CC BY
9
Теорема 3. Если Л таково, что однородная краевая задача для (3), (4) имеет только нулевое решение, то Я\ существует и определяется по формуле (5).
Основной результат:
Теорема 4. Если /(х) € Аа, где Аа - замыкание по норме С[0,1] области значений оператора А и /(х) € V[0,1]7 то
II/(х) - & (/,х)11то —>
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Королева О. А. Интегральный оператор е ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 6-13.
УДК 519.2
И. А. Кузнецова
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С КОНЕЧНООПРЕДЕЛЁННЫМ
ПРАВИЛОМ ВЫБОРА
Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, в которых рассмотрение ведётся с точки зрения первого (управляющего) игрока, на основе его информации о выборе и интересах партнёра. В иерархических играх исследуется оптимальное поведение первого игрока и вычисляется его наибольший гарантированный результат при различных предположениях об его информированности [1-4]. В настоящей работе наибольший гарантированный результат вычисляется для специального вида информированности первого игрока, а именно конечноопределённого правила выбора, который содержит в себе, как частные случаи, некоторые виды информированности, исследовавшиеся ранее.
Определение. Иерархической игрой называется система Г = = (X, У, Г, д)7 где X - множество стратегий первого игрока, У - множество стратегий второго игрока, Г : X х У ^ Я - функция выигрыша первого игрока, ц : 2ххУ ^ 2ххУ и обладающее свойствами
VТ С X х У д(Т) = 0, д(Т) С Т
- правило выбора, с помощью которого задаётся информированность первого игрока об интересах второго.
Для упрощения изложения будем считать множества X и Y конечными.
Определение. Наибольший гарантированный результат первого игрока, в иерархической игре обозначается Y (Г) и определяется равенством
Y (Г) = max min F (x,y).
x y:(x,y)e^({x}xY)
Первый игрок может организовывать обмен информацией о выборах между игроками (строить различные расширения игры). В [5] показано, что универсальным оптимальным (для любых д) является расширение Гт, в котором первый игрок предлагает второму выбрать любую точку из множества T £ т, где т - система подмножеств X х Y, обладающих свойством Vy 3x (x,y) £ T. Наибольший гарантированный результат в таком расширении вычисляется по формуле
Y (Гт ) = ma* min F (x,y). (1)
Ter (x,y)GM(T)
Вычисление (1) - это экстремальная задача на системе подмножеств с ограничениями. Рассмотрим класс правил выбора, для которых данная задача сводится к экстремальной задаче на исходных множествах.
Определение. Правило выбора ц называется конечноопределённым, если его можно задать в виде
ц(Т) = {(x,y) £ T : S (p(T),x,y)} ,
где p : 2XxY ^ Rm, S - предикат, определённый на Rm х X х Y,
p
VTi,T2 (p(Ti) = p(T2)&Ti С T2
^ VTi С T с T2 ip(T) = ^(Ti) = p(T2),
У{Тх]ХеА (УЛ!,Л2 £ Л <p(TXl) = ^(ТЛ2))=* =^VA £ Л^^(ta) = ^ у T^ .
Замечание. Множества Ti и Т2 будем называть эквивалентными, если выполняется равенство ^(Ti) = ^(Т2).
Простейший пример копечноопределёпного правила выбора - правило д, определяемое равенством
М(Т) = ((x',y') £ Т : G(x',y') = max G(x,y)\ . (2)
В данном случае m = 1, v(T) = max G(x,y),
(x,y)eT
S(r, x, y) ^^ G(x, y) = r.
Теорема. Если правило выбора, ц является конечноопределённым и каждое множество включает в себя эквивалентное конечное подмножество, содержащее не более k элементов, то справедливо равенство
Y (Гт) = max l, (3)
leLT
где
LT = {l : Зr, (xy) (Vj = 1,... , k) p (r, (x;y), x3 ,yJ ,l) & & Vy3x P (r, (x~y),x, y, l), P (r, (x7y),x,y,l) ^^ ((V ({(xl,Уl),... , (xk ,yk), (x,y)})) = r &
& (F(x,y) > l или —S(r,x,y))) ,
(x7¥) = ((xl,Уl),..., (xk,yk))}.
Доказательство. Докажем, что любой результат l G LT гарантирован первому игроку. Пусть l G LT. Определим множество T равенством
T = {(x,y) : V ^ъУ^^ .. , (xk ,yk), (x,y)})} = г &
& (F(x,y) > l или —S(r,x,y)),
где r и (x, y) - те вектора, существование которых вытекает из принад-
l LT LT T T
все точки (x1,y1),..., (xk,yk) и принадлежит т. Следовательно, для любой точки (x,y) G T условия — S(r,x,y) и (x,y) G ц(Т) равносильны и справедливо соотношение
V(x,y) G T (F(x,y) > l или (x,y) G M(T)),
то есть выполняется неравенство inf F(x,y) > l
(x,y) GM(T )
l
казать, что большего результата первый игрок гарантировать не может. Доказательство теоремы завершено.
Следствие. Если первый игрок точно знает функцию выигрыша G
рантированный результат может быть вычислен по формуле (3), где
LT = {l : 3(x',y') (F(x',y') > 1или
Уу Зж (С(ж, у) < С(ж', у') & (ж, у) > /или С(ж, у) < С(ж', у')))}.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами, М, : Наука, 1976, 326 е.
2, Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагониетичееких игр, М, : Изд-во Моек, ун-та, 1977, 325 е,
3, Кузнецова И. А. Иерархические игры с неопределенными факторами // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, Вып. 15. С. 21-24.
4, Горелов М. А. Иерархические игры с неопределёнными факторами // Управление большими системами. М. : IIIIV РАН, 2016. Вып. 59. С. 6-22.
5, Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1983. 42 с.
УДК 517.96; 517.984
В. П. Курдюмов, А. П. Хромов
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТИЧНО СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассматривается волновое уравнение:
д ^^г) - д(ж)и(ж,г), ж е [0,1], г е (-го, го), (1)
и(0,£) = и(1,г) = 0, (2)
и(ж, 0) = 0Х(ж, 0) = ^(ж), (3)
где комплексная д(ж) е Ь2[0,1].
В [1] резольвентным подходом в методе Фурье, базирующимся на применении метода Коши-Пуанкаре контурного интегрирования резольвенты оператора, порождаемого соответствующей спектральной задачей, для случая д(ж) е С[0,1] было получено классическое решение задачи (1)-(3) при минимальных требованиях гладкости па^(ж). Теперь у нас ^(ж) удовлетворяет более слабым требованиям и д(ж) е Ь2[0,1]. Приводимые ниже результаты усиливают соответствующие результаты для д(ж) е С[0,1] в [2].
д2и(ж, г)
дг2
при условиях
