Об одной иерархической игре со случайными факторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2, Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М, : Наука, 1969,

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ОБ ОДНОЙ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ ИГРЕ СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАКТОРАМИ

Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками [1]. Исследование таких игр проводилось, в частности, в работах [2-7]. В настоящей работе предполагается, что функция выигрыша обоих игроков зависят от случайного фактора, находится наибольший гарантированный результат первого игрока и его оптимальная стратегия при данном предположении. Случай зависимости от случайного фактора только функции выигрыша второго игрока исследовался в [5], похожая постановка задачи для частного случая двух неопределенных факторов и квадратичных функций выигрыша игроков рассматривалась в [6].

Рассмотрим систему Г = (X, У, I, Г, С), где X - множество стратегий первого игрока, У - множество стратегий второго игрока, I = = {1,..., г,..., п} - множество неопределенных факторов, Г : X х У х х I ^ Я - функция выигрыша первого игрока, С : X х У х I ^ Я функция выигрыша второго игрока. Кроме того, па множестве I задано распределение вероятностей, т. е. набор чисел р1,... ,р{,... ,рп, удовле-

п

творяюгций условиям р1 > 0, г = 1... п, = 1. Здес ь = 1 ...п

¿=1

г

считать, что множества X и У конечны.

Рассмотрим следующее информационное расширение данной игры. Пусть Г = (фь Ф2 х У,^Р,С), где Ф1 = : У ^ 2х, Ф2 = {^2},

: 2х ^ X, причем при всех Т С X выполняется условие ф2(Т) € Т, функции гР и С задаются соотношениями

^^Ръ (ф2,У),г) = Г(ф2(¥l(У)),У,i),

С(<£ъ (ф2,У),г) = С(М^1 (У)),У,г).

Здесь первый игрок передает второму право выбора х в определенных пределах. Оптимальность такого расширения показана в [7].

Для наибольшего гарантированного результата первого игрока при такой постановке задачи справедливо равенство

Y (r)=ma^V р{ min F (^2(^1 (y

«=1

где

M«(^i) = {(^2,yO : G(^2ЫуО),У^) = max(y)),y,i),

i = 1... n.

Далее данная вариационная задача с ограничениями сводится к экстремальной задаче на исходных множествах, также находится оптимальная стратегия первого игрока.

Теорема. Справедливо равенство y(Г) = Yo; где

n

Yo = mах( ) _ ^p«F(x«,y«,i),

«=1

To = {((Ж1,ш),... , (x«,yi),..., (xn,yn)) : Vi = 1,... ,n; Vj = 1,.. .n; (Xj,yj) < (x«,y«);Vy G Y G X Vi = 1,...,n; (x,y) < (x«,y«)}, (1)

(x',y') < (x",y") ^ G(x/,y/,i) < G(x",y",i)

ли

G(x/,y/,i) = G(x//,y//,i),F(x/,y/,i) > F(x//,y//,i).

Доказательство. Возьмем ^ с Ф1 и точки (ж^у^), г = 1... п, удовлетворяющие условиям

С(хг,уг,г) = тах С(^2(^1(у)),у,г),

Т (хг,уг,г)= тт ^ (^2(^1(У)),У,г),г = 1,...,п

Очевидно, что ((х1, у1),... , (ж^, у^),..., (жп, уп)) € То, откуда вытекает выполнение неравенства 7 (Г) < 70.

Докажем противоположное неравенство. Выберем вектор ((ж0, у0),..., (ж0,у0),..., (жП,уП)) € Т0, максимизирующий па мно-

п

жестве Т0 функцию Х^Т(ж^, у^, г), и зададим отображение : У ^ 2х

¿=1

равенством

хг-, если у = у г, ^-(У); еслиУ = У0, где для функции выполнено соотношение

,о

,о

(ч>-(у),у) < (х0,у0),^у е У, V» = 1,...,п.

(3)

Существование такой функции следует из определения множества Т0. Условия (1)-(3) обеспечивают справедливость при всех ((жх,ух),..., (хг,уг),..., (хп,Уп)) е То неравенства

1, Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами, М, : Наука, 1976,

2, Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагониетичееких игр, М, : Изд-во Моек, ун-та, 1977

3, Кононенко А. Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц е фиксированной последовательностью ходов // ЖВМ и МФ, 1973, Т. 13, 2, С. 311-317.

4, Родюков А. В., Тараканов А. Ф. О решении иерархической игры при неопределенности с суммарным риском игроков // Известия РАН, Теория и системы уравнений, 2007, №5. С, 11-17,

5, Кузнецова И. А. Иерархические игры со случайными факторами // Математика, Механика, : сб. научи, тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6, С, 77-79,

6, Кузнецова И. А. Иерархические игры с квадратичными функциями выигрыша // Математика,Механика, : сб. научи, тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2012, Вып. 14. С. 42-45.

7, Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1983.

п

п

^рТ (Ф2 (^0(у)),у,») > ^ (хг,уг,»)

¿=1

г=1

откуда вытекает неравенство 7(Г) > 70, причем очевидно, что стратегия является оптимальной. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК