Об одной иерархической игре трёх лиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. А. Кузнецова

УДК 518.9

ОБ ОДНОЙ ИЕРАРХИЧЕСКОМ ИГРЕ ТРЕХ ЛИЦ

Данная статья относится к теории иерархических игр трёх лиц 1-4]. Постановка задачи близка к рассмотренной в [4], когда «хозяин» управляет «подчинённым» через «директора». Отличие от [4] состоит в том, что доход «директора» в данном случае явно зависит не только от действий «хозяина», но и от его собственной стратегии. Поэтому для достижения оптимального результата стратегии-функции «хозяина» должны зависеть не только от стратегий-функций «директора», но и от его конкретного выбора.

Рассмотрим игру Г = (X,Y,Z,F,G,H), где X, Y, Z - множества стратегий игроков, F, G, H - их функции выигрыша, причём F отображает X х Z в R G — X х Y в R H — Y х Z в R Обмен информацией между игроками в данной игре организован следующим образом. Первый игрок («хозяин») первым выбирает свою стратегию-функцию и сообщает её второму игроку («директору»), затем второй игрок выбирает свою стратегию-функцию и сообщает её третьему игроку («подчинённому»), после чего делает свой выбор третий игрок. Для упрощения изложения считаем, что множества стратегий игроков конечны.

Г

собу обмена информацией, задаётся следующим образом. Положим

Г = , Ф2, Z,F,G,H),

где = {ф1} ф1 : Ф2 х Y ^ X Ф2 = {^2} : Z ^ Y. При всех

z справедливы равенства

F(фх, ^2, z) = F^2(z)), Z),

G(^i,^2,z) = G(l^i(^2(z ),z ),^2(z )), H ^i,^2,z ) = H (^2(z ) , z ).

Поскольку каждый игрок стремится максимизировать свою функцию выигрыша, то наибольший гарантированный результат первого игрока в игре Г определяется равенством

Y (Г) = max min min F )),z),

где

M2(^1) = { : V z G^i^^Z )),V2(z)) = max G(^1 (V2,V2(z)),V2(z )U;

^ J

M

зЫ = {Z : H(M.z'),zr) = maxH(^(z),z)}.

Основной результат статьи состоит в сведении данной вариационной задачи с ограничениями к экстремальным задачам на исходных множествах X, Y, Z и нахождению оптимальной стратегии первого игрока.

Теорема. Справедливо равенство

Y (Г) = max(Ki3,Mi3,Li), где K13 = max F(x,z)7 D13 = {(x,z) : 3 y G(x,y) > L2, H(y,z) >

(x,z)eD13

> L3} L2 = max min G(x,y), L3 = max min H(y,z) M13 =

У x z y

= max min F(x,z)7 E1 = {x : 3 y G(x,y) > L2}, E3 = {z' :

xeEi zge3

min H(y,z') = L3}, L1 = max min F(x,z) (максимум no пустому мно-

y x z

жеству будем считать равным —ж).

Доказательство. Рассмотрим все возможные случаи. 1. Выполняется равенство max(K13, M13, L1) = K13. Покажем, что результат K13 гарантирован первому игроку.

Пусть K13 = max F(x,z) = F(xo, zo). Из определения D13 сугце-

(x,z)eDi3

ствует y = yo, для которого справедливы не равенства G(x0,y0) > L2, H(yo,zo) > L3.

Определим отображение : Z ^ Y из условия

w ^ v о, \ \yo, z = Zo,

V z G Z ^2(z— ^ ,

где _ «стратегия наказания», удовлетворяющая соотношению

V z G Z H(v— (z),z) = minH(y,z).

2y

Определим отображение ф1 : Ф2 х Y ^ X равенством

w ,o( \ (x o, V2 = V2,

V ^ y Ф1 (V2,y) = \ —( . , Q

где — «стратегия наказания», определяемая условием

V y G Y = minG(x,y).

x

Очевидны равенства M3(p>2) = {zo}, = {^2} и следовательно,

справедливо соотношение

min min F(^2, P2(z)), z) = F(^2, PoM), zo) =

= F (xo,zo) = K13

и верно неравенство y(Г) > K13.

2. Справедливо равенство max(K13, M13, L1) = M13. Определим xo G E1 из условия

min F(xo, z) = max min F(x, z) = M13

zgE3 xgEi zgE3

и выберем yo G Y, удовлетворяющий неравенству G(xo,yo) > L2. Определим отображение ^2 : Z ^ Y равенством

w ,7 o^ z G E3,

v z G Z P2(z) = 4 , p

и отображение : Ф2 x Y ^ X — соотношением

w ,o( ч ixo, P2 =

[my^ P2 = p2.

Выполняются условия M3(p2) С E3, M2(ф0) = {^2} и? следовательно, справедливы неравенства

min ^ min^ F(^o(^2,P2(z)),z) > minF^(^2,^2(z)),z) =

= min F(xo, z) = M13,

zeE3

то есть y(Г) > M13 и результат M13 гарантирован первому игроку.

3. Верно равенство max(K13, M13, L1) = L^

Результат L1 всегда гарантирован первому игроку. Это наибольший результат, который он может себе обеспечить, применяя максимальную стратегию.

Таким образом, у первого игрока существуют стратегии, обеспечивающие ему получение выигрыша, не меньшего шах(К13, М13, Ь1). Легко показать, что больший выигрыш он гарантированно получить не может. Следовательно, верно равенство 7(Г) = шах(К13, М13, Ь1), что и требовалось доказать.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Меньшиков И. С. Игра трёх лиц с фиксированной последовательностью ходов // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15, № 5. С. 1148-1156.

2. Кукушкин Н. С. Бескоалиционные игры трёх лиц с фиксированной иерархической структурой // ЖВМ и МФ. 1979. Т. 19, № 4. С. 896-911.

3. Кузнецова И. А. Иерархические игры трёх лиц с коалициями // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 41-43.

4. Кузнецова И. А. Об одном классе бескоалиционных иерархических игр трёх лиц // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 34-36.

УДК 517.984

В. П. Курдюмов, А. П. Хромов

БАЗИСНОСТЬ РИССА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ

В настоящей статье рассматривается вопрос о базисах Рисса вЬ2[0,1] из собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) интегрального оператора

пX п1

А/ = а Al(x,t)f(t)dt +/ А2(1 - (1)

«V 1—х

где а2 = 1, А1(х^) ¿к^А2(х,^ при 0 < к + I < 2 , причем, если

к + I = 2, то к = I = 1, непрерывны при t < х (Ь > х), А1(х, х — 0) = = А2(х,х + 0) = 1.

Оператор (1) и более общего вида интегральные операторы, допускающие разрывы самих ядер или их производных, впервые рассматривались одним из авторов в [1]. В дальнейшем исследованию таких операторов было посвящено много работ (например, [2-4]). В частности, в [4] был рассмотрен вопрос о базисности Рисса в Ь2[0,1] с.п.ф. оператора

п1— X

л/ = А(1 — х^)/(2) Jo