Иерархические игры с неопределенными факторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ

ФАКТОРАМИ

Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками. Основы теории иерархических игр заложены в монографии [1], различные способы задания информированности первого игрока об интересах второго исследовались в работах [2-6]. В [5] считалось, что первый игрок имеет стохастическую информированность об интересах второго. В настоящей работе этот подход обобщается. Предполагается, что первому игроку известно только то, что функция выигрыша второго игрока находится с определенной вероятностью в некоторой группе критериев. При данном предположении находится наибольший гарантированный результат первого игрока и его оптимальная стратегия. Доказывается теорема, частным случаем которой является и результат [5], и решение задачи в постановке данной работы.

Пусть X - множество стратегий первого игрока, У - множество стратегий второго игрока, Р - функция выигрыша первого игрока, С^, г = 1, 2,..., п - функции выигрыша второго игрока, рк, к = 1, 2,... ,1 -

числа, удовлетворяющие условиям У к = 1, 2,... ,1 рк > 0, р к = 1. Пер-

воый игрок знает, что с вероятностью рк функцией выигрыша второго игрока является одна из функций 1+1, 1+2,..., Gjk7 к = 1, 2,... ,1 (положим ;0 = 0,]1 = п). Будем считать, что множествах и У конечны.

В [7] показано, что при любой информированности первого игрока об интересах второго оптимальный способ организации обмена информацией между игроками моделируется игрой:

Г = (Ф1, Ф2 X У, Р ,£Ь...Д,...,£„), где Ф1 = {(1>,(: У ^ 2х, = {Ф2} : 2х ^ X, причем при всех Т С X выполнено условие ф2(Т) € Т, функции Р, С1,..., СI,..., Сп определяются равенствами F((1, (^2,У)) = Р(^2((1(У)),У), Сг((Ъ (^2,у)) = Сг(М(1(У)),У)> г = 1, 2,... , п. Здесь первый игрок для того, чтобы использовать интересы партнера, не зная их точно, передает второму игроку право выбора х в определенных пределах.

Наибольший гарантированный результат первого игрока при этих условиях определяется равенством

Ш1П Ш1П

jk-l+1<i<jk

Р (Ф2((l(y)),y),

где

МШ = МС^ЫУОЫ = тахС^Ыу)),у)}, (1)

г = 1, 2,... ,п.

Основная цель работы - сведение решения данной вариационной задачи с ограничениями к экстремальной задаче на исходной множествах X и У. Мы докажем общую теорему, следствиями которой будут и формула для 7(Г), и результат [5].

Теорема. Пусть заданы все элементы игры Г и, кроме того, функция Н: Яп ^ Я, неубывающая по каждой компоненте. Введем обозначения:

7 = тах Н ( тт ^ (^2(^1(У)),У),..., где М^^), г = 1, 2,..., п задаются равенствами (1),

7о = гах Н (Т (^у^...^ ^у^...^ (^у^Х

((х1,У1),...,(х»,у»),...,(х„,у„))€То

То = {((Х1,У1), . . . , (Жг,Уг), . . . , (^п,Уп)): V; = 1, 2, . . . ,п(х ^) < (Жг,Уг),

Уу е УЗж е XУг = 1, 2,..., п(ж, у) < (жг, у,)}, (2)

(х',у') < (ж", у") ^ Сг(ж/,у/) < Сг(ж",у")

или

^«уО = Сг(ж",у")),Т(ж^) > Т(ж",у"), г = 1, 2,... ,п. Тогда, справедливо равенство 7 = 70.

Доказательство. Пусть е Фь Определим (ж,,у,) из условий

Сг(жг,уг) = тах Сг(^2(^1(у )),у),Т (жг,уг)= тп ^ (^2(^1(у)),у);

(^а,у) (Ф2 ,у')ем^у 1)

г = 1, 2,... ,п.

Из данного определения вытекает, что ((х1,у1),..., (х^,у^), ..., (хп,уп)) € То, и, следовательно, верно неравенство 7 < 70.

Докажем противоположное неравенство. Пусть точки (х°,у°), г = 1,2,...,п, выбраны таким образом, что выполняются условия ((х°,у0),..., (х°,у0),..., (хП,уП )) € То,

Н (Р (х?,у°),...,Р (х°,у°),...,Р (хП,уП)) =

= , , Шах Н(Р(Х1,У1),...,Р(хг,уг),...,р(хп,Уп)).

Определим отображение (1: У ^ 2х равенством

0 =(х° если у = у°,

1 \ (-Ы если у = у°,

где функция удовлетворяет условию Уу € У Уг = 1,2,...,п:

((-(у),У) < (х°,У°).

Возможность построения такой функции вытекает из определения

множества Т°. Из определений отображепия и мпожества Т° вытекает, что при всех ((х°, у°),... , (х°, у°),..., (хП, уП)) € Т° выполняется неравенство

НС ШЛ, ^Р(^2((1(У)),УШп р(^2((1(У)),У),...,

, Шп р(^2((1(У)),У),...) > Н(р(х1,У1),...,р(Х,уг),...,р(хп,Уn)),

что влечет за собой требуемое неравенство 7 > 7°. Теорема доказана. Следствие. Если положить

i

H (zi,...,zi ,...,*.) = £ Pk •. min Zi,

k=i

то получим равенство

i

Y(Г) = max >pk • F(xi,yi),

г<?е множество T0 определено формулой (2), которая и является решением поставленной нами задачи. Результат [5] получается npul = n.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М,: Наука, 1976.

2, Кукушкина Н. С., Морозов В. В. Теория неантагонистических игр, М,: Изд-во Моск. ун-та, 1977,

3, Шолпо И. А. Об одном классе иерархических игр двух лиц // Вестн, Моск. ун-та. Вычислительная математика и кибернетика, 1978, 4, С, 58-62,

4, Кононенко А. Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной исследовательностью ходов // ЖВМ и МФ, 1973, Т. 13, 2, С. 311-317.

5, Кузнецова И. А. Иерархические игры со случайными факторами // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып.6, С, 77-79,

6, Кузнецова И. А. Иерархические игры с двузначным критерием эффективности // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2010,

Вып. 12. С. 47-49.

7, Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1983.

УДК 519.257

А. А. Кучер, Л. В. Бессонов

О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НЕВЕРБАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ В КОНТЕКСТЕ ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ СООБЩАЕМОЙ

ИНФОРМАЦИИ

Задача оценки достоверности получаемой информации является весьма актуальной в настоящее время для многих сфер деятельности, таких как политика, экономика, юридическая практика, медицина и другие. Целью настоящей статьи является оценка результатов эксперимента с применением некоторых математических способов оценки достоверности сообщаемой информации. Будем рассматривать метод, позволяющий оценить достоверность получаемой информации на основе бесконтактного анализа невербального поведения. Проведен эксперимент с целью сравнительного анализа данных, полученных при обсчете параметров невербальных признаков некоторыми способами, а именно вычисление:

1. Оценок среднего значения по сериям.

2. Оценки стандартного отклонения от среднего.

3. Оценки длины вектора.

4. Оценки дисперсии.

Опишем условия проведения эксперимента. В комнате лежит предмет, приглашается испытуемый, который либо берет этот предмет, либо нет. Эксперт, запускающий испытуемых лиц, осведомлен, брал испытуемый предмет или не брал. Назовём этот факт «эталоном». Далее проводится опрос испытуемых, направленный на определение, брал ли