1) о

Обозначим:

А1(ж, *) = А(ж,*), если{0 < * < 1/2 - ж, 0 < ж < 1/2} ,

А2(ж,*) = А(ж,*), если {1/2 + ж < * < 1, 0 < ж < 1/2} ,

А3(ж,*) = А(ж,*), если{0 < * < -1/2 + ж, 1/2 < ж < 1} ,

А4(ж, *) = А(ж,*), если {3/2 - ж < * < 1, 1/2 < ж < 1} ,

А5(ж, *) = А(ж,*), есл и {1/2 - ж < * < 1/2 + ж, 0 < ж < 1/2} и

{-1/2 + ж < * < 3/2 - ж, 1/2 < ж < 1} .

Предположим, что д^ш1 А«(ж,*) (г = 1,..., 5) непрерывны в своих областях (к + I < 2, причем, если к + I = 2, то к = I = 1). дХА«(ж,£) (г = 1, ... , 5)

А5(ж, 1 - ж + 0) - А1(ж, - - ж - 0) = а, 22

А5(ж,1 + ж - 0) - А2(ж, 2 + ж + 0) = Ь,

А5(ж, -1 + ж + 0) - Аз(ж, -1 + ж - 0) = с,

33

А5(ж, - - ж - 0) - А4(ж, - - ж + 0) =

где а, Ь, с, ^ - постоянные.

Рассмотрим следующий оператор:

где

П 1

z = Eg = B(x,t)g(t)dt, 0 < x <-, Jo 2

z(x) = (zi(x), Z2(x), Z3(x), Z4(x))T,

g(x) = (gi(x),g2(x),g3(x),g4(x))T,

B (x,t) =

0

0

V

A(x, 1 - t) A(x, 1 + t)

A(1 - x,t) 0 0 A(2 - x, 1

a( 1 + x,t) 0 0 a( 22 + x, 1

0 A(1 - x, 2 - t) A(1 - x, 2 + t) 0

t) t)

/

Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Если у = А/7 то г = Вд7 где

zi(x) = y(x), Z2(x) = y(1/2 - x), Z3(x) = y(1/2 + x), Z4(x) = y(1 - x);

gi(x) = f(x), g2(x) = f(1/2 - x) g3(x) = f(1/2 + x) g4(x) = f(1 - x).

Обратно: если z = Eg w g1 (x) = g2(1/2 - x), g3(x) = g4(1/2 - x)7 mo z1(x) = z2(1/2 - x), z3(x) = z4(1/2 - x) и, y = Af где

f (x) = g1(x) npw x E [0,1/2];

f (x) = g3(-1/2 + x) при x E [1/2,1]

и

y(x) = z1(x) npw x E [0,1/2]; y(x) = z3(-1/2 + x) при x E [1/2,1].

Замечание. Представление типа (2) не единственно. Наше пред-

B(x, t)

t=x

Обозначим

/0 a b 0 \

-а 0 0 -b -c 0 0 -d 0 c d 0

Q =

\

/

Будем считать, что ф обратима, т. е. требуем, чтобы Ьс — а^ = 0. Обозначим В(ж,£) = (ж,£). Пусть Л = ^з, - матрица, подобная матрице а Г - матрица, осуществляющая преобразование подобия.

Представим оператор B в пространстве L| [0, 2] в виде B = W + V, где ||W|| < 1, а V - конечномерный, т. е. Vg(x) = ^)Vk(x), где i^k}m=i, {Vk}m=i _ линейно независимые системы в пространстве вектор-функций размерности 4, причём (x) достаточно гладкие. Тогда можно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Оператор B-1 существует, тогда и только тогда, когда rang M = m, где

= ( E + \

B3(0,i)<Ar (t)

здесь E - единичная матрица mxm, (Ф,^) = (Vj)mk=P

Vk = (E + W)-1Vk, фТ = (ф1, ..., Фт). Имеет место теорема.

B-i

B-1z(x) = Pz'(x) + a1 (x)z(0) + a2(x)z ^a3(x)z(x) + ^ a(x,t)z(t)dt,

1 /1

Sz (0)+ Tz (-)+ / a(t)z(t)dt = 0, 2 Jq

где аДх), г = 1,3, а3(х), а(х) - непрерывные матрицы-функции, каждая компонента матрицы а(х,£) имеет такой же характер гладкости, что и компоненты Вж(х,£); £, Т - некоторые постоянные матрицы 4 х 4.

Получим интегро-дифференциальную систему для резольвенты Яд = = (Е — АА)-1А оператора А.

Пусть г = (Е — АВ)—Тогда г — АВг = Вд. Отсюда по теореме 2 получаем

Рг'(х) + а1(х)г (0) + а2(х)г (-) + а3 (х)г (х) + ТУг — Аг (х) = д(х), (3)

2

1 2

(0) + Тг(1) + ^ а(ф = 0, (4)

о

1

_ 2 где ТУ г = / а(х,£)г о

Теорема 3. Если Яд существует, то Яд/ = V(х), где

V(х) = г1(х) при х Е [0, -], (5)

2

г>(х) = г3 ^х — при х Е [-, 1],

¿1, ¿з - первая и третья компоненты вектора г(х), удовлетворяющего системе (3), (4)- Обратно, если X таково, что однородная краевая, задача для (3), (4) имеет только нулевое решение, то Я\ существует и определяется по формуле (5).

Теперь можем сформулировать основной результат статьи. Теорема 4. Пусть существует Л-1, ядро Л(х,£) удовлетворяет условиям из леммы 3. Тогда, в Б § для любой / (х) Е Ь[0,1]

4

Ит ЦЯ(/,х) — V71?^|(У?,х)||[е> 1 _£] = 0,

3 = 1

Нт ||5Т(/,х) — ^7з?| ( У?,х — - ) 11[! +е>1—£] = 0, ?=1 4 у

где БТ(/, х) - частичная сумма ряда Фурье по с.п. ф. оператора Л для тех характеристических чисел Х&7 для которых X| < г, аТ(/, х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье на, [0, 2] по системе тех ^ К0т0рЫХ |4&п| < г 7? (¿3) _ компоненты ма-рицы Г(Г—у?(х) = ¿д/(х) + ¿32/(1 — х) + ¿?з/(2 + х) + ¿34/(1 — х).

3

, ^23 \2 1 ^ззз (2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях. Мат. еб. №11. 2006. С. 115-142.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПЕРВОГО ИГРОКА

О ВЫБОРЕ ВТОРОГО

Данная работа относится к теории иерархических игр [1-4]. Основная особенность таких игр состоит в том, что первый игрок обладает правом первого хода и возможностью организовывать обмен информацией между игроками. Оптимальный способ обмена информации при точном знании первым игроком выбора второго рассмотрен в [5]. В настоящей работе предполагается наличие ограничений на информированность первого игрока о выборе второго и найден оптимальный способ организации обмена информации при данном предположении.