АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (81) / 2022.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 531.38; 531.39

doi:10.24412/0136-4545-2022-4-5-14

EDN:DYGKKS

(2022. А.В. Мазнев

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

В статье развиты некоторые аналитические методы исследования решений уравнений динамики гиростата. В задаче об интегрировании уравнений движения гиростата на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина установлено новое достаточное условие существования интегрирующего множителя приведенных уравнений.

Ключевые слова: первые интегралы, инвариантные соотношения, гиростат.

Введение. Согласно методике исследования уравнений динамики гиростата с постоянным и переменным гиростатическим моментом, необходимо последовательно решить следующие задачи: найти условия существования инвариантных соотношений, описывающих программные движения; провести редукцию уравнений движения на заданных инвариантных соотношениях к системе меньшей размерности; осуществить поиск новых первых интегралов редуцированных уравнений и провести с их помощью интегрирование уравнений движения; построить решения редуцированных уравнений или в замкнутом виде, или в виде рядов Ляпунова.

1. Интегрирование уравнений динамики на инвариантных соотношениях. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, как правило, рассматриваются в динамике твердого тела

QX- _

Xi = Xi(xi,x2,...,xn), = 0, (г=Т~гё). (1)

Правые части уравнений (1) предполагаются непрерывно-дифференцируемыми до порядка к в области En С Rn.

Для интегрирования системы (1) в квадратурах, согласно теории Якоби, достаточно знать n — 2 первых независимых интеграла.

Найдем условия интегрируемости уравнений (1) в квадратурах в случае, когда они допускают к первых интегралов

ipj(xi,x2, ...,хп) = cj (j = l,k), (2)

и I инвариантных соотношений класса Чаплыгина (к + I = п — 2)

§1(Х1 ,Х2, ...,Хп) = 0, §2(Х1 ,Х2, ...,Хп) = 0, -..,91 (Х1,Х2, ...,Хп) = 0, (3)

которые удовлетворяют соотношениям

ти

•,™2П , г,т22 \____| | Ц

91 = 9?11 АН + 9?12 Л12 + ... + 9Г Аи,

92 = 91т21 А21 + 92т22 А212 + ... + 9Т21 А 21,

(4)

91 = 91 Ап + 9Р2 А12 + ... + 9'Г ки

где Шу > 0, Ау = Х^(х\,х2, ...,хп), с^ (] = 1, к) - произвольные постоянные.

Пусть Х = (Х1,Х2, ...,Хп) . Введем в точке Х(0) € Еп и её окрестности новые координаты У1,У2,...,Уп

ддг

дУз

Ф 0 (¿,¿ = 1 ,п),

(5)

Хг = Яг(У1,У2, ...,Уп), 0(у1,у2, ...,Уп) = где У = (У1 ,У2,...,Уп)Т € Еп С Кп. Так как якобиан замены переменных в (5

(6

отличен от нуля, то замена обратима

Уг = Яг{х 1,Х2,...,Хп), (г=Т~п) Для якобиана замены из (6) выполняются условия

дQi(xl,Х2, ...,Хп)

Б*(Х1 ,Х2, ...,Хп ) = £>*(ж1,ж2, ...,хп) =

дХп

1

Ф 0 (г, 3 = 1 ,п),

^ {П(У1,У2,...,Уп)} =

(7)

{0(У1,У2,...,Уп ))'' = Б ^1 (Х1,Х2, ...,Хп), ...^п(Х1,Х2, ...,Хп)) .

Уравнения (1) с помощью замены (5) преобразуются к виду Уг = Уг(у1,у2,...,уп) (г = 1~п).

(8

Преобразуем систему (1) к системе (6) с учетом к первых интегралов (2) и I инвариантных соотношений (3)

Уз =<Рз(х1,х2,...,хп) ^ = 1 ,к), Ук+1 = 91(Х1,Х2, ...,Хп), ...,Ук+г = 91(Х1,Х2, ...,Хп),

У'п-1 - Хn—1, Уп - Хп.

Тогда, с учетом равенств (4), получим

У1 = ° ...,Ук = °

(9)

(10)

Ук+1 = уТ+\Ли + уТ+2 Лп + ... + Ли, Ук+2 = ук+\Л21 + уТ+2 Л22 + ... + уТ+\ Л21,

(11)

ук+1 = Ук+гМг + уТ+1А12 + ... + Уk+lAll,

Уп-1 = УП-1(У1,У2 ,...,Уп), уп = УП{У1,У2,...,УП). (12)

В системе (11) А^ = ^(У1,У2, ...,Уп)•

Предположим, что у системы (10)-(12) имеются п — 2 первых интеграла и отсутствуют инвариантные соотношения. Тогда из системы (10)-(12) следует

У1 = С1, ..., Уп-2 = Сп-2,

Уп-1 = Уп-1(С1 ,С2,...,Сп-2, Уп-1, Уп), (13)

Уп = Уп(С1,С2, ...,Сп-2 ,Уп-1,Уп).

Известно, что для систем уравнений (1), (8) имеет место тождество Якоби

дХ^(х1,Х2,..., Хп) _

£

. дХг

г=1

= / 1 \^дР(у1,У2,...,Уп)У^У1,У2,-,Уп)

\Р(у1,у2,...,уп) дуу

При наших предположениях тождество (14) примет вид

дР(С1,С2, ..., Сп-2,Уп-1,Уп)Уп-1{С1, С2, ...,Сп-2,Уп-1,Уп)

дуп-1

(14)

+

| дР(С1,С2, ...,Сп-2,Уп-1,Уп)Уп(С1,С2, ...,Сп-2,Уп-1,Уп) _ 0

дуп

(15)

Равенство (15) означает, что функция р(с1,с2, ...,Сп-2,уп-1,уп) является интегрирующим множителем последних двух уравнений системы (13). Таким образом, система (13) допускает дополнительный первый интеграл f (С1,С2,...,сп-2, уп-1,уп) = сп-1, где сп-1 - произвольная постоянная. Выражая из него, например, параметр Уп-1, получим Уп-1 = Уп-1(С1,С2,...,Сп-2,Сп-1,Уп). Подстановка этой функции в уравнение для уп системы (13) приводит к уравнению, из которого путем обращения интеграла можно определить функцию

Уп = Уп(С1,С2, ..., Сп-2, Сп-1, Сп (16)

где Сп - произвольная постоянная, возникшая из операции обращения интеграла. Таким образом, система (13) интегрируется в квадратурах. Это означает, что интегрируется и система (1).

Предположим, что в системе (10)-(12) имеют место соотношения тгг = 1 и Лгг(У1,У2, ...,Ук,Ук+1, ...,Ук+г-1, 0,Ук+г+1, ...,Уп) = 0. Тогда эта система на первых

интегралах у1 = С1, ...,ук = Ск и инвариантных соотношениях ук+1 = 0, ...,ук+г 0 примет вид

У1 = С1, ...,ук = Ск, Ук+1 = ° ...,Ук+1 = ° Уп-1 = Уи-1{С1,С2, ..., Ск, 0, ..., 0,уп-1,уп),

(17)

уп = Уп(С1,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1,уп).

Якобиан обратной замены, согласно формулам (7), примет вид

„¿..„„»¿О. (18)

Тождество Якоби (14) на первых интегралах и инвариантных соотношениях (17) примет вид

Лц(С1 ,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1 ,уп) +Л22(С1,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1 ,уп) + +Л33(С1,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1, уп) + ... +Ли(С1 ,С2, ...,Ск, 0,..., 0,уп-1 ,уп) +

| дР(с\,с2, ...,Ск, о, ...,0,уп-1,Уп)Уп-1(.С1,с2, ...,Ск, о, ...,0,Уп-1,Уп) | (19)

дуп-1

| дР(с\,с2, ...,Ск, о, —, 0, Уп-1,Уп)Уп{с1,с2, ...,Ск, о, ...,0,Уп-1,Уп) _ 0

дуп

Потребуем, чтобы выполнялось условие

Лц(С1 ,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1 ,уп) +Л22(С1,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1 ,уп) + + ... + Лц(С1 ,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1 ,уп) = 0.

Из равенства (19), в силу (20), следует

дБ(С1 ,С2, ...,Ск, 0,..., 0,уп-1 ,уп )Уп-1(С1 ,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,уп-1, уп)

(20)

дуп-1

+

| дР(С1,С2, —, Ск, о, ...,0,Уп-1,Уп)Уп(С1,С2, ...,ск, о, ...,0,Уп-1,Уп) _ 0

дуп

(21)

Соотношение (21) позволяет утверждать, что последние два уравнения из системы (17) интегрируются в квадратурах, а их интегрирующим множителем является функция

Ь(у,п-1,уп) = Р(С1,С2, ...,Ск, 0,..., 0,уп-1, уп). (22)

Таким образом, получено достаточное условие (20) интегрируемости системы (1), которая допускает к первых интегралов и I инвариантных соотношений класса С.А. Чаплыгина при тц = 1 (г = 1,1).

Рассмотрим теперь систему (10)—(12) не вводя ограничений на числа . Левая часть тождества Якоби (14) в силу ограничений на правые части уравнений (1) равна нулю, а правая часть (14), с учетом соотношений (10), примет вид

дР(У1 ,У2,...,Уп )Уз (У1,У2,-;Уп )

Е

]=к+1 дУз

0. (23)

Равенство (23) на первых интегралах ут = ст (т = 1 ,к) и инвариантных соотношениях Ук+1 = 0, ...,ук+1 = 0 примет вид

РШ [шпуТ+Г'ЛпШ +... + шиУТ+Г'Ым*) | дР{м,)уп_1{м,) дР(м«)гга(м») = 0

дуп-1 дуп

+

(24)

где (М*) = (с!,с2, ...,ск, 0, ...,0,уп-1,уп). _

Ранее был изучен случай [1] тц > 1 (г = 1,1). На инвариантных соотношениях уи+1 = 0,...,ук+1 =0 из равенства (24) получим соотношение (21), при выполнении которого последние два уравнения из системы (17) интегрируются в квадратурах. Интегрирующий множитель уравнений (17) имеет вид:

£>(с1,с2, ...,ск,0, ...,0,уп-1,уп). ___

Таким образом, случаи тц = 1 (г = 1, и тц > 1 (г = 1,1) рассмотрены. Рассмотрим случай, когда часть величин шц равна единице, а часть шц больше единицы. Положим шц > 1, ..., шаа > 1, ша+1а+1 = 1, ..., шц = 1. Так как Р(с1,с2,..., Ск, 0,..., 0,уп-1,уп) = 0, то для обобщения указанных выше результатов положим

К+1а+1 (С1,С2, ...,ск, 0, ..., 0,Уп-1 ,Уп)+ ^

+ ... +Ли(с1 ,С2, ...,Ск, 0, ..., 0,Уп-1 ,Уп) = 0.

Равенство (25) есть достаточное условие существования интегрирующего множителя уравнений (17), и поэтому система (10)—(12) интегрируема, а значит система (1) интегрируется в квадратурах.

2. Методы нахождения первых интегралов на инвариантных множествах. Рассмотрим уравнения Кирхгофа-Пуассона, которые описывают движения гиростата с постоянным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил

Аш = (Аш + X) х ш + ш х Бу + в х у + у х Су, V = у х ш. (26)

Здесь А - тензор инерции гиростата; ш - вектор угловой скорости тела-носителя; у - единичный вектор оси симметрии силовых полей; X - гиростатический момент; в - вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс; Б и С-постоянные симметричные матрицы третьего порядка.

Уравнения (26) допускают три первых интеграла

Ли ■ и - 2(з ■ V)+ Су ■ V = 2Е, V ■ V = 1,

1 (27)

(Аш + Л) • V - - (Ви ■ и) = к.

Движения гиростата рассмотрим в главной системе координат. Тогда компоненты вектора х = Лш таковы: Л1 ш1,Л2ш2,Л3ш3, где - компоненты вектора угловой скорости, а Л^ - главные моменты инерции гиростата.

Запишем уравнения (26), (27) в форме уравнений (1), но с учетом размерности фазового пространства

Хг = Хг(Х1,Х2, ...,ж6), -т^-=0 (г = 1,6), (28)

где Хг(х1,х2, ...,х6) - многочлены относительно переменных х1 = Ш1, х2 = ш2, х3 = ш3, х4 = у1, х5 = у2, х6 = у3 .В силу геометрического интеграла из (27), все функции х4, х5, х6 ограничены по Ь. Функции х1 = х1(Ь), х2 = х2(Ь), х3 = х3(Ь), в силу интегралов (27), также ограничены. Таким образом, все решения уравнений (26), (27) существуют при заданных начальных данных на бесконечном промежутке по Ь.

Запишем интегралы (27) в виде

Ь(х1,х2, ...,хб) = С1,

¡2(х4,х5,хб) = х4(Ь) + х5(Ь) + х^(Ь) = С2 = 1, (29)

13(х1 ,х2, ...,хб) = С3.

Согласно теории Якоби существование у системы (29) дополнительного первого интеграла позволило бы получить остальные три интеграла

1а(х1 ,х2,...,хб )= С4, /б(х1,х2 ,...,хб )= С5, (30)

1б(х1,х2, ...,хб,Ь) = С6.

В.В. Козловым и Д.А. Онищенко [2] была доказана неинтегрируемость уравнений (28), (29) в общем случае. Поэтому представляет большой интерес построение интегрального многообразия (29), (30) при фиксированных значениях произвольных ПОСТОЯННЫХ Сг (I = 4,6).

Пусть х = х(Ь; х(0) - решение уравнений (28). Начальное значение вектора х таково: х(0 = (^х^^^,...., х6°^ = 0. Будем предполагать, что х(0 не принадлежит особому инвариантному множеству уравнений (28), то есть

Множество М С Еб называется неособым инвариантным множеством системы (28), в случае х(Ь; х(0) € М для Ь > 0 и произвольной неособой точки х(0 € М. Величина Е6 задается соотношениями (29), (30). Известно, что в

окрестности каждой неособой точки уравнений (28) существуют первые интегралы fi{x\,x2, ..., Жб) = Cj, (j = 1, 5). Для ТОГО, чтобы функция /(ж 1, Ж2, ..., Жб) была первым интегралом, должно выполняться равенство

г f ^ df(Xi,X2,...,X6) , ,

Lxf = 2_^ --ХДжьж2, ...,ж6) = 0, (31)

i=1 % ( dj_ dj_ dj_\ _l n

ГДе \dx!> dx2> dxe J '

Рассмотрим инвариантное множество

M : <fij(xi,x2,..., Жб) = 0 (j = TTfc; k < 6), (32)

и функцию f (xi,x2, ...,X6), которая принимает постоянное значение на множестве (32). Тогда условие того, что f (x1,x2, ...,x6) - первый интеграл на множестве M, можно записать так

/(ж1,ж2,...,ж6) ^.(Л1>Л2>...>Л6)=0 = с (j = l,k), (33)

где c - произвольная постоянная.

Предполагаем, что функции (32) непрерывно дифференцируемы и

ran9 (§g) = к-

3. Способ нахождения первого интеграла в случае, когда инвариантное множество М построено. Пусть известны инвариантные соотношения (32), из которых можно определить переменные xi

xi = xi(ui,u2, ...,um), (34)

где u1,u2, ...,um (m = dim M = 6 — k). Тогда с помощью (34) можно получить редуцированную систему уравнений

щ = и2,-,ит) (¿ = 1,т). (35)

Для нахождения первого интеграла на инвариантном множестве М необходимо решить задачу о существовании первого интеграла уравнений (35) Р(и1,и2,..., ит) = с, где с - произвольная постоянная. Тогда должно выполняться тождество, аналогичное условию (31)

т дР(и1 ,П2,...,ит)

} --иу(и1,и2,...,ит)=0 (Уи1,и2, ...,ит) .

3 = 1 3

Примером может служить система трех уравнений, которая появляется в результате редукции уравнений движения на трех ИС [3]

У1 = у-1(&у2 + ьу2уз + су2у% - ), у2 = у-1(—ау1 — ьу1у3 — суу + еуЗ,), (36)

Уз = Уз(^1 — еУ2).

Система (36) является аналогом системы (35). Можно показать, что она имеет первые интегралы

vi + v2 + v2 = 1, evi + dv2 + cv3 + bln \v3\ — av-i = const,

которые позволяют свести интегрирование системы к квадратурам.

4. Второй способ нахождения первого интеграла. Отличительной чертой второго способа является использование первых интегралов исходных уравнений, то есть функций (29).

Обозначим через x*(t) = (x\(t) ,x\(t), ...,x*n(t)) - решения уравнений (28), для которого соотношение

f (xi,x2,...,xn ) = c (37)

является первым интегралом. Это означает, что для всех решений x*(t) выполняется условие f (x\(t),x^(t), ...,x*n(t)) = c, где c - постоянная. В силу метода инвариантных соотношений П.В. Харламова, для всех этих решений выполняются равенства

f (xi,x2, ...,x6) = c, f(l)(xi,x2, ...,x6) = Lxf (xi,x2, ...,x6) = 0, f (2)(xi,x2, ...,x6) = Lxf (l)(xi,x2, ...,x6) = 0, fl(xi,x2, ...,x6) = ci, )

f2(x4,x5 ,x6) = xl(t) + xl(t) + x2(t) = c2 = 1, f3(xi,x2, ...,x6) = c3,

где f(1) и f(2) - первая и вторая производные от f (x1,x2, ...,x6).

Множество значений xi,x2, ...,x§, для которого равенства (38) зависимы, и составляет инвариантное множество M. При этом должно выполняться условие, что величина c - произвольная постоянная.

Практический способ в нахождении условий существования множества M состоит в последовательном решении двух задач. Первая задача заключается в том, что исследуются условия, при выполнении которых равенство f (1\x1,x2, ...,x6) = 0 было бы тождеством на первом интеграле (37) и интегралах fi(xi,x2, ...,x&) = ci, f2(xi,x2, ...,x6) = c2, fs(xi,x2, ...,x6) = c3. При ее решении уравнение f (i\xi,x2, ...,x6) = 0 может быть преобразовано к виду Ф(и,и, c, ci,c3) = 0, где и, и - новые независимые переменные. Требование того, чтобы уравнение Ф(и,и, c, ci ,c3) = 0 было тождеством для любых значений и, и и параметра c, дает условия на постоянные ci,c3 и параметры уравнений (26). Множество M в этом случае описывается уравнениями f (xi,x2, ...,x§) = c, fi(xi,x2, ...,x6) = ci, f2(x4,x5,x6) = x1(t)+x'2 (t) + x^t) = 1, f3(xi,x2, ...,x6) = c3. Здесь ci,c3 могут быть как произвольными постоянными, так и функциями параметра c.

Вторая задача состоит в том, что в системе (38) требуется, чтобы равенство f (2)(xi,x2, ...,x6) = 0 становилось тождеством на оставшихся соотношениях из системы (38). То есть, во второй задаче исследуется система (38) в предположении, что функции f (xi,x2, ...,x6) = c, f (i\xi,x2,...,x6) = 0, fi(xi,x2, ...,x6) =

С\, ¡2(х\,х2, ...,х6) = с2, ,х2,...,х6) = с3. независимы. При указанном подходе в общем случае приходим к уравнению вида Г (и, с, С\, с3) = 0, где и - некоторая переменная. Требование того, чтобы это уравнение было тождеством по и и параметру С, приводит к условиям существования инвариантного множества М.

5. Примеры существования первого интеграла на инвариантных многообразиях. Рассмотрим классическую задачу о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, то есть в (26), (27) положим В = 0, С = 0, Л = 0,

Аш = Аш х ш + в х V, V = V х ш, (39)

Аш ■ ш - 2(в ■ V) = 2Е, V ■ V = 1, Аш ■ V = к. (40)

Обозначим ш = (р,д,т) и потребуем, чтобы в (39), (40) выполнялись условия на параметры: А\ = 2А2, в = (в, 0, 0). Здесь А\,А2 - главные моменты инерции. Тогда уравнения (39) допускают решение Бобылева-Стеклова

р = к, г = 0, su i = 2 1A2q2 + с, su2 = -nA2q, sv3 = \/f(q) q A2

dq t - to A22 4 , 2\ 2,2 2 (41)

j л/Ш ^ ' 4

qo

где к - произвольная постоянная.

Постоянные первых интегралов из (50) принимают значения Е = ^^--с,

к = В решении Бобылева-Стеклова (41) три произвольных постоянных

K,c,qo. Важно, что данное решение можно охарактеризовать линейным первым интегралом p = к = const, который не является следствием классических интегралов.

Рассмотрим для уравнений (26), (27) решение Е.К. Щетининой [4], полученное при обобщении решения В.Н. Рубановского [5]. Пусть выполняются условия

A12 = A23 = 0, А1з = (A22 — A11) (A22 — А3э) , B11 = В22 = —В33, B12 = В23 = ° В\3 = (A22 — Au) (С33 — С11) ,

A13B13 = В11 (A22 — A11), С11 = С22, Cij = 0 (i = j),

\ и ■ \ П \ A33B13 sin ко (42)

Ai = —Вц sin ко, А2 = 0, Аз =---.--.-, si = s2 = 0,

A22 — A11

A13 Bf3 sin ко , A22 — A11 В13 sin ко

(A22 — A11 )2 A13 A22 — A11

При условиях (42) уравнения (26) допускают решение

ш1 = a'0n sin nt, ш2 = a'0n cos nt, ш3 = n(a0 + 1), v\ = ^di(ao + 1) cos 2nt + a'oC\ sinnt + ^di(ao — 1), (43)

v2 = a'oCi cos nt + ^di(ao + 1) sin2nt, v3 = aoC\ — a'od\ sinnt,

где a0 = cos60, a'0 = sinО0, c\ = cos к0, d\ = sin к0.

В соотношениях (43) ao - постоянная со значениями из интервала (—1,1). Решение (43) представим в виде

+ ш2 = n2(1 — c0), Ш3 = n (1 + Co),

где Со - произвольная постоянная ( со = cos Qq, |co | < 1 ). Решение (44) может быть охарактеризовано либо линейным первым интегралом, либо квадратичным первым интегралом.

Заключение. Развиты некоторые аналитические методы исследования решений уравнений динамики гиростата. Рассмотрена задача о нахождении первого интеграла на инвариантном множестве уравнений Кирхгофа-Пуассона. Разработана методика нахождения первого интеграла и инвариантного множества уравнений Кирхгофа-Пуассона.

1. Чаплыгин С.А. О принципе последнего множителя / С.А. Чаплыгин // Математический сборник. - 1900. - Т. 21. — С. 479-489.

2. Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа / В.В. Козлов, Д.А. Онищенко // Докл. АН СССР. — 1982. — 266, № 6. — С. 1298-1300.

3. Горр Г.В. Об интегрировании уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Механика твердого тела. — 2016. — Вып. 46. —

4. Щетинина Е.К. Об асимптотически-прецессионных движениях сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Докл. НАН Украины. -- 2005. -- № 12. — С. 63-70.

5. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений в некоторых задачах динамики твердого тела / В.Н. Рубановский // Прикл. математика и механика. — 1974. — Т. 38, вып. 4. — С. 616-627.

A.V. Maznev

Analytical methods for investigating equations of motion of a gyrostat with a fixed point.

The paper develops some analytical methods for investigating solutions of the equations of dynamics of a gyrostat. In the problem of integration of the equations of motion of the gyrostat on the invariant relations of Chaplygin class a new sufficient condition for the existence of the integrating multiplier of the given equations.

Keywords: first integrals, invariant relations, gyrostat.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 24.11.2022

Donetsk National University, Donetsk

o.mazniev@donnu.ru

(44)

d\

= c0ci--ш i,

n

С. 25-36.