CC BY
40
gil'bertovy prostranstva. Moscow, Fizmatgiz, 1961, 7. Godeman R. Algebraicheskaia topologiia i teoriia
472 p.) puchkov [Algebraic topology and theory of sheaves].
5. Gelfand I. M., Shilov G. E. Prostranstva osnovnykh i Moscow, Izdatelstvo inostrannoj literatury, 1961, 320 p. obobshchennykh funktsii [Spaces of test and generalized (in Russian).
functions]. Moscow, Fizmatgiz, 1958, 308 p. (in Russian).
6. Rham G. de. Differentsiruemye mnogoobraziia [Diffe- 8. Fomenko A. T., Fuks D. B. Kurs gomotopicheskoi rentiable manifolds]. Moscow, Izdatelstvo inostrannoj lite- topologii [A course in homotopy topology]. Moscow, ratury, 1956, 250 p. (in Russian). Nauka, 1989, 528 p. (in Russian).
УДК 501.1
СИСТЕМА ДИРАКА С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ И АНТИПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
В. В. Корнев1, А. П. Хромов2
1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KornevVV@info.sgu.ru
2Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KhromovAP@info.sgu.ru
В работе рассматривается система Дирака с антипериодическими краевыми условиями и с комлекснозначным непрерывным потенциалом. Предложен новый метод исследования спектральных свойств этой краевой задачи. Метод базируется на формулах типа операторов преобразования и является элементарным и простым. С его помощью получена уточненная асимптотика собственных значений и доказано, что система собственных и присоединенных функций образует базис Рисса со скобками в пространстве квадратично суммируемых двумерных вектор-функций, так как собственные значения могут быть кратными. Исследуется также структура проекторов Рисса. Полученные результаты можно использовать в смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка с инволюцией.
Ключевые слова: система Дирака, спектр, асимптотика, базис Рисса.
Рассмотрим на отрезке [0,1] систему Дирака:
y'i(x) - q2(x)y2(x) = Ayi(x), (1)
у2(x) - qi (x)yi(x) = -АУ2(x) (2)
с краевыми условиями
yi(0) = -У1 (1), У2 (0)= y 2 (1), (3)
где qj (x) — непрерывные комплекснозначные функции.
В работе [1] предложен новый метод исследования спектральных свойств системы (1), (2) в случае периодических краевых условий. В данной работе на основе этого метода подобное исследование осуществляется в случае антипериодических краевых условий (3). Метод базируется на формулах типа операторов преобразования (см. также [2, с. 30]), является элементарным и весьма простым. В качестве приложения дается новое доказательство теоремы П. Джакова, Б. С. Митягина [3,4] о базисах Рисса. Как и в периодическом случае, в антипериодическом случае возможна кратность собственных значений. Полученные результаты могут быть также использованы в смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка с инволюцией [5].
1. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Имеет место следующая асимптотика решений системы (1), (2):
Лемма 1. Система (1), (2) в области Re А > — h, h > 0, при больших |А| имеет фундаментальную матрицу решений Y(x, А) = (yj(x))1 с асимптотикой
Y(x, А) = (E + o(1))eADx, (4)
где E = diag (1,1), D = diag (1, —1), o(1) ^ 0 при | А| ^ го равномерно по x е [0,1] и arg А, yj (x) — аналитичны по А.
Лемма справедлива и при Ие А < Л, а её доказательство можно найти, например, в [1]. Используя асимптотическую формулу (4), получим главный член асимптотики собственных значений.
Теорема 1. Собственные значения краевой задачи (1)-(3) образуют две бесконечные последовательности с асимптотикой:
ААп = (2п + 1)П + е', А' = (2п + 1)П + е', п = ±по, ±(по + 1),...,
где е'п ^ 0 и е' ^ 0 при п ^ ж. В случае е'п = е' они простые, а в случае е'п = е' — двукратные.
Доказательство. Обозначим Д(А) = У(0, А)+У(1, А). Собственные значения совпадают с корнями уравнения
ёе^(А) = 0. (5)
По лемме 1
det Д(А) = det (Е + о(1) + (Е + о(1))еЛВ) = det(E + о(1)) ■ det (Е + о(1) + еЛ°) = = (1 + о(1)) (еЛ(е-Л + 1 + о(1))(е-Л + 1 + о(1)) + о(1)) .
Следовательно, при больших |А| уравнение (5) эквивалентно уравнению
^о(А) + (А) = 0, (6)
где ро(А) = (е-Л + 1)2, ^ (А) = о(1).
Нули функции (А) двукратные и равны А' = (2п + 1)пг, п е Ъ. Поэтому все собственные значения задачи (1)-(3) достаточно большие по модулю, лежат в некоторой полосе | Б£ А| < Л, и из (6) по теореме Руше получаем утверждение теоремы. □
Введем в рассмотрение оператор
ьУ = (У1 (х) - ?2(х)У2(х), -у2(х) + ?1(х)У1(х))Т, У(0) = —у(1)
где у = у(х) = (у1(х),у2(х))т, Т — знак транспонирования. Очевидно, собственные значения оператора Ь совпадают с собственными значениями краевой задачи (1)-(3).
Лемма 2. Для резольвенты ЯЛ = (Ь — АЕ)-1, где Е — единичный оператор, справедлива формула
Ял/ = —У(х, А)Д-1 (А)и(Сл/) + Сл/, (7)
1
где Сл / = / У (х, А)Ео(х,£)У-1(£,А)/(£) (И, и (у) = у(0) + у(1), Ео(х,£) = diag (—е(£, х), е(х, £)),
т
о
е(х, £) = 1 при х > е(х, £) = 0 при £ > х, / = (/1(х), —/2(х))т, /(х) — координаты /(х), У (х, А) — та же, что и в лемме 1.
Доказательство. Пусть ЯЛ/ = у. Тогда имеем Ьу = Ау + / или
у'(х) — д(х)у(х) = АЕу(х) + /(х), (8)
у(0)+ у(1) = 0, (9)
ч ( 0 д2(х) где д(х) = У2у
\?1 (х) 0
Ищем решение краевой задачи (8), (9) в виде у(х) = У (х, А)с(х), т.е. применяем метод вариации произвольных постоянных. В результате получим формулу (7). □
Обозначим через Бь область, получающуюся из А-плоскости удалением всех чисел А' = (2п +1)П вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса <5.
Лемма 3. В Бь при |А| ^ ж справедлива асимптотическая формула:
1
Ял / = / 0(1)/(£)
о
где 0(1) — матрица с элементами, имеющими оценку 0(1) по А, равномерную относительно других переменных.
Доказательство. Из доказательства теоремы 1 следует, что в справедлива оценка
| ёе^(А)|> с|еЛ| (10)
(через с обозначаем разные положительные постоянные, встречающиеся в оценках).
Утверждение леммы легко следует из формулы (7) с учетом (4) и (10), так как случай Ие А < Н рассматривается аналогично. □
Теорема 2. Системы собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) операторов Ь и Ь* полны в пространстве Ь [0,1].
Доказательство. Покажем вначале полноту с.п.ф. сопряженного оператора:
Ь*г = (—(х) + д1(х)г2(х), ¿2(х) — 92(х)^1(х))т, г(0) = —¿(1).
Пусть / ортогональна всем с.п.ф. оператора Ь*. Тогда Лл/ есть целая функция по А. В силу леммы 3 и теоремы Лиувилля ЛЛ/ не зависит от А, т.е. ЛЛ1 / = ЛЛ2/, если А1 = А2. Но ЛЛ1ЛЛ2/ = = (ЛЛ1 / — ЛЛ2/)/(А1 — А2). Следовательно, / = 0, и система с.п.ф. оператора Ь* полна.
Полнота с.п.ф. оператора Ь устанавливается аналогично, так как (Ь*)* = Ь и для Л_л(Ь*) = = (Ь* + АЕ)-1 также справедлива лемма 3. □
2. УТОЧНЕННАЯ АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Для уточнения теоремы 1 воспользуемся системой решений системы Дирака, введенной в [1], которая определяется следующим образом. Система (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений:
х
У1(х) = С1 еЛх + у еЛ(х_*)42(¿Ь(¿) ей, 0
х
У2(х) = С2е_Лх + / е_Л(х_^)д1(^)у1 (¿)
0
где с1, с2 — произвольные постоянные.
Выполним замену у1 (х) = еЛхг1(х), у2(х) = е_Лхг2(х). Относительно (х) и г2(х) получим:
х
¿1 (х) = С1 + у е_2Л52(^)^2(¿) (11)
0
х
¿2 (х) = С2 + ^ е2Л(12) 0
Через (г11(х), г12(х))т будем обозначать решение (11), (12) при с1 = 1, с2 = 0, а через (г21 (х),г22(х))т — решение системы (11), (12) при с1 =0, с2 = 1. Лемма 4. Имеют место формулы
х х
¿11 (х) = 1 + У е_2Л«Кц(х,0 ¿С, ¿21 (х) = ^ е2Л«К21 (х,С) ¿С,
00 х 1
¿12 (х) = / е_2Л«К12 (х,С) ¿С, ¿22 (х) = 1+[ е2Л«К22 (х,С) ¿С,
где Кц(х, С) = £ КИ)П(х,С), Кп>п(х,С) = /92(^1) ¿¿1 /£(¿1,^2)91 (¿2) ¿¿2 ... / £(^«-3, ¿2п_2) х
п=1
X 91 (¿2п_2) ¿¿2п_2 / е(^2п_2, ¿2п_1)е(С, ¿2п(С) + С — ¿2п_1)е(^2п(С) + С, 052^-1 )?1 (¿2п(С)) ¿¿2п_1, 0
х2п_2
¿2п(С) = ¿1 — ¿2 + ¿з — ... + ¿2п_1 — С, Кп(х,С) не зависит от А, |КИ)П(х,С)| < (с1С2)п ^ _ 2),, 30 Научный отдел
е7- = тах (х)|, К21 (х, С) = ^ (С) + / ^(т}Кц(т, т — С) ¿г, К22 получается из Кц, меняя ^ на д2,
д2 на д1, а К12 — из К21, меняя д1 на д2 и К11 на К22. (По поводу доказательства леммы 4 см. [1].)
Везде далее У(х, Л) = (уц(ж))?, где уц(х) = еЛххц(х), У27(х) = е-Лхх2ц(х), ^ = 1,2. Уравнение (5) для собственных значений после умножения обеих частей на еЛ/х11 (1) примет вид
е2Л + £1(Л)ел + 02(Л) = О, (13)
где 01 (Л) = —^-(1 + хц(1)х22(1) — х12(1)х21 (1)), 02 (Л) = Х22(1). В дальнейшем через ап будем Х11(!) Х11(1)
обозначать различные числа, для которых ^ |ап|2 < го, а через вп — такие ап, которые можно точно
вычислить.
Получим асимптотику хц (1) при Л = Лп = (2п + 1)пг + еп, где еп ^ 0 при п ^ го. Лемма 5. При Л = Лп справедливы асимптотические формулы:
хц (1)= 8ц + Шп + О(еп), (14)
где 5ц — символ Кронекера, Шп = вп + впеп + впеп + впеп• Доказательство. По лемме 4 имеем:
1 1 *11(1) = 1 + / е-2Л™«Кц(1,С) ¿С = 1 + / е-4-« — 2епС + ^^ — Х
о о
хе-2™«Кц(1, С) ¿С + 0(£п) = 1+ Шп + 0(£п),
где Шп = /е-4ппг« (^1 — 2епС + (2£Г,С) — (2£Г,С) ) е-2™«Кп(1,С) ¿С. Таким образом, формула (14) о V 2! 3! У
при г = ^ = 1 доказана. Остальные формулы в (14) получаются аналогично. □
Следствие. При Л = Лп имеет место соотношение
х—1 (1) = 1 + Шп + «п + О(еп). (15)
Из леммы 5 и формулы (15), в свою очередь, легко следует, что справедливы следующие асимптотические формулы:
07(Лп) = 22-7 + Шп + «п + О(еп), ^ = 1, 2. (16)
Лемма 6. Для чисел еп и е'^ из теоремы 1 справедливы оценки
Доказательство. Обозначим
е = а1/2 е" = а1/2
п п п п
1 ^-ТТТ- ... 1
Ь±(Л) = еЛ + 201 (Л) Т л/03(Л), 03(Л) = 402(Л) — 02(Л).
Рассмотрим собственные значения Лп = (2п + 1)пг + еп краевой задачи (1)-(3). Они являются корнями уравнения (13). Следовательно,
Ь+(Лп) ■ Ь-(Лп) = 0. Пусть для определенности Ь+ (Лп) = 0. В этом случае
е£п = 1 + хп, (17)
где
хп = 101 (Лп) — у/ 03 (Лп) — 1. (18)
На основании (16) заключаем, что
03 (Лп) = Шп + ап + 0(е!), \/0з (Лп) = а^2 + 0^),
Хп «п
Используя эти соотношения, из (17) получаем, что
еп - Хп + 0(хп ) - ап + (еп ) 7
(19)
1/2
откуда следует, что еп — ап .
Случай ¿_(Лп) — 0 рассматривается аналогично. Лемма доказана. □
Теорема 3. Пусть еп — любое из е',п или е"п. Справедливы асимптотические формулы:
еп ±вп1 + ап/
(вопрос о знаке перед вп2 не ясен).
Доказательство. Пусть Лп — (2п + 1)П является собственными значениями задачи (1)-(3) и, для определенности, £+(Лп) — 0. В этом случае по формулам (16) и (18) имеем:
Хп — Шп + аП + О(еП) - Л/Шп + «П + 0(е£)•
В силу леммы 6 шп — вп + а^/2 и поэтому
Хп — вп + «3/2 - V вп + «3/2 •
Отсюда с учетом (19) заключаем, что
£п — - V вп + «3/2 + «п •
(20)
Возможны два случая. В первом случае
Тогда из (20) следует, что Во втором случае
В этом случае
увп + а3^2 + л/вп
л/вп вп + «3/2
еп — - л/^ + л/вп - \/вп + «3/2
вп + «3/ вп
<
,3/4
>
(21)
,3/4
\/вп + «3/2 - л/вп
-п
< а:
3/4
Учитывая это, из (20) получаем, что
£п — Ж + «3/4. (22)
Из (21) и (22) следует утверждение теоремы (случай ¿_(Лп) — 0 рассматривается аналогично). □ Как и в периодическом случае, для кратных собственных значений можно получить еще более точную асимптотику.
Теорема 4. Если д3(Лп) — 0 для некоторого бесконечного множества Л собственных значений, то достаточно большие по модулю Лп из Л двукратны, и для них справедлива асимптотика
Лп — (2п + 1)П + вп + «п •
Доказательство. По теореме 1 число корней уравнения (13) в круге |(2п + 1)П - Л| <5 при больших |п| равно 2. Число (к_) корней £+(Л) (¿_(Л)) в таком случае не больше 2, причем + к_ — 2. Следовательно, если д3(Лп) — 0, то Ь± (Лп) — 0 и — к_ — 1, т. е. Лп — двукратный корень. В этом случае (17) примет вид
е — 2 дп(Лп).
Тогда
еЛп — 1+ Шп + «2 + 0(4), £п — Уп + 0(у2), (23)
где Уп — Шп + «п + 0(еп) — вп + вп£п + «п + 0(еп). Замечая, что — «п + О^), из (23) получаем:
£п — вп + вп£п + « 2 + 0(е п )• Отсюда следует, что еп — « п и (24) переходит в е п — вп + «п. Теорема доказана.
(24)
□
п
п
п
п
3. БАЗИСЫ РИССА
Пусть 5 — положительное достаточно малое число. По теореме 1 все собственные значения, достаточно большие по модулю, попадают в круги с границами 7п = (Л| \(2п + 1)пг — Л\ = 5}, причем обязательно по два в каждый круг (или по одному, если ЛП = ЛП). Суммарная кратность собственных значений в каждом круге равна двум. Рассмотрим проекторы Рисса:
Рп = — 2~1Кх "Л, (25)
7«
где
Ял/ = — У(х, Л)Д-1 (Л)и(Сл/) + Сл/, (26)
X
причем У(х, Л) — из раздела 2; Д(Л) = У(0, Л) + У(1, Л), Сл/ = /У(х,Л)У-1(г,Л)/(г) ¿г,
/ = /(х) = (/1 (х), /2(х))т, /(х) е Ь2[0,1].
Представлением (26) получается так же, как (7). Функция Сл/ есть целая по Л. Из (25), (26) имеем:
1
Рп/ = ¿7У (х,Л)Д-1 (Л)У (1,Л) i у-1 (г, Л)/(г) ¿ыл.
7« 0
Обозначим через з(Л) функции, зависящие только от Л, ограниченные по Л е 7п при всех п, достаточно больших по модулю. Структура проекторов Рисса описывается следующей леммой: Лемма 7. При \п\ достаточно больших
Рп/ = / Ф(х, Л; /) "Л,
7«
где каждая из компонент вектора Ф имеет вид
у(х)(иу ,71)
к
(суммирование ведется по всем к = (г1,^'1,¿,3,1), когда компоненты мультииндекса к принимают значения 1 и 2), иу(х) — элементы матрицы У-1(х, Л).
Доказательство леммы 7 аналогично доказательству теоремы 5 из [1]. Обозначим через <(х, д) одну из функций вида
<(х,д) = е№пг)х|^(х) + 1у <(т)Ку (т, (т ± х)/2) "Д,
^ X '
1
<(х, д) = 2<(т)Ку (т, (т ± х)/2) ¿т,
х
где <(х) е Ь2[0,1]. Знаки ± берутся в любой комбинации. Лемма 8. При д е 7 = {д\ \д\ = 5} справедливы оценки
11<(х,д)|| < с||<||,
где с не зависит от д, || ■ || — норма в Ь2[0,1].
Лемма 9. Если Л = (2п + 1)пг + д, д е 7, то для каждой пары (г, 3) существуют две функции <(х, д) из приведенных выше такие, что справедливы формулы
(уу (х),<(х)) = (е2ппгх,<(х, д)) + (е-2ппгх,<(х,д)) , г,3 = 1, 2. (27)
Доказательство. Имеем:
Лх
1
Ун = е—^х) = еЛх + / еЛ(х-25)Кп(х,С) ¿С = еЛх + ^ еЛтКп(х, (х — т)/2) ¿т =
— х
1
^Лх I 1 I ^Лт; 2
0
х
1
= еЛх + - / еЛтКп(х, (х — т)/2) ¿т + - / е_ЛтКи (х, (х + т)/2) ¿т = е2ппгхе(^+пг)х+
+ / е2ппгте(^+пг)тКи (х, (х — т)/2) ¿т + ^ / е_2ппгте_^+пг)тКи (х, (х + т)/2) ¿т.
00
Отсюда получаем (27) при г = ^ = 1. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана. □ Замечание. Конкретный вид ^(х,д) в (27) для каждой пары (г,^) в дальнейшем не важен. Лемма 10. Справедливы оценки
£|(Уу (х, (2п + 1)П + д),^)|2 < с|| к
^ |(иу(х, (2п + 1)пг + д), ^)|2 < с|
(28) (29)
где с не зависит от д е 7, (х, (2п + 1)пг + д) (и^ (х, (2п + 1)пг + д)) есть (х) (и^- (х)) при А = (2п + 1)пг + д.
Оценки (28) следуют из лемм 8 и 9. Оценки (29) получаются аналогично.
Лемма 11. Обозначим через N все целые числа, меньшие по модулю некоторого достаточно большого фиксированного числа. Пусть N — любой конечный набор целых чисел, причем N п N(3 = 0. Тогда справедлива оценка
5>
-ем
< с,
где с не зависит от набора N, || ■ || — норма в пространстве операторов в Ь2[0,1].
Доказательство. Пусть /(х) = (/1 (х),/2(х))т, д(х) = (д1(х),д2(х))т, /, д е Ь2[0,1]. По лемме 7 имеем:
Е(рп/,д)
-ем
^ |(Ф1 (х, (2п + 1)пг + д; /),д.) + (Ф2(х, (2п + 1)пг + д; /),д2)| ¿д
7
-ем
<
< ^ (x, (2п +1)пг + д),д^1(х))| ■ |(иу(x, (2п +1)пг + д),/¿1 (х))||^д1,
к пе^^
где Ф1, Ф2 — компоненты Ф, ^ означает суммирование по мультииндексу к = (г1 , ^11,12) с
к
компонентами, принимающими значения 1 и 2. Отсюда по лемме 10 получаем оценку
Е(рп/,д)
кем
< с|/1| - ИдИ
где с не зависит от N, / и д, и по теореме Банаха-Штейнгауза получаем утверждение леммы. □ Теорема 5. Система с.п.ф. краевой задачи (1)-(3) образует базис Рисса со скобками в Ь2[0,1]. Доказательство. В силу леммы 11 и теоремы 2 заключаем, что система с.п.ф. образует безусловный базис со скобками в Ь2[0,1], и каждая скобка содержит члены ряда Фурье по с.п.ф., соответствующие собственным значениям, попавшим в конкретные 7п при большом п. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00238а).
х
х
х
х
х
2
2
Библиографический список
1. Бурлуцкая М. Ш., Корнев В. В., Хромов А. П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2012. Т. 52, № 9. С. 1621-1632.
2. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 340 с.
3. Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for Riesz projections of ID periodic Dirac operators // Math. Nachr. 2010. Vol. 283, № 3. P. 443-462.
4. Джаков П. Б., Митягин Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака // УМН. 2006. Т. 61, № 4(370). С. 77-182. 001: 10.4213/гш2121.
5. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Метод Фурье в смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка с инволюцией // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2011. Т. 51, № 12. С. 2233-2246.
Dirac System with Undifferentiable Potential and Antiperiodic Boundary Conditions
V. V. Kornev, A. P. Khromov
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, KornevVV@info.sgu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru
The object of the paper is Dirac system with antiperiodic boundary conditions and complex-valued conditions potential. A new method is suggested for investigating spectral properties of this boundary problem. The method is based on the formulas of the transform operators type. It is rather elementary and simple. Using this method asymptotic behaviour of eigenvalues is specificated and it is proved that eigen and associated functions form Riesz basis with brackets in the space of quadratic summerable two-dimensional vector-functions since eigenvalues may be multiple. The structure of Riesz projection operators is also studied. The results of the paper can be used in spectral problems for equations with partial derivatives of the 1 -st order containing involution.
Key words: Dirac system, spectrum, asymptotics, Riesz basis. References
1. Burlutskaya M. Sh., Kornev V. V., Khromov A. P. Dirac system with non-differentiable potential and periodic boundary conditions. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fix., 2012, vol. 52, no. 9, pp. 1621-1632 (in Russian).
2. Marchenko V. A. Operatory Shturma-Liuvillia i ikh priloxheniia [Sturm-Liouville operators and their applications]. Kiev, Naukova Dumka, 1977, 340 p. (in Russian).
3. Djakov P., Mityagin B. Bari-Markus property for yflK 519.622
Riesz projections of ID periodic Dirac operators. Math. Nachr., 2010, vol. 283, no. 3, pp. 443-462.
4. Djakov P., Mityagin B. S. Instability zones of periodic 1-dimensional Schrodinger and Dirac operators. Russian Math. Surveys, 2006, vol. 61, no. 4, pp. 663-766. DOI: 10.4213/rm2121.
5. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. Fourier method in an initial-boundary value problem for a first-order partial differential equation with involution. Comput. Math. Math. Phys, 2011, vol. 51, no. 12, pp. 2233-2246.
АЛГОРИТМ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА, ШАГА И ПЕРЕМЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ
Е. А. Новиков
Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник отдела вычислительной математики, Институт вычислительного моделирования СО РАН, novikov@icm.krasn.ru
Построено неравенство для контроля устойчивости схемы Ческино второго порядка точности. На основе стадий этого метода построена численная формула первого порядка с расширенным до 32 интервалом устойчивости. На основе ¿-устойчивой (2,1)-схемы и численной формулы Ческино разработан алгоритм переменной структуры, в котором эффективная численная формула выбирается на каждом шаге по критерию устойчивости. Алгоритм предназначен для решения как жестких, так и не жестких задач. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность построенного алгоритма.
Ключевые слова: жесткая задача, схема Ческино, (2,1)-метод, контроль точности и устойчивости.
