CC BY
19
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Бурлуцкая М. III.. Курдюмов В. П., Хромов А. П. Асимптотика собственных значений и собственных функций системы Дирака с квадратично суммируемым потенциалом // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат, зимн, шк, 27 янв, - 3 февр, 2012 г., Саратов : Научная книга, 2012, С, 3435.
2, Бурлуцкая М. Ш. Система Дирака с непрерывным потенциалом и периодическими краевыми условиями / / Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат, шк, «Понтрягинекие чтения - XXIII», Воронеж : Издат,-полиграф, центр Воронеж, гос. ун-та, 2012, С, 34-35,
3, Хромов А. П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений системы Дирака с периодическими краевыми условиями и непрерывным потенциалом // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весен, мат, шк, «Понтрягинекие чтения - XXIII», Воронеж : Издат.-полиграф, центр Воронеж, гос. ун-та, 2012, С, 194-196,
УДК 519.2
И. А. Кузнецова
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫИГРЫША
Иерархичесие игры — это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, в которых важную роль играет информированность первого игрока об интересах второго [1]. Исследованию таких игр при различных вариантах информированности посвящены, в частности, работы [2-5]. В данной статье предполагается, что первый игрок не знает точно функции выигрыша второго, которая влияет и на его интересы. При этих предположениях находится наибольший гарантированный результат первого игрока. Полученная формула применяется для частного случая квадратичных функций выигрыша игроков.
Пусть X, У _ множества стратегий игроков, и
(г = 1,2) — их функции выигрыша. Таким образом, имеем систему Г = (X, У, ,С1,С2). Рассмотрим иерархическую игру Г = (Ф1, Ф2 X У^АСь^), где Ф1 = {ф1 | ф1 : У ^ 2х}, Ф2 = {^2 | ф2 : 2х ^ X}, причем при всех Т С X выполняется условие ф2(Т) Е Т, функции ^Р2, С15 С2 определяются равенствами
£(ф1,(ф2,у)) = Ъ(ф2(ф1(у)),у), ^(фь(ф2,у)) = СШФ1(У)),У)> г = 1, 2.
Информационная интерпретация такого расширения исходной игры и доказательство его оптимальности приведены в [6]. Наибольший гарантированный результат первого игрока в построенной игре Г определяется
равенством
Y = sup mini inf ^1(фь inf ^2 (ф1, (^2, y))),
где множества Mi(01) i = 1, 2 находятся го соотношений Mi (ф1) =
= {№,У/) 1 (^2,У/)) > suP(^2,y) G(фь fey)) - й} i = 1, 2, где
_ некоторые малые положительные числа.
Аналогично выкладкам работы [5] для стохастической информированности первого игрока об интересах второго можно показать, что справедливо равенство
Y = sup min(11,12),
(liM)zL
где L = {(¿1,^2) | 3(Ж1,У1), (Ж2,У2)(^х(ж1,У1) > ¿1&^2(Ж2,У2) >
> /2&Vy3x(G1(x,y)) < G1(x1,y1)&(G1(x,y) < G^yO - ¿1 V F1(x,y) >
> I1&G2(x, y) < G2(X2, y2)&(G2(x, y) < G2(X2, У2) - ¿2 V F2(x, y) > /2))}-Отсюда нетрудно видеть, что справедливы неравенства
max min(F1(x1,y1),F2(x2,y2)) = Y < Y, (1)
((xi ,yi),(x2,y2))ez
Y < Y + = min(F1 (x1, y1), F2 (x2, y2)), (2)
((Xi,yi),(X2,y2))eZ+
где множества Z , Z + определяются соотношениями
Z- = {((Ж1,У1), (Х2,У2)) | (х,у) < Сх(Ж1,У1) - ¿1&С2(ж,у) <
< ^2(Ж2,У2) - ¿2)};
Z + = {((Х1,У1), (Х2,У2)) | УуЗж(^1 (х,у) < С1(Ж1,У1)&^2(Ж,У) <
< С2(Х2,У2))}.
Итак, мы нашли пределы [7-,7+], в которых лежит 7. Если при (¿1^2) ^ (0,0) выполняется уеловие 7- ^ 7 + и мпожества Z- и Z+ допускают несложное описание, то задачу вычисления 7 можно считать решенной. Эти условия верны для рассматриваемых ниже квадратичных функций выигрыша игроков.
Пусть X = У = [0,1], ^(х,у) = - а*)2 + (У - &*)2,
С*(ж,у) = -у7(х - с*)2 + (у - ^)2, г = 1, 2. Введем обозначение г* = \/(х - с*)2 + (у* - ¿г)2. Тогда геометрический смысл множества Z+ состоит в том, что на каждой горизонтали у = сопй£ квадрата [0,1] х [0,1] существует точка, лежащая вне или на границе кругов с центрами в
точках Е1(с1,^1) Е2(с2,^2) и радиусами г1 и г2 соответственно. Множество Z— интерпретируется аналогично. В зависимости от соотношений между числами а15 Ь1? а2, Ь2, с1? ¿1, с2, ¿2 условия принадлежности точек этим множествам преобразуются различным образом. Предположим, например, что выполняются неравенства с2 — с1 > > С2 > — ¿2)2 + (С2 — 2 • С1)^ 1 — С1 > /(¿1 — ¿2)2 + (2 • С2 — 1 — С1)2,
Дх + > + ^12 > Дг, ^2 + ^12 >
с1 ^ Д1 — Д2 + Д12 . . ( п 1 — с2 п , <-< ш1п(Д12--——, Д1),
cos(a) 2 cos(a)
Ci . D2 - Dl + Di2 + ¿2 - ¿1 . 1 - c2
<-< min(D12--—— ,D1),
cos(a) 2 cos(a)
1 - c2 . D2 - D1 + D12 . . ( n C1 n x
-T2 < -ö- < min(D12--^,D1^
cos(a) 2 cos(a)
1 - Co D2 - D1 + D12 + ¿2 - ¿1 ^ • / n C1 .
-ГТ < -ö- < min(D12--^,
cos(a) 2 cos(a)
где Di = \J(ci - а»)2 + (di - bi)2, i = 1, 2 D12 = V(c2 - C1)2 + (d2 - d^2, а — угол между прямой E1E2 и осью ординат.
Тогда можно показать, что максимум левой части (1) y- достигается в точках (x1,y1), (x2,y2), где Ki(xi,yi) является точкой пересечете, Dj— d,- +DI2 — si —s2 гт г^ пия круга с центом в точке E радиуса -j—2- и отрезка HiE
(i, j = 1, 2, i = j, точка H» имеет коордипаты (ö», bi)), а максимум правой части (2) y + достигается в точках (x1, y1), (ж^,у2) ГДе ) являет-
r> Di-D, +d12
ся точкой пересечения круга с центром в точке E ради уса-2- и
отрезка HiEi(i, j = 1, 2, i = j).
Величина y b этом случае лежит в пределах [-Di+D2~-|d 12-si-s2, -di+d22-di2Таким образом, уменьшая ¿1 и ¿2, мы можем добиться произвольной близости y к величине - dl+d22-dl2. Для других соотношений между параметрами задачи выкладки аналогичны.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М, : Наука, 1976.
2. Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагониетичееких игр. М, : Изд-во Моек, ун-та, 1977.
. 3. Шолпо И. А. Об одном клаеее иерархических игр двух лиц // Вест. МГУ. серюВычислнтельная математика и кибернетика. 1978. JVS 4. С. 58-62.
4. Кононенко А. Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов // ЖМВ и МФ. 1973. Т. 13, JVS 2. С. 311-317.
5, Кузнецова И. А. Иерархические игры со случайными факторами // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6, С, 77-79,
6, Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1983,
УДК 517.984
В. П. Курдюмов, А. П. Хромов
О БАЗСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
В данной статье рассматривается вопрос о базисности Рисса в пространстве Ь2[0,1] собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) дифференциального оператора с инволюцией
Ьу = /[у] = у'(1 - х) + д(ж)у(ж),ж е [0,1], (1)
У(0) = у(1), (2)
где д(ж) е Ь2[0,1].
В случае, когда д(ж) е С1 [0,1], базиспость Рисса с.п.ф. оператора (1)— (2) может быть установлена методом из [1]. Значительные трудности, возникающие в случае, когда д(ж) е Ь2[0,1] в данной работе преодолеваются с помощью метода статьи [2] нахождения уточненных асимптотических формул для собственных значений системы Дирака. Рассмотрим систему Дирака:
(0 Л) V'(х) + Ц) -Г) ф'> = Р*(х), (3)
Мо*(0) + М1 *(1) = 0, (4)
где д1(х) = р^е2*7^, д2(ж) = р^в-2*7^, р(ж) = 2(д(ж) - д(1 - ж)),
7(ж) = 2 /(?(*) + д(1 - *))^,Мо = ^ -1), М1 = е-Ц, 7 = 7(1).
С помощью теоремы 1 из [2] (она легко обобщается и для случая (ж) е Ь2[0,1]) стандартно получается Лемма 1. Собственные значения краевой задачи (3)—(4) достаточно большие по модулю, простые, и для них имеют место асимптотические формулы
Рп = -г(7 + пп + Еп) (п = ± по, ± (по + 1),...), (5)
