CC BY
21
Раздел I. Алгебра, геометрия, математический анализ
УДК 531.3В ББК 22.21
А. А. Илюхин, Е. И. Маныч АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА
Аннотация. Указаны типы движений, которые при неограниченном росте времени асимптотически стремятся к регулярной прецессии вектора кинетического момента. Результаты сопоставлены со случаем асимптотически равномерных движений.
Ключевые слова: гиростат, кинетический момент, угловая скорость, регулярная прецессия.
A. A. Ilyukhin, E. I. Manych ASYMPTOTIC MOTION OF A HEAVY GYROSTAT
Abstract. The types of movements that unlimited growth in time asymptotically approaches the regular precession of the angular momentum vector. The results are compared with the case of asymptotically uniform motions.
Key words: gyrostat, the angular momentum, angular velocity, the regular precession.
Исследование движения тяжелого гиростата [5], а также анализ форм равновесия упругого стержня [2], сталкиваются с необходимостью выделения некоторых специальных случаев, которые могут быть продиктованы как особенностями изучаемых движений, так и свойствами математического характера при использовании решений дифференциальных уравнений. В работе рассмотрены условия существования движений, асимптотически стремящихся к другим типам движений.
Исходные соотношения. Движение тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку, описывается следующей системой дифференциальных уравнений [5]:
X + (z + ^ )щ - (y + ^ )щ = 0,
y + (x + ^ )щ- (z + ^ )щ=-Гу, z + (y + ^ )щ- (x + \ )щ=-Гу2, ^ )
у = ущ - ущ2, У2 = ущ - ущ3, У3 = ущ2 - УЩ . (2)
В обозначениях П. В. Харламова компоненты x, y, z вектора кинетического момента и угловой скорости
, щ тела-носителя связаны соотношениямищ = ax + bxy + b2z, щ = a^y + b2x, щ = a2z + bx.
В его работе [5] указано решение системы уравнений (1) и (2), характеризуемое двумя линейными инвариантными соотношениями:
b
X = X0, z = Z0, z0 = = X0
an
(3)
при этом компоненты у , у2единичного вектора V силы тяжести определяются в этом решении следующими уравнениями:
a.
1 ,,2
У2 Г = biy2 +
W +
a - a --
1 Г a- ь 2 Л
"2 ч a2 J
a2 , X0 - a \
y +
2
a -
a
Х0Л2 - b1X0(X0
(4)
2 J
У2 Г =
Г2 -1 a2( X0 +Л)2 (Л2 - y )2-[ О1 У2 + H ]2
Зависимость переменной у от времени t и вместе с ней и остальных переменных задачи определяет уравнение:
йг
г 2 - ^ (хо+& )2 & - у )2-[ | у2+н2
(5)
из которого следует, что у=уф будет эллиптической функцией времени. Решение (3)-(4) существует при определенных условиях на параметры задачи и постоянные в общих интегралах:
2а - а) а
& = аА\ ,
кГ =
а &+1
л2 Л
а--
а0
(хо + &).
(6)
(7)
V 2 У
Здесь постоянные к, Г и Е являются константами, входящими в общие интегралы задачи [5].
Метод исследования. В основу исследования движения гиростата, отвечающего данному решению, будет положена теорема Пуансо о представлении движения качением подвижного ак-соида вектора угловой скорости по неподвижному аксоиду и метод годографов П. В. Харламова [5]. Подвижным годографом кинетического момента в исследуемом случае будет отрезок прямой, параллельной второй оси подвижной системы координат, заключенной между значениями у, отвечающим нулям многочлена (5) и обеспечивающим действительность изучаемого решения. Значения переменных х и г определяются равенствами (3).
Уравнения неподвижного годографа запишем в следующей форме [5]:
2 2.2.2 2 соэ = а+ (о2у2 + (оъуъ, аор = ( +а>2 + ю3 - ^ ,
йа ¡- —\йа
— = [уха)—. ап .
йг ^ ' Ж 1 п
С
(8)
Собственно уравнение подвижного годографа вектора угловой скорости, который участвует в теореме Пуансо, получаем линейным преобразованием, связывающим компоненты векторов кинетического момента и угловой скорости.
В работе [6] заменим переменную у, параметры Н, Г и время t на безразмерные величины соответственно Г,М, Н, п и Т.
Уравнения неподвижного годографа (8) запишем в следующем виде:
йг
—4ф(а),юя = — (Н + 3uа-а2)
2.2 2 йа У1?(г)
а = 1 + г -(,-= 2п--,
йг ¥(()
(9)
(10)
где (р(г) = 4п2 - 4(м - г)2 - (к + () у/(а) = 4п2(1 + а2) - (Н + - а2)2 .
В результате исследования уравнений (9) и (10) П. В. Харламовым были получены области изменения параметров, в которых движения гиростата будут асимптотически стремиться к равномерным вращениям вокруг вертикали. При достаточно больших значениях моментов времени t соответствующая им часть неподвижного годографа будет кривой, наматывающейся на вертикаль,
когда (Ор ^ (Ор
=0 монотонно и а
■ а
монотонно возрастая.
Обратимся к результатам работ [2, 3], где в рамках исследований форм равновесия упругого стержня для кинетического момента движения гиростата получены уравнения движения неподвижного годографа, являющегося плоской кривой. Уравнения этой кривой в полярной системе координат р, а будут иметь вид:
Р2 =
йа йг
(г + М)2 -(к2 - 4)\/4п2, к (а2 + пк - ) - 4п
(11)
( + М)2 -(к2 - 4
Для асимптотических форм равновесия аналогично с [4, 6] в качестве параметра вводится кратный корень функции (р(а), равный а = - с при дополнительных ограничениях на параметры:
п2 =
(м + с)2 (с2 +1)/ с2, к = \с(м - с) - 2]/4с2 +1 .
(12)
Теперь в уравнениях (11) при значениях параметров п и к, определяемых равенством (12), функция р(а) будет иметь вид:
(р{а) = (а + с)2
4^ ( \2
--(а-с)
(13)
Уравнения (11)-(13) должны определять действительную кривую. Неинтегрируемая особенность в уравнениях (9), (11) соответствует случаю, когда кратный корень а = — с принадлежит области изменения переменной а , в том числе совпадая с одним из концов промежутка изменения а и превращаясь в трехкратный корень функции р(а) .
Анализ результатов работы [1] по исследованию асимптотических форм равновесия в теории упругих стержней показал, что они являются формами потери устойчивости прямолинейной формы равновесия, а в большинстве случаев формами потери устойчивости цилиндрической пружины. Формы потери устойчивости прямолинейного стержня соответствуют в динамике гиростата асимптотическим равномерным вращениям тела - носителя вокруг барицентрической оси. Потери устойчивости винтовой пружиной происходят в результате выдавливания одного из ее витков во внутрь цилиндрической поверхности, либо во вне ее. Поэтому вектор кинетического момента стремится к прецессии вокруг вертикали. При этом в одних случаях угол нутации приближается к значению угла со стороны меньших значений (рис. 1), либо со стороны больших значений (рис. 2).
Вначале укажем значения параметров механической системы, которым соответствуют асимптотические движения.
1. А=А с=с , 0<с<1. При а —^ —с график зависимости между компонентами кинетического момента изображен на рис. 2в. Из этого и последующих графиков видно, как изменяются компоненты во времени. График асимптотически стремится к окружности из внутренней области, границей которой она служит и соответствует регулярной прецессии вектора кинетического момента.
2. Хс<Х<с, 0<с<1. В зависимости от начального значения модуль кинетического момента может возрастать, достигая значения, соответствующего значению с на правом конце интервала изменения (рис. 2а), а затем, монотонно убывая, стремиться к значению р(с) (рис. 2б), при этом О — ж . Движение вектора кинетического момента, при этом, асимптотически стремится к регулярной прецессии вокруг вертикали. Изображаемые графики находятся в плоскости ^ = к, где значения к определяются через значения свободных параметров ^ и с по формуле (12). Угол нутации в вектора кинетического момента также выражается через параметры задачи по формуле:
= + с)2 + 4](с2 + 0 — с (М — с) — ^
а)
11 0
б)
в)
Рис. 1. Годограф кинетического момента с возрастающим углом нутации
3. ц=с, 0<с<1. Точки а= — ^ и а= — с совпадают. Полярный радиус изменяется монотонно в интервале изменения а и годограф вектора кинетического момента имеет вид, представленный на рис. 1 б и рис. 2 б.
4. 0<с<1, 0</и<
(1+4сГ+\)
с. Значение а= — с разбивает интервал изменения переменной а на
два. В обоих интервалах координаты р и а изменяются монотонно, причем угол О — ж, а годограф вектора кинетического момента стремится к окружности, соответствующей регулярной прецессии изнутри (р - возрастает) (рис. 1 а) либо из вне (р - убывает) (рис. 1 в).
5. с=1, р.=с. Все характерные точки годографа, определяющие его тип, совпадают, а годограф имеет вид, изображенный на рис. 2 б.
. 1<с< л/3 , с < / < + 11 с. Область изменения переменной а также состоит из двух
6.
полуоткрытых интервалов, в которые не входит граничная точка а= — с. Как и в случае 4 отличие
3
годографов состоит в поведении координаты р (рис. 1 б). Если / = с , то а= — с совпадает с левым корнем функции ф(а). В этом случае левый полуинтервал отсутствует, а в оставшемся полуинтервале свойство координат р и а отражены на рис. 2 б.
а)
б)
в)
Рис. 2. Годограф кинетического момента с уменьшающимся углом нутации
7. 1<с<73, (1 + 4с2 +1^!с < / < <! 1 + с2 + с4 — (с + 1)
с . Кинетический момент
стремится к регулярной прецессии со стороны больших или меньших значений модуля в зависимости от того, в каком из полуинтервалов взято начальное значение переменной а, соответственно в правом или в левом.
8. / = с3, >/3 < с. Асимптотические движения гиростата возможны только в интервале справа от особой точки. Движение асимптотически стремится к регулярной прецессии с убывающим по модулю кинетическим моментом (рис. 2 в).
Выводы. В работе в рамках решения с двумя линейными инвариантными соотношениями задачи о движении тяжелого гиростата указаны все условия на параметры задачи и начальные значения основных переменных, при которых движение асимптотически стремится к регулярной прецессии кинетического момента. Это стремление является устойчивым в пределах изученного решения, даже когда модуль монотонно изменяется. Это следует из теоремы существования и единственности задачи Коши о движении гиростата в силу того, что годограф вектора кинетического момента является плоской кривой и не может пересечь ограничивающие его окружности, которые также являются траекториями для кинетического момента.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Илюхин, А. А. Асимптотические формы равновесия анизотропного стержня // Механика твердого тела. -1978. - Вып. 10.
2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А. А. Илюхин. - Киев: Наукова думка, 1979 - 220 с.
3. Илюхин, А. А. Динамический подход к решению задачи ориентации // Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов. - 2006. - Т. 1.
4. Мозалевская, Г. В. Об общем случае исследования решения с двумя линейными инвариантными соотношениями задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела - 1994. -Вып. 26 (I).
5. Харламов, П. В. Динамика твердого тела / П. В. Харламов. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1965 - 220 с.
6. Харламов, П. В. Исследование решения с двумя линейными инвариантными соотношениями задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку (специальные случаи) // Механика твердого тела. - 1976. -Вып. 8.
УДК 514.75/77 ББК 22.151
В. В. Сидорякина
ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ R-ПОВЕРХНОСТИ В Е4
Аннотация. Дается вывод основных форм обширного класса поверхностей в Е4, для которых индикатриса Дюпена есть окружность.
Ключевые слова: поверхность, основные формы поверхности, нормальная кривизна.
V. V. Sidoryakina
THE BASIC FORMS of R-SURFACE IN E*
Abstract. The conclusion of the basic forms of an extensive class of surfaces in E4 is given, for which indikatrisa Dyupena is a circle.
Key words: a surface, basic forms of a surface, normal curvature.
Изучение R-поверхностей в E4 ранее проводилось В. Т. Фоменко и описано в работе [1]. Рассматривалась поверхность, вектор-функция которой имеет вид:
r(u, v) = {и, V, ф(и, v), ф(и, v)}, (и, v)eD, где функция ((¡о + Ьф), i2 — — 1 является голоморфной функцией от переменной z — u + iv и удовлетворяет уравнениям Коши-Римана.
Целью настоящей работы является изучение поверхностей более общего вида:
х1 = а(и, v), x2=p(u,v), х3 = <p(u,v), jс4 = x/j(u, v), (и, v)eD.
Функции (a + iff), ((¡о + 1ф~) являются голоморфными функциями и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана
(<*u=Pv, и ( <Ри = Фу.
\av = -/?„, {(pv = -фи.
Для этого класса поверхностей определяются основные формы. Далее будет показано, что индикатриса Дюпена поверхности F есть окружность и, потому она является R-поверхностью. Теорема 1. Основные формы поверхности F, заданной уравнением (1) имеют вид:
I = (о£ + а% + (р2 + (pZXdu2 + dv2), (2)
II(ñ3) = i 1 =((-«ццУц + aUv<Pv + аиФии ~ av(puv)du2 + 2(~auvcpu - auu<pv +
<*u<Puv + avcpuu)dudv + (auu(pu - auv(pv - au(puu + av(puv)dv2), (3)
¡Kfid = i 1 ({auu<Pv + auvVu ~ «v<Puu ~ au<puv)du2 + 2(auv<pv - auu(pu -
jau+av+<pu+<pí
av(puv + aucpuu)dudv + (-auu<¡0„ - auv(pu + ar<¡ouu + au<puv)dv2). (4)
Коэффициенты (ú341, co342 линейной формы кручения <и34 поверхности F связаны соотношением (й34Л = —й)34 2 и записываются следующим образом:
^34.1 = , 2± 2л2 ((~аиа™ + auuav - <Pu<Puv + (PvVuuXal + а2+ ср2 + (р2)), (5)
ü>34.2 = , 2 2 2 2—^ (auauv - avauu + <pu(puv - (puu(PvXaÍ + a2 + (p2 + <p2), (6)
Доказательство. Найдем первую квадратичную форму поверхности F. Для отыскания коэффициентов первой квадратичной формы поверхности, вычислим производные вектор-функции r(u, v) = {а(и, v),(3(u, v), <р(и, v), ф(и, v)}, (и, v)eD по переменным и и v:
ги = {аи,Ри.<Ри.Фи).
rv = {av,Pv.<Pv.Vv}.
Используя формулы:
(«и = &. (7)
(<Pv = ~Фи.
получаем
