О базсах Рисса из собственных функций дифференциального оператора с недифференцируемым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

5, Кузнецова И. А. Иерархические игры со случайными факторами // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6, С, 77-79,

6, Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1983,

УДК 517.984

В. П. Курдюмов, А. П. Хромов

О БАЗСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

В данной статье рассматривается вопрос о базисности Рисса в пространстве Ь2[0,1] собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) дифференциального оператора с инволюцией

¿у = %] = у'(1 - х) + д(х)у(х),х е [0,1], (1)

у(0) = у(1), (2)

где д(х) е Ь2[0,1].

В случае, когда д(х) е С1 [0,1], базисность Рисса с.п.ф. оператора (1)— (2) может быть установлена методом из [1]. Значительные трудности, возникающие в случае, когда д(х) е Ь2[0,1] в данной работе преодолеваются с помощью метода статьи [2] нахождения уточненных асимптотических формул для собственных значений системы Дирака. Рассмотрим систему Дирака:

(0 Л) '"(*>+Ц) »(*>=м»<х), о»

ЫоУ(0) + М1 ^(1) = 0, (4)

где д1(х) = р(х)е2%1(х\ д2(х) = р(х)е—2г7(х), р(х) = 2(д(х) — д(1 — х)),

7(х) = 2 |(д(*) + д(1 — гШМо = ^ —М1 = е—0Ц, 7 = 7(1)-

С помощью теоремы 1 из [2] (она легко обобщается и для случая д^(х) е Ь2[0,1]) стандартно получается

Лемма 1. Собственные значения краевой задачи (3)—(4) достаточно большие по модулю, простые, и для них имеют место асимптотические формулы

Мп = —¿(7 + пп + Еп) (п = ± по, ± (по + 1),...), (5)

где Еп стремится к нулю при п ^ ж.

Ключевым моментом решения поставленной задачи о базисности Риса с.п.ф. оператора Ь является уточнение асимптотических формул (5). Этот вопрос решается методом из статьи [2]. Обозначим одним и тем же ап произвольные числа, лишь бы ^ |ап|2 < ж ; и через вп — такие ап, которые можно точно выписать.

Лемма 2. Для собственных значений краевой задачи (3)—(4) имеют место асимптотические формулы

Мп = —¿(т + пп)+ вп + аП (п = ± по, ± (по + 1),...) (6)

Лемма 3. Число X, достаточно большое по модулю, является соб-

Ь

М = —¿X является собственным значением краевой задачи (3)—(4) и выполняется условие ¿VI(0) + v2(0) = ¿ег^(1) + е-^2(1). При, этом у(ж) = ¿е^^^ж) + е—%1 (х^2(ж) есть соответствующая собственная функция оператора Ь. Здесь Vj(ж) = Vj(ж,м) 0' = 1, 2) есть компоненты решения задачи (3)—(4)-

Леммы 1 — 3 используем для доказательства следующей теоремы

Ь

шие по модулю, простые и для них имеют место асимптотические формулы

Хп = ¿М2п (п = ± по, ± (по + 1),...),

где м2п определяется в (6).

Обозначим через собственные функции оператора Ь, соответствующие собственным значениям Хп, и через < - собственные функции оператора Ь*г = /(1 — ж) + А(ж)г(ж), г(0) = ¿(1), соответствующие Ап. Используем лемму 3 и теорему 1 в следующем утверждении. Теорема 2. Для любой / Е Ь2[0,1] имеет место:

(/,^п) = аn, (/,^п) = ап, (^п,^п) = 2 + о(1)

где (• , •) — скалярное произведение в Ь2[0,1].

Теорема 3. Системы с.п.ф. операторов Ь и Ь* полны в Ь2[0,1]. Из теорем 2 и 3 по теореме Бари ([3], с. 374 375) следует основной результат.

Ь

Ь2[0, 1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференциальные уравнения, 2008, Т. 44, № 2, С, 196—204,

2, Бурлуцкая М. Ш., Курдюмов В. П., Хромов А. П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака/ / Докл.АН. 2012. Т. 443. №4. С. 414-417.

3, Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М, : Наука, 1965. 445 с.

Д. С. Лукомский

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ ХААРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ КОШИ

Статья посвящена численному решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [0,1] с использованием разложения функций в ряд по системе Хаара [1]. Ранее, например, в работах [2, 3] рассматривалось применение функций Хаара для решения дифференциальных уравнений и вариационных задач. Однако в данной статье предложен другой подход. Ранее с помощью системы Хаара строилось само решение дифференциального уравнения. В этом случае приходилось вводить специальный оператор дифференцирования для кусочно-постоянных функций, что приводило к довольно громоздким вычислениям.

В данной работе по заданной ортогональной системе записывается разложение второй производной функции. И, после двойного интегрирования, искомое решение будет представимо в виде ряда по системе кусочно-квадратичных функций.

Рассмотрим задачу Коши на отрезке [0,1] следующего вида:

Запишем функции р(х) и /(х) в виде их разложения в ряд по системе

УДК 517.51

у//(х) + р(х)у(х) = /(х) у(0) = уо

у/(0) = У1

(1)

Хаара:

00

к=0