Иерархические игры со случайными факторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАКТОРАМИ

Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, например, государство и гражданин или глава фирмы и её работник. В иерархических играх исследование проводится с точки зрения «управляющего» (для определённости первого) игрока, на основе его информированности о ситуации. Основополагающей для теории иерархических игр явилась монография [1]. Различные варианты информированности первого игрока об интересах второго рассматривались в работах [2] - [4]. В данной статье предполагается, что первый игрок имеет стохастическую информацию об интересах партнёра, и находится наибольший гарантированный результат первого игрока и его оптимальное поведение при этом предположении.

Рассмотрим систему

( " ) I <=1 )

Здесь X — множество стратегий первого игрока, У - множество стратегий второго игрока, F— функция выигрыша первого игрока, С,, г = 1,-функции выигрыша второго игрока, р-[,...,р,,...,рп - действительные числа. Будем считать, что множества X и У конечны.

Предполагается, первый игрок знает, что с вероятностью р1 функцией выигрыша второго игрока является функция б,, 1 = 1,...,и, то есть интересы второго ифока зависят от случайного фактора с известным распределением. Управляющий игрок может организовать обмен информацией о стратегиях между игроками, то есть строить информационные расширения игры Г.

Рассмотрим игру Г = (ф,,Ч'2 х¥,Р,р1,...,р1,...,р„,Сг],...,б1,...бп), где Ф,={ф|}, ф ¡:У->2*, ^2 = {у2}, X, причём при всех Гс!

выполнено условие Т, функции /^С!,...^,-,..^,, определяются ра-

венствами ^(ф|,(у|/2,^)) = ^(ф2(ф1(.у)),^), е!(ф1,(ф2,^)) = С/(ф2(ф1(у)),^), 1 = 1,...,п. Обмен информацией в данной игре организован следующим образом: первый игрок сообщает второму функцию ф|, второй игрок, зная ф,, в соответствии со своими интересами выбирает \\)2 и у. Таким образом, первый игрок передаёт второму право выбора х в определённых пределах. Это позволяет первому игроку использовать интересы второго, не зная их точно. Известно [5], что такой способ обмена информацией являет-

ся оптимальным при любой информированности первого игрока об интересах партнёра.

Наибольший гарантированный результат первого игрока в данном случае определяется равенством

y(f) = шах ¿/V, min МфгЫдОЫ-

где М,(ф|) = |(\|/2,/):С,(цг'2(ф,(у')),у') = шах С,(\|/2(ф,(у)Ы|> i = l,...,n.

Вычисление у(г) - это решение вариационной задачи с ограничениями. Основной результат статьи состоит в сведении данной задачи к экстремальной задаче на исходных множествах X и Y и нахождении оптимальной стратегии управляющего игрока. ТЕОРЕМА. Справедливо равенство

у(г)=у0.

где

Yo= , , max tprF{x„y,), (Ul.yiJ.-. \xl-yt).....\*п>Уя))еТ0 1 = 1

(Wi)>->CwJ):Vi' = l-" v/ = 1-й

Vy e Y Зх 6 X Vi = 1.....и )[,

(x\y')<(x\y")^Gi(x',y')<Gi(x"y) илиС,(1',У)=С,(х",/),

F{x',y)>F{x\y"). Доказательство. Пусть ф, eФ,. Определим (*,•,>',■) из условий

<?(*/, у,-) = шах G, (ф 2 (ф, (у)), у),

W2-У)

НхпУ<)=, , min F(v2(cpl(y)),y),

(Ц12,У i)

Из данного определения вытекает, что

и, следовательно, верно неравенство у(г)<у0. Докажем противоположное неравенство. Пусть точки (х(°,у®), i = l,...,n, выбраны таким образом, что выполняются условия

П / \ п

Iл-и*?,и0К, л / т£\х , « _ Z/V^ÍW/Í-

;=1

»o . V v о*

Определим отображение <р| : К 2 равенством Ф?(у) = <

, о о

х, , если у = у, ,

[ф, {у), если у Ф у?, где функция ф|" удовлетворяет условию

ЧуеГЧЫ 1...И (фГб'ЬЫ*-0^0)-

Возможность построения такой функции вытекает из определения множества Т0. Среди точек ,... ,... ,уп могут быть совпадающие, но определение корректно, поскольку ф° является отображением У в 2Л . Из определения отображения <р',' и множества 70 вытекает, что при всех ((^.У)).-, (.V,,;',),..., )) е 7*0 выполняется неравенство

Х>/ ' ™п , 02 (ф?Cv)X— ¿л ■ У, )>

что влечёт за собой требуемое неравенство у(г)>у0. Доказательство теоремы завершено.

Замечание. Из доказательства теоремы вытекает, что построенная стратегия ф° является оптимальной для управляющего игрока.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

2. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.

3. Шолпо И А. Об одном классе иерархических игр двух лиц // Вест. МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 1978. № 4. С. 58 - 62.

4. Кононенко А.Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов // ЖВМ и МФ. 1973. Т. 13, № 2. С.311-317.

5. Шолпо И.А. Исследование операций. Теория игр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1983.