Иерархические игры с неполной информацией первого игрока о выборе второго Текст научной статьи по специальности «Математика»

г>(х) = г3 ^х — ^ при х Е [^, 1],

, г3 - первая и третья компоненты вектора г(х), удовлетворяющего системе (3), (4)- Обратно, если X таково, что однородная краевая, задача для (3), (4) имеет только нулевое решение, то Я\ существует и определяется по формуле (5).

Теперь можем сформулировать основной результат статьи.

Теорема 4. Пусть существует А-1, ядро А(х,£) удовлетворяет условиям из леммы 3. Тогда, в Б § для любой / (х) Е Ь[0,1]

4

Ит ЦЯ(/,х) — V713,х)||[е>1 —£] = О,

3=1

Нт Ц5Т(/,х) — ^733| (Ч>3,х — 1 ) 11[! +е>1—£] = 0,

3=1 4 У

где БТ(/, х) - частичная сумма ряда Фурье по с.п. ф. оператора А для тех характеристических чисел Х^ для которых X| < г,аТ(/, х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье на, [0, 2] по системе тех к ()ля которых |4кп| < г, 73 (63) - компоненты ма-рицы Г(Г—^3(х) = 531/(х) + 632/(^ — х) + 5зз/(2 + х) + 634/(1 — х).

3

,313 ^ I \2 ' (2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях. Мат. еб. №11. 2006. С. 115-142.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПЕРВОГО ИГРОКА

О ВЫБОРЕ ВТОРОГО

Данная работа относится к теории иерархических игр [1-4]. Основная особенность таких игр состоит в том, что первый игрок обладает правом первого хода и возможностью организовывать обмен информацией между игроками. Оптимальный способ обмена информации при точном знании первым игроком выбора второго рассмотрен в [5]. В настоящей работе предполагается наличие ограничений на информированность первого игрока о выборе второго и найден оптимальный способ организации обмена информации при данном предположении.

Определение 1. Иерархической игрой называется система Г = = (X, Y, F, ß), где X - множество стратегий первого игрока, Y -множество стратегий второго игрока, F : X * Y ^ R - функция выигрыша первого игрока, ß - правила выбора, то есть отображение 2X*Y в 2X*Y такое, что при любом T С X * Y ß(T) = 0 и ß(T) С T.

С помощью правила выбора задаётся информированность первого игрока об интересах второго. Первый игрок знает, что если второму иг-

T

выбранный исход будет обязательно находиться в ß(T).

Для упрощения изложения считаем, что множество стратегий игроков конечно.

Определение 2. Пусть Г = (X, Y, F, ß) - иерархическая, игра. Наибольший гарантированный результат первого игрока в данной игре обозначается y (Г) и определяется равенством

Y (Г) = max min F (x,y).

xex y:(x,y)e^([x}*Y)

Организация первым игроком обмена информации между игроками формализуется с помощью понятия квазиинформационного расширения.

Определение 3. Пусть Г = (X, Y, F, ß) - иерархическая, игра. Квазиинформационным расширением данной игры называется игра Г = (X, Y,F,ß) такая, что существует отображение

п : X * Y —> X * Y,

удовлетворяющие условиям

Ух Е X Эх Е X Vy Е Y рг\п(х,У) = x,

Vy Е Y Эy Е Y Vx Е X pr2n(x, y) = y, Vx Е X Vy Е Y F(x,y) = F(п(х, y)), VT С X * Y n(ß(T)) = ß(n(T)).

Первые два условия означают сохранение в расширении исходных стратегий. Следующие два условия показывают связь интересов игроков в расширении и в исходной игре.

Теорема 1. Справедливо равенство

Y(Г) = max min F(x,y).

Txer-x (x,y)eTx

Определение 4. Расширение Го называется оптимальным в некотором классе расширений, если для всех расширенийГ из данного класса верно неравенство Y(Г) < Y(Г0).

В [5] описано расширение, оптимальное в классе всех квазиинформационных расширений.

Определение 5. Будем говорить, что в расширении Г игры Г пер-

y

выполняется условие

Vx е X Эх е X Vy е Y Эу е Y n(x,y) = (x,y).

Это условие отражает отсутствие у первого игрока возможности реаги-

y

Определение 6. Положим, ГТ1 = (r\,<p,F,~ß), где т1 - семейство подмножеств T С X * Y, удовлетворяющих условию

Эх е X Эу е Y(х, у) е T,

if - семейство отображений if : 2х*Y —> X*Y, обладающих свойством, T С X * Y f(T) е T, отображение п : Т\ * Ф <— X * Y задаётся равенством n(T, if) = f(T).

Теорема 2. Игра ГТ1 является квазиинформационным расширением

игры, в котором первый игрок не имеет самостоятельной информации y

Лемма. Пусть Г = (Xi, Yi,F1,ß1) и Г2 = (X2,Y2,F2,ß2) _ два квазиинформационных расширения игры Г = (X, Y, F, ß). Тогда, включение Тх С Тх2 влечёт за собой неравенство y(Г1) < Y(Г2). Доказательство. Имеем

Y(Г1) = max min F(х,у) < max min F(x,y) = y(Г2),

T етх 1 (x,y)GM(T) T етх2 (x,y)GM(T)

что и требовалось доказать. Лемма доказана.

Теорема 3. Для любого квазиинформационного расширения Г иг-Г

о выборе y, справедливо неравенство y(Г) < Y(Гт1).

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что для любого квазиинформационного расширения Г Г

ции о выборе y, справедливо включение Тх С т1. Возьмём некоторое такое расширение Г и стратегию x е X в нём. Справедливо соотношение Эx е X Vy е Y Эy е Y n(x,y) = (x,y), равносильное с учётом

определения Тх условию Зх Е X Уу Е У(х,у) Е Тх , которое и означает принадлежность Тх к т^ Таким образом, действительно тх С т1 , что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Итак, ГТ1 является оптимальным в классе всех расширений, в которых первый игрок не имеет самостоятельной информации о выборе у. Эквивалентной формой игры ГТ1 является, например, игра Гт^ = ((2х )у *Х, У и У, Г, Д) , где Ф - множество отображений ф : 2х —> X, удовлетворяющих условию УТ С X ф(Т) Е Т, ((Т(у),х(у)), (у,ф)) = (ф(Т(у),у), ((Т(у),х(у)),у) = (х(у),у). Здесь первый игрок предоставляет второму игроку возможность, выбрав у выбрать так же и х в указанных первым игроком пределах. Если же второй игрок не хочет использовать эту возможность, то он выбирает просто у, делая тем самым исход игры равным (х, у). Таким образом, первый игрок использует интересы второго игрока, точно их не зная.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М, : Наука, 1976. -326 е.

2. Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагониетичееких игр М, : Изд-во Моек, ун-та, 1977. -104 е.

3. Родюков А. В., Тараканов А. Ф. О решении иерархической игры при неопреде-лённети е суммарным риском игроков // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 5. С. 11-17.

4. Кузнецова И. А. Иерархические игры с неопределёнными факторами // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 21-24.

5. Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1983. -42 с.

УДК 517.96; 517.984

В. П. Курдюмов, А. П. Хромов

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ МИНИМАЛЬНЫХ ТРЕБОВАНИЯХ

НА ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

В настоящей работе методом контурного интегрирования резольвенты оператора, порожденного спектральной задачей, соответствующей смешанной задаче для волнового уравнения с комплексным потенциалом и закрепленными концами дается обоснование метода Фурье при ненулевых начальных функциях и минимальных требованиях на их гладкость