CC BY
13
Теорема 6. Соотношение
Ит ||/(ж) + Л(/,х)||с[он = 0
г—>оо 1 ' J
имеет, место тогда и только тогда, когда /(ж) € Аа, где Аа - замыкание области значений оператора А.
Следствие. Аа состоит из функций, удовлетворяющих условиям а) и б) из теоремы 5.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А. П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. еб. 2006. Т. 197, № 11. С. 115-142.
2. Королева О. А., Хромов А. П. Интегральный оператор е ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 12, № 1. С. 33-50.
УДК 519.2
И. А. Кузнецова
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОСТЕПЕННЫМ
МНОГОШАГОВЫМ УТОЧНЕНИЕМ ИНФОРМАЦИИ ПЕРВОГО ИГРОКА О ВЫБОРЕ ВТОРОГО
Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, в которые первый игрок может организовывать обмен ипформацей между игроками [1-4]. Оптимальные способы организации такого обмена при точном знании первым игроком выбора второго и при наличии ограничений на информированность рассмотрены соответственно в [5] и [6], там же приведены определения иерархической игры, её квазиинформационного расширения и наибольшего гарантированного результата. В данной работе оптимальный способ организации обмена информацией находится для случая постепенного многошагового уточнения информации первого игрока в выборе второго.
Пусть Г = (X, У, Г, д) - иерархическая игра. Рассмотрим систему
{X а.1...а.г} (а1,...,аг)ЕА1 х... х а,{Х п
{Ур1 }р1еБ1, \Хв1...вз }{в1-вз )€Б1Х...ХБз , {Ув1...вп }(в1...вп)еБ1Х...хБп ),
где Xa1...a.i С X, i = 1 ,...,n, Yß1...ßj С Y, j = 1, ...,n, и верны равенства X = UaiGAiXai, Xai...a._1 = U^a*Xai...a., i = 2, ...,n,
Y = Ußi€ßiYßi, Yßi...ßj-i = Ußeß0Yßi„.ßp j = 2, ...,n. Эта система определяет игру Га-Определение 1. Положим
Га = (Фх х ... х Фп+1,Вх х ф х ... х Фп,F,ß),
где
Фх = A?i, Ф; = AAlX...XAi-lXBlX."XBi,i = 2, ...,n,
Ф ^ = xAix...XA„XY ф = ßAlхBl ф = B AlX...хAiхBlX...хBi
= (<£п+1(аь...
фп(а 1,... в1, ..., вп)),фп(«1, ... в1 ,...,вп)),
где
а1 = (вО,вг = ^г-1(«1, ...,аг-1,в1, ..., вг—1), ^ = 2, ...,П аг = ...,аг-1,в1,..., вг), ^ = 2, ...,п, ^ = (^1, ...,^п+1 ,въФъ ...,Фп) = ^(п(^1, ...,^п+1,в1,^1,..., Фп)), при всех
Т с Ф1 х ... х Фп+1 X В1 X Ф1 х ... х Фп, п(д(Т)) = М(п(Т)).
В игре Га обмен информацией о выборах между игроками происходит следующим образом. Сначала второй игрок ограничивает свой выбор подмножеством Yp1. Затем первый игрок, узнав это ограничение, ограничивает свой выбор подмножеством Ха1. Второй игрок, узнав это, ещё больше ограничивает свой выбор (до после чего первый иг-
рок, узнав У^А' в свою очередь уточняет своё ограничение (до Ха1а2) и т. д. Наконец, первый игрок, узнав, что второй игрок ограничился подмпожествомУ^...^, ограничивает свой выбор подмножеством Ха1...ап, после чего второй игрок, зная Ха1...ап, выбирает у € Ув1...в„, а первый игрок, узнав у, выбирает х € Ха1...ап.
Определение 2. Будем говорить, что в квазиинформационном расширении Г = (Х,У,Г,Д) игры Г первый игрок имеет самостоятельную информацию о выборе у те больше, чем в Га, если справедливо условие Уж € X Ув1 € В За € Аь..Уви € Вп Зап € Ап Уу € У^...^ Зж € Х^...^ Зу € У п(ж,у) = (ж,у)- _ _
Определение 3. Положим Гт = (т, Ф,Г,Д), где т - семейство подмножеств Т С X х У, удовлетворяющих условию
Увх € ВхЗах € Ах...Увп € ВпЗап € Ап Уу € Урх...рпЗж € Xaí...an (ж, у) € Т, Ф _ семейство отображений р : 2хх^ X хУ свойством УТ С X х У, р(Т) € Т, отображение п : т х Ф ^ X х У задаётся равенством п (Т, р) = р(Т), а для Г и Д сппаведиивы соотношения Г(Т, р) = Г(р(Т)) при всех Т С т х Ф п Ид ИТ)С = Д Ип ИТСП
Теорема 1. Лгра Гт является квазиинформационным расширением Г
об у не больше, чем в Га.
Иерархическая игра в Гт протекает следующим образом. Первый игу
зать, какой ж (из числа предложенных) должен выбрать первый игрок. Если же второй игрок отказывается от предложенного сотрудничества, то обмен информацией о выборах между игроками происходит по правилам игры Га-
Теорема 2. Расширение Гт является для первого игрока, оптимальным в классе всех квазиинформационных расширений, в которых он имеет самостоятельную информацию о выборе у не больше, чем в Га.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М, : Наука, 1976. 326 е.
2. Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагониетичееких игр. М, : Изд-во Моек, ун-та, 1977. 325 е.
3. Родюков А. В., Тараканов А. Ф. О решении иерархической игры при неопределенности с суммарным риском игроков // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 5. С. 11-17.
4. Кузнецова И. А. Иерархические игры с неопределенными факторами // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 21-24.
5. Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1983. 42 с.
6. Кузнецова И. А. Иерархические игры с неполной информацией первого игрока о выборе второго // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 29-32.
