УСТОЙЧИВОСТЬ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСТАТА-МАГНЕТИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2014

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(27)

УДК 531.38:538.31

Устойчивость регулярной прецессии гиростата-магнетика в магнитном поле

Н. Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

Рассматриваются условия существования и устойчивости регулярной прецессии гиростата, движущегося относительно центра масс и обладающего магнитными свойствами, в стационарном поле магнитного диполя.

Ключевые слова: гиростат; магнетик; магнитное поле; устойчивость; регулярная прецессия.

Введение

Под магнетиками понимаются любые материальные объекты, обладающие магнитными свойствами. Иначе, магнетики — это материальные объекты, наличие которых способно видоизменить или возбудить магнитное поле (МП) [1]. В определённом смысле магнетики являются аналогами диэлектриков.

Твёрдые тела-магнетики, движущиеся в околоземном космическом пространстве, динамически взаимодействуют с магнитным полем Земли (геомагнитным полем, ГМП). Основная часть этого поля может быть аппроксимирована магнитным диполем, ось которого образует с осью вращения Земли некоторый фиксированный угол [2, 3]. На основе данной дипольной модели построена теория движения орбитального космического аппарата-магнетика, моделируемого гиростатом, в ГМП [3].

Одной из задач этой теории является видоизменённая ограниченная задача о движении относительно центра масс гиростата-магнетика в стационарном ГМП, вектор напряжённости которого H сохраняет неизменное направление в инерциальном пространстве. В данной задаче ГМП моделируется прямым магнитным диполем, ось которого совмещена с осью вращения Земли [3].

© Макеев Н. Н., 2014

Предполагается, что с носителем гиростата-магнетика неизменно связан постоянный магнит с магнитным моментом 10. Этот магнит может быть применён в качестве демпфера собственных колебаний гиростата. При этом демпфирующий момент, действующий со стороны демпфера-магнита на гиростат, равен

М = 10 х Н. (1)

Соотношение (1) имеет место при условии G1/G << 1, где G, Gl - модули кинетических моментов гиростата-магнетика и магнитного демпфера относительно их центров масс. Это равенство может нарушаться лишь на очень малом интервале времени при импульсивном режиме изменения состояния механической системы [4].

1. Основные предпосылки

Рассматривается движение относительно центра масс С в дипольном магнитном поле (МП) свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиро-статическим моментом. Воздействие всех внешних сил, кроме сил МП, не учитывается.

Введём правые координатные ортобази-сы с общим началом в полюсе С: неподвижный базис Z (CzlZ2Zз), неизменно связанный с инерциальным пространством, и подвижный базис X (CX1X2X3), оси которого направлены по

главным в полюсе С направлениям тензора инерции гиростата.

Пусть s (sb s2, s3) - направляющий орт, для которого

(s1, s2, s3) = (sin в sin <p, sin в cos <p, cos 0). (2)

Здесь и всюду далее в, - углы Эйлера, определяющие ориентацию базиса X относительно базиса Z.

Обозначим: A = diag (A1, A2, A3) - матрица тензора инерции гиростата в полюсе С; w(С, со2, а>3) - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; k (k1, k2, k3) - постоянный гиростатический момент относительно полюса С, заданный в базисе X.

Постоянный магнит, жёстко закреплённый на носителе гиростата (магнитный демпфер) имеет магнитный момент I0 (0, 0, I0u0), где I0 = |I0|, и0 = const Ф 0 (|и0| ^ 1). Носитель гиростата может намагничиваться, порождая магнитный момент Ip. При этом влиянием вихревых токов (токов Фуко) и образованием гистерезиса пренебрегаем.

Предполагается, что носитель гиростата обладает осью кинетической симметрии, совпадающей с главной центральной осью инерции гиростата Сх3. В силу этого имеем

1 p = H ~ ln2 S3 e3,

(3)

где Н = | Н |, п2 > 0 - постоянная, зависящая от магнитной проницаемости материала [1] носителя-парамагнетика и от характерной постоянной МП [4]; е3 - орт оси Сх3.

Магнитный момент гиростата-магнетика представляется равенством

I = I0 + I p.

Согласно принятым предпосылкам в силу соотношений (1), (3), (4) результирующий вектор-момент L = Н М = [Х1, L2, L3]T системы сил внешнего МП, действующих на гиростат, имеет координатные компоненты

L (8) = [- Q (£,) Q (*>) 0]т, (5)

Q(53) = п1 + п2 s3, п1 = 10и0Н.

где

Если материал носителя гиростата не намагничен, то п2 = 0; в ином случае п2 Ф 0.

Движение гиростата вокруг неподвижного полюса С при данных предпосылках согласно равенству (5) определяется системой уравнений

Ató + (ю х Аю) + (ю х k) = Q (s3) f, (6) s + (ю х s) = 0, (7)

где f = [- s2, s1, 0]T.

Система уравнений (6)-(7) является аналитически замкнутой по переменным ю, s и обладает первыми независимыми алгебраическими интегралами: 1 T

Jj(ra, s3) = -(юT• Аю) - W(s3) = h, (8)

2

J2 (w, s) = (Aw + k) • s = h1, J3(s) = s 2 = 1,

где h, h1 — постоянные интегрирования,

(9) (10)

W (53) = | Q (53) ds3 = п153 +—п2 (11)

- характерная энергетическая (соленоидаль-ная) функция [5].

Из многообразия возможных состояний гиростата, определяемого системой уравнений (6), (7), выделим множество движений, устанавливаемое системой условий:

в (t) = 00, pp(t) = со, ц/(t) = Q , (0 <в0 < ж), (00, со, Q) = const Ф 0.

(12)

Движение (12), если оно существует в МП, является регулярной прецессией (РП), совершаемой со скоростью О.

Поставим задачу: определить критерий существования РП, области её реализации, условия существования, а также свойства движения и области его устойчивости и неустойчивости. □

Модифицированная функция Лагранжа

(4) для данной задачи имеет вид

L = - (ю • Аю) + (ю • k) + W (s3), (13) 2 3

где функция W (s3) (одномерный квазипотенциал) определяется равенством (11).

2. Существование и области реализации регулярной прецессии

Введём вектор углов Эйлера Ф (в, у, р) и структурно-динамические условия:

A = A2 = A, kj = k2 = 0, (14)

F (Q,u0) = Au0 Q2 - GQ- Q(u0) = 0, (15) где обозначено G = A3 ю30 + k3, u0 = cos в0.

Соотношения (14) выражают структурно-динамическую симметрию гиростата относительно оси Сх3, при которой гиростатиче-ский вектор-момент k коллинеарен этой оси.

Величина G является значением при t = 0 проекции вектора кинетического момента гиростата на координатную ось Сх3.

Для РП (12) имеет место следующая

Теорема. Для того чтобы движение гиростата (12) существовало, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (14),

(15).

Доказательство. Необходимость.

Пусть выполняются условия (12). Тогда, в силу скалярных уравнений системы (6) и зависимостей вида w (Ф, Ф) (системы кинематических уравнений Эйлера в осях Cxj), получаем равенства, являющиеся тождествами по переменным 9, ф, из которых непосредственно следуют ограничения (14), (15).

Достаточность. Пусть выполняются условия (14), (15). Тогда, в силу одного из скалярных уравнений системы (6), получаем первый интеграл со3 (t) = 0)3°, а из остальных уравнений согласно зависимостям w (Ф, Ф) следуют равенства, которые должны быть тождествами по переменным 9, ф. В силу тождественности этих равенств при 0 < 9 < ж и у/ф Ф 0 получаем (в, у/, </) = const, т.е. условия (12). □

Получим условия реализации РП в силу соотношения (15). Если выполняются ограничения

u° Ф 0, D(u°) = G2 + 4Au°Q(u°) > 0, (16)

то, в силу условия (15), РП может быть в общем случае реализована со скоростями

Q=Q. + B04 D (u0),

(17)

где О» = В0 G, В0 = (2Аи0) \ Здесь 0= О» -первая критическая (по отношению к изменению знака параметра О) скорость РП, значение которой определяется действительным корнем уравнения 8 F / 80 = 0.

Согласно равенству (17) при D (и0) > 0 могут быть реализованы РП с двумя скоростями: О = О1 и О = О2 > Оь существующими при

О2 = 02 + 2В0 QК) > 0.

Эти скорости соответствуют двум режимам - "медленной" и "быстрой" прецессиям. Если u0 Q (u0) > 0, то Q1 Q2 < 0 и РП совершаются со скоростями Q2 в противоположных направлениях. При D (u0) = 0, когда Qp = 0, скорость РП является единственной (Q = Q.).

Если u0 = 0, то, согласно равенству (15), при G Ф 0 имеем Q = - n1 G -1 и скорость РП однозначно определяется значениями параметров щ, k3, о".

Определим область L реализации РП. Обозначим

p2 = (4A)- G2, S1 = n2 - 4n2p2 (17*)

и пусть u1 < u2 - действительные корни уравнения D (u0) = 0, существующие при S1 > 0. При S1 = 0 имеем щ = u2 = u., где обозначено u. = - (2n2)-1 n Ф 0, Ш < 2n2, причём для парамагнетика имеем n2 > 0 [6].

Пусть 51 > 0. На координатной плоскости (u0, v) зависимость

v (u0) = n2 u0 + n1 u0 + p2 (18)

определяет параболическую границу области L с осью симметрии u0 = u.. В силу условия (16) эта область определяется ограничением v (u0) > 0 и на данной плоскости для значений u0 ей соответствуют полуинтервалы (— 1, u1], [u2, 1), где значения щ, u2 есть

(u1, u2) = u. (1 + n-1Л^1~).

Если S1 < 0, то области L на данной плоскости соответствует полоса — 1 < u0 < 1.

Определим области знакопостоянности значений параметра Q. Из интеграла (9) и дополнительного интеграла системы (6), (7) в силу условий (14) для РП (12) имеем

Q = [A(1 - u2)]-1 f К), (19)

где обозначено f (u) = h1- Gu, u = cos в.

Условие существования (15) РП (12) может быть представлено в виде

m1 + m2 u0 = 0, (20)

где обозначено

m1 = n1 + GQ, m2 = n2 - AQ2, (21) причём \mA < m2.

Можно показать, что уравнение (20) с параметрами (21), эквивалентное соотношению (15), определяет множество стационарных значений в = в0 е (0, ж), реализующих движение вида (12). Для этого в силу интегралов (9), дополнительного и лагранжиана (13), выраженных в углах Эйлера, составляется выражение для потенциальной энергии и (9) приведённой по Раусу системы [7, с. 87; 8]. Уравнение для стационарной точки и '(в0) = 0 определяет двупараметрическое множество решений, зависящее от параметров G и соответствующее уравнению (20).

В силу равенства (19) изменение знака величины О при G Ф 0 происходит в точке и0 = h\G 1 = ир. При G = 0, и0 Ф 0 знак величины О сохраняется и совпадает со знаком Интервалы 11 = (- 1, ир), 12 = (ир, 1) зна-

копостоянности величины О представлены в табл. 1.

Таблица 1. Области знакопостоянности величины скорости прецессии О

V(Р1, Р2, *з) = V + А(р1 + р22) +

G О > 0 О < 0

G > 0 и0 е 11 и0 е 12

G < 0 и0 е 12 и0 е А

3. Достаточное условие устойчивости

Первые интегралы (8)-(10) при ограничениях (14) принимают вид:

2J1 — А(ю2 + ю22)- 2Ж(53) = 2h,

J2 — А (ю1+ ю2 s2) + Gs3 = /г1, (22)

Jз

Jз — S1 S 2 S з — 1,

а дополнительный интеграл, существующий при условиях (14), представляется в виде

J — А3ю3 + k3 = G.

(23)

Применяя прямой метод А.М.Ляпунова [9], составим характерную функцию задачи, согласно равенствам (22), в виде

V (ю, s) = У0 + 2 J1 - 2Л J2 + АЛ2 J3, (24)

где V) — произвольная постоянная, а множитель X имеет размерность угловой скорости. Обозначим

р, = ю, - Лsj (, = 1,2). (25) В силу выражений (22)—(25) имеем

+ п3 s3 - 2т3 s3,

(26)

где обозначено

п3 = АЛ - п2, т3 = п1 + ЛG,

а множитель X подлежит определению.

Из условий стационарности функции V (26) по всем переменным для движения гиростата в режиме (12) имеем

Р, = 0 (7 = 1,2), и0 = П3 1т3.

(27)

Последнее равенство (27) имеет место

при X2 Ф О^, где

о = 7^

(28)

— вторая критическая (по отношению к изменению характера устойчивости РП) скорость прецессии гиростата.

Полагая X = О, из последнего равенства (27) получаем соотношение (15); при этом п3 = — т2, т3 = т1.

Найдём условие устойчивости состояния (12). Принимая это состояние за невозмущённое, положим в возмущённом движении s3 = и0 - q, сохраняя в силу равенств (27) для остальных переменных прежние обозначения. Полагая V0 = т1 и0, представим в возмущениях соотношение (26) с учётом условия (20) и последнего равенства (27)

V(Р1, р2, q) = А(р2 + р22) - т2 (2, (29)

где величина |(| принята достаточно малой.

Функция (29) положительно определённа при условии

т2 < 0. (30)

Это ограничение в силу равенства (28) эквивалентно следующему

О > О.к.

(31)

Поскольку существование состояния (12) в МП как стационарного движения установлено, то, на основании метода Четаева построения функции Ляпунова [10, с. 21] заключаем, что стационарное движение (12) устойчиво по отношению к переменным р1, р2, s3. Отсюда, согласно интегралам (22), (23) и соотношениям (25), находим, что РП гиростата

2

при данных предпосылках устойчива и по от-

2 . 2 2.2 ношению к величинам а>1 + а>2, + 52, ю3, 53.

Таким образом, ограничение (30) выражает достаточное условие устойчивости РП (12) по указанным величинам.

4. Области устойчивости прецессии

Установим области реализации условия устойчивости (30). Введём характерную угловую скорость

0Г = - щв"1 (ю3° * - Аз"%), (32) соответствующую значению и0 = 0, а также интервалы 13 = (0, ж/2), 14 = (ж/2, ж).

Определяющее соотношение (15) представим в виде

Q2 -Q2 = 2Q* (Q-Qг),

(33)

где О» — величина, содержащаяся в равенстве (17). Тогда области выполнения условия (30) в силу равенства (33) могут быть представлены табл. 2.

Таблица 2. Области устойчивости прецессии

G в0 е /3 в0 е /4

G > 0 Q > Q r Q < Qr

G < 0 Q < Qr Q > Qr

5. Необходимое условие устойчивости

Оценим устойчивость РП по углу 9. Представим скалярные динамические уравнения (6) при условиях (14) в углах Эйлера и выделим из множества возможных состояний, определяемых этой системой, движение по переменной 9. Принимая движение (12) за невозмущённое и полагая в возмущённом движении 9 = 90 - p, где p - малое возмущение, произведём линеаризацию уравнений в малой окрестности значения 9 = 90.

В линейном по p приближении примем cos в « 5 + rp, sin в « r - sp, где (s, r) = (cos 90, sin 90). Тогда в возмущённом движении согласно условию (15), представленному в форме (27), в линейном приближении получаем

p - A lm2 r2 p = 0, где m2 определяется равенством (21).

Согласно уравнению (34) для устойчивости по углу 9 движения гиростата в режиме РП необходимо, чтобы выполнялось ограничение (30), полученное ранее как достаточное условие устойчивости.

6. Условие неустойчивости

Неустойчивость РП гиростата по углу 9 определяется ограничением т2 > 0, из которого непосредственно следует соотношение

Q < Q

(35)

противоположное по смыслу условию (31).

При условии (35) на плоскости (р, р) уравнения (34) траектории фазовой точки являются неустойчивыми, за исключением двух асимптотических траекторий — сонаправлен-ных полупрямых, проходящих через седло-вую точку (0, 0) [11, с. 46]. Эти траектории соответствуют особому режиму РП, который здесь не рассматривается, и являются сепаратрисами, разделяющими фазовую плоскость на четыре области, содержащие множества гиперболических траекторий.

Согласно соотношениям (33), (35) области неустойчивости РП гиростата представляются табл. 3.

Таблица 3. Области неустойчивости прецессии

G в0 е /3 в0 е /4

G > 0 Q <Qr Q > Qr

G < 0 Q > Qr Q < Qr

Здесь Ог определяется равенством (32).

Таким образом, при переходе значений величины О через критическое значение О%, определяемое равенством (28), характер устойчивости РП гиростата изменяется на противоположный.

7. Устойчивость вырожденной регулярной прецессии

Невырожденный режим РП гиростата в МП имеет место при 0 < 90 < п. При значениях 91 = 0, 92 = ж РП вырождается в перманентное вращение вида

(ю, s) = [(0, 0, ю); (0, 0, s)],

где ю = ю30, s = s30 = ± 1.

При движении в режиме (36) в граничных точках отрезка 0 < 9 < п происходит дере-гуляризация РП как стационарного состояния. Это приводит к вырождению циклических координат исходной системы уравнений и к связанному с ним вырождению соотношений (19) и и (9) - потенциальной энергии приведённой по Раусу системы, которые имеют полюсы при 5 = ± 1. Данное вырождение в этом движении обусловлено совпадением и ф- осей, соответствующих этим координатам. В результате этого движение (36) по отношению к РП, для которой 0 < 90 < п, является вырожденным особым движением (термин работы [12]). В связи с этим следует отметить, что определяющее условие (15) имеет место только для невырожденной РП.

Получим достаточное условие устойчивости состояния (36). Полагая G Ф 0, составим функцию Ляпунова в виде линейной связки интегралов

V - 3 - 2 - 1 33 ,

(37)

где Л1, Л-2 - множители Лагранжа.

В силу соотношений (36), (37) и условия стационарности функции V по 5 имеем

Х2 - - (п2 + т5),

(38)

где т - п + Л О.

Принимая движение (36) за невозмущённое, в возмущённом движении положим

(ю*, s*) - [01, /2, а), (q1, д2, 5 + £3)]

и представим характерную функцию - интеграл V (37) в новых переменных - возмущениях г (/1, /2, 0), q (д,) (/ = 1, 2, 3) (с учётом определяющего соотношения для множителя Лагранжа (38)) в виде

V (Г q) [2 Р/ - ^

+ п2 5д3 +

; -1

+ - Ф (5) + 0 (£33). 2

(39)

Здесь обозначено (/ = 1, 2,)

Р; (Г/ , д, ) - А/2 + Q (5)5£;2, 1

д,(г/, Я,) - Аг,Я, --О5Я]

Ф (5) - Л105 + Q (5) 5 - п2.

Для квадратичной формы (39) применим теорему Финслера [13]. Искомое достаточное условие устойчивости сводится к требованию положительной определённости квадратичных форм Р/ на множестве значений

д, - 0 (/ - 1,2). (40)

Согласно (40) при п2 G Ф 0 имеем

Я, - 2АО 15// (/ - 1,2). (41)

Полагая = 0.г, получим Ф (5) = 0. Из интеграла 33 (10), выраженного в возмущениях г,, я, (/ = 1, 2, 3), имеем

Я3 - - 5 ±

/1

(р' - д? + дЦ (42)

Из равенств (42) следует, что для возмущений таких, что | д31 < 1, при 5 = 1 имеем д3 < 0, а при 5 = - 1 получаем д3 > 0. В силу этого, требуя выполнения условия п25д3 > 0 для данного слагаемого, содержащегося в равенстве (39), положим

п2 < 0.

(43)

Внося выражения (41) в квадратичные формы Р/, получим

Р/ - А/2 [1 + 4АО - 2 д (5)5] (/ - 1,2). (44)

Итак, согласно теореме Финслера и в силу соотношений (44), для устойчивости состояния (36) достаточно, чтобы выполнялось условие (43) и, кроме того, чтобы

D (5) - О2 + 4Ад (5)5 > 0. (45)

При этом имеет место равенство

- - nl,

существующее согласно соотношениям (38) и

=

Ограничение (45) заведомо выполняется при

д (5) 5 > 0:

(46)

и тогда соотношение (46) приводится к виду п 5 + п2 > 0. (47)

Неравенство (47) является усилением условия устойчивости (45) и выполняется лишь в случаях, при которых величины пь 5 имеют одинаковые знаки. В частности, если П > 0, то устойчивость состояния (36) достигается лишь при 5 = 1, а в случае, при котором

п1 < 0 - лишь в положении 5 = - 1. При этом знак параметра п1 совпадает со знаком косинуса угла между вектором магнитного момента и осью Сх3.

Следует отметить, что условие (43) соответствует случаю, при котором материал носителя гиростата является диамагнетиком в отличие от парамагнетика, для которого, как указано выше, п2 > 0 [1, с. 295].

Область устойчивости состояния (36) на плоскости параметров G, 5 определяется условием (45), а её граница R — уравнением

D (5) = 0 (5 =- 1,1).

(48)

Получим достаточное условие устойчивости данного состояния на границе R, являющейся в силу уравнения (48) гиперболой. Этому уравнению соответствует вырожденное особое состояние гиростата, принадлежащее множеству (36).

Интегральная связка (39) для данного вырожденного состояния в силу условия (48) принимает вид

V(г, ^ = (2А) 1 ]Г [А2(г; - Х1д])2 -

] = 1

О -\А5 ^2«?2 ] + п2 5^3 + (49)

+ 1 Ф (5)^2 + 0 (^).

2

Требуя положительной определённости квадратичной формы (49) с учётом возмущений до второго порядка включительно, выделим множество значений, для которого

\ = (2 А)- 1О5.

(50)

Тогда, согласно равенствам (42), (50), квадратичная форма V (49) примет вид

V(г, ^ = (8А)-1 ]Г (2АГ] - О5д})2 -

1 = 1 (51)

- 1 П2 р2 + 1( р2 - П2) Р4 +0 (рб), 2 8

*

где параметр р определяется формулой (17 ).

Квадратичная часть функции (51), находящаяся под знаком суммы, является знакопостоянной величиной вследствие вырожденности движения. Однако положительная определённость функции V достигается путём наложения ограничения (43).

Таким образом, на границе R области устойчивости, определяемой уравнением (48), устойчивость состояния (36) также обеспечивается условием (43).

Заключение

Приведённая частная задача о существовании и устойчивости РП гиростата в МП логически связана с общей фундаментальной проблемой движения относительно центра масс системы твёрдых тел в стационарном силовом поле.

В данной задаче установлена принципиальная возможность существования устойчивой РП гиростата в стационарном МП, моделируемом полем прямого магнитного диполя. При этом показано, что интервал изменения значений скорости устойчивой прецессии ограничен значением некоторой её критической скорости, зависящей от величины магнитной постоянной п2.

Некоторыми характерными свойствами обладает вырожденное особое движение гиростата. В частности, каждое из состояний множества (36) порождает два вырожденных расслоения инвариантных многообразий, являющихся вырожденными расслоениями с параметром ш.

Вырожденному состоянию (36) соответствует множество перманентных вращений гиростата вокруг его главной центральной оси инерции. Максимальным порождающим интегралом для этого множества является полная линейная связка интегралов (22), (23) системы уравнений вида

V = -1 +1V1,

] = 1

где X] - неопределённые множители Лагранжа. Эту интегральную связку можно трактовать как некоторое линейное пространство первых интегралов над собственно евклидовом пространством параметров, выбирая данные интегралы за базисные.

Следует отметить, что состояние (12) при выполнении условия (31) является не только устойчивым, но и равномерно устойчивым. Действительно, для системы уравнений (6), (7), отнесённой к области пространства (ю, s), являющейся открытым связным множеством, имеет место теорема о равномерной устойчивости [14, с. 20]. Эта устойчивость непосредственно следует из установленной устойчивости РП как стационарного движения.

Список литературы

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.

2. Яновский Б.М. Земной магнетизм. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1978. 592 с.

3. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника. М.: Наука, 1985. 288 с.

4. Садов Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 1 // Космические исследования. 1970. Т. 8, № 4. С. 547-556.

5. Макеев Н.Н. Интегрируемость гиростати-ческих систем в магнитном поле // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 2003. Вып. 35. С. 49-70.

6. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1032 с.

7. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 320 с.

8. Парс Л.А. Аналитическая динамика / пер. с англ. М.: Наука, 1971. 636 с.

9. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

10.Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений. М.: Наука, 1988. 304 с.

11.Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.

12.Иртегов В.Д. Особенности многообразия стационарных движений. Пробл. аналитич. механики, теорий устойчивости и управления. М.: Наука, 1975. С. 154-160.

13.Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.:Наука, 1973. 207 с.

14.Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / пер. с англ. М.: Мир, 1980. 302 с.

Stability of regular precession a gyrostat-magnetic in a magnetic field

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24 nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

The conditions of existence and stability of a regular precession of gyrostat with magnetic qualities, moving relatively center of mass, in the stationary field of magnetic dipole are considered in this article.

Key words: gyrostat; magnetic; magnetic field; stability; regular precession.