Интегральный оператор с разрывным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

О. А. КОРОЛЕВА

Интегральный оператор с разрывным ядром

Впервые теоремы равносходимости спектральных разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) и разложений в обычные тригонометрические ряды Фурье были установлены в работах В.А. Стеклова, Е. Гобсона, А. Хаара (для дифференциальных операторов Штурма-Лиувиля)и Дж. Биркгофа, Я.Д. Тамаркина, М. Стоуна для дифференциальных операторов произвольного порядка с регулярными краевыми условиями. Известно, что обратный для любого дифференциального, интегро-дифференциального оператора есть интегральный оператор с ядром типа функции Грина. В связи с этим целесообразно изучать интегральные операторы, удовлетворяющие условиям: 1) наличие обратного оператора; 2) их ядра или некоторые производные ядер имеют разрыв на линии г = х [1]:

1

у = А/ = 1А (х,г) /(г) лг, 0

Обратный оператор для таких интегральных операторов имеет вид:

у(п) (х) + ( N(х,г)у(п)(г) лг 0

и3(у) - (у^з) = 0, = 1,...,п), )= ( у(х)^3(х) Лх. (1)

0

Условие (1) называется естественным краевым условием для интегрального оператора.

В 1994 году А.П. Хромов рассмотрел интегральный оператор

1—х

У = А/ = У /(*) о

который своей системой с.п.ф. имеет обычную тригонометрическую систему. Таким образом, началось изучение интегральных операторов, ядра которых терпят разрывы на линиях * = х и * = 1 — х, общий вид которых:

х1

А/(х) = а1 / А1(х, *)/+ а2 А2(х,*)/

ох

п1—х п1

+аЛ А3(х, *)/+ а Л А4(х,*)/ Л Л—х

Одно из направлений дальнейшего развития, которое сейчас активно развивается, это изучение интегральных операторов, ядра которых терпят разрывы на ломаных линиях определенного вида. Эти ломаные могут быть образованы из сторон и диагоналей квадратов, получающихся разбиением единичного квадрата на п2 равных квадратов. Основополагающей является работа [2].

В этой работе рассматривается интегральный оператор:

1

У = А/ = | А (х,*) /(*) (2)

о

Обозначим:

А1(х,*) = А(х, *), если {0 < * < 1/2 — х, 0 < х < 1/2}, А2(х,*) = А(х, *), если {1/2 + х < * < 1, 0 < х < 1/2}, А3(х,*) = А(х, *), если {0 < * < —1/2 + х, 1/2 < х < 1}, А4(х,*) = А(х, *), если {3/2 — х < * < 1, 1/2 < х < 1}, А5(х,*) = А(х, *), если {1/2 — х < * < 1/2 + х, 0 < х < 1/2} и {—1/2 + х < * < 3/2 — х, 1/2 < х < 1} .

Будем предполагать, что дХр+МА{(х,г), (г = 1,..., 5) непрерывны в своих областях, (к +1 < 2, причем, если к +1 = = 2, то к = I = 1). -§хА{(х,г), (г = 1,..., 5) непрерывно-дифференцируемы в своих областях. Также ядро имеет скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Для этого оператора доказываются теоремы равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, сходимости средних Рисса и аналог теоремы Жордана-Дирихле.

Теорема 1 [3] Для любой /(х) Е Ь[0,1]

Л к

Нт ||5Г(/,х) - 72к+и|(Щ,х - |^-е] = 0, к = 0,1,

где Бг(/, х)-частичная сумма ряда Фурье, по с.п.ф. оператора А для тех характеристических чисел Лк, для которых \ Хк \ < г, аг(/, х)-частичная сумма тригонометрического ряда Фурье на [0, 2] по системе {в4кпгх} для тех к, для которых |4кп| < г, (5^) компоненты некоторых постоянных матриц Г(Г-1), щ(х) = 1/(х) + 5^2/(1 - х) + 5Г/(2 + х)+ 4/(1 - х). Теорема 2 [4] Сходимость средних Рисса

Пт ||/(х) + Jг(/,х)11с[01] = 0,

где Jг(/,х) = -2П1 ]\Л\=г д(Л,г)Ял/ЛЛ, Ях/ = (Е - ЛА)-1А - резольвента Фредгольма оператора А, а д(Л,г) удовлетворяет следующим требованиям:

1)д(Л,г) непрерывна по Л в круге |Л| < г и аналитична по Л в |Л| < г при любых г > 0;

2)3 С > 0, т.ч. |д (Л, г)| < С при всех г > 0 и |Л| < г;

3)д(Л,г) ^ 1 при г ^ то и фиксированном Л;

4)3 в> 0, т.ч.

(° + 2 Я , - 2 < щ < 0

д(Л,г) = < Ч в( , где щ = агдЛш2

[о ((| - , 0 < щ < 2 _ _

имеет место тогда и только тогда, когда /(х) Е Да, где Да - замыкание области значений оператора А.

Теорема 3 [5] Если /(х) Е Да, где Да - замыкание по норме С[0,1] области значений оператора А и /(х) Е V [0,1], то

|/(х) — я (/,х)||то —^ 0,

г—» 00

где Бг (/, х)-частичная сумма ряда Фурье, по с.п.ф. оператора А для тех характеристических чисел А&, для которых |А&| < г.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378405.

2. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 11. С. 115-142. Э01: https://doi.org/10.4213/sm1534

3. Королева О. А., Хромов А. П. Интегральный оператор с ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матеатика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 6-13. Э01: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2012-12-2-6-13

4. Королева О. А. О сходимости средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям оператора с ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матеатика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 2. С. 63-67. Э01: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2013-13-1-2-63-67

5. Королева О. А. Аналог теоремы Жордана-Дирихле для интегрального оператора с ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матеатика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 1. С. 14-23. Э01: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2013-13-4-14-23