CC BY
48
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОБОБЩЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Сагиндыков Бимурат Жумабекович
канд. физ.-мат. наук, доцент КазНТУ, Республика Казахстан, г. Алматы
E-mail: bimurat55@gmail. com Бимурат Жанар
Магистр КазНТУ, Республика Казахстан, г. Алматы
ANALYTICAL FUNCTIONS OF GENERALIZED COMPLEX VARIABLES
AND IT'S APPLICATIONS
Bimurat Sagindykov
candidate (PhD) of Physical and Mathematical sciences, KazNTU, Republic of
Kazakhstan Almaty Zhanar Bimurat
Master of Science KazNTU, Republic of Kazakhstan Almaty АННОТАЦИЯ
Целью данного направления является применение функции обобщенного комплексного переменного к задачам гидродинамики и теории упругости. В этой работе для таких функций получены условия Коши-Римана и соответственно обобщенное уравнение Лапласа. Получена обобщенная формула Пуассона.
ABSTRACT
The object of this work is the use of generalized functions of a complex variable to solve the problems of fluid dynamics and elasticity theory. In this paper for this kind of functions we obtained Cauchy-Riemann conditions and, accordingly, the generalized Laplace equation and the generalized Poisson formula.
Ключевые слова: условия Коши-Римана; обобщенное уравнение Лапласа; формула Пуассона.
Keywords: Cauchy-Riemann conditions; generalized Laplace equation; Poisson formula.
Введение
Обобщенные комплексные числа делятся на типы [1]. А именно,
различают эллиптические, гиперболические и параболические комплексные
числа. Это означает следующее. Пусть г = х + ру обобщенное комплексное
число и р2 = —в0 + рв1, где в0, вг — вещественные числа. Тогда числа делятся
на указанные типы в зависимости от того, какими являются в0,в1. Если 02
И = -4- — в0 < 0, то такие обобщенные комплексные числа относятся к
0 2
эллиптическому типу, если же И = — — в0 > 0 — то к гиперболическому, если
4
02
И = — в0 = 0 — параболическому типу.
Если взять в0 = 1, в1 = 0, то мы получим обычные комплексные числа. Если в0 = — 1, в1 = 0, то мы получим двойные числа. Если в0 = в1 = 0, то получим дуальные числа.
В данной работе теория аналитических функций /(2) = и(х, у) + р^(х, у) обобщенного комплексного переменного г = х + ру, удовлетворяющих системе уравнений Коши-Римана :
их + в1^х = уу, иу + в0г?х = 0, (1) которая по существу эквивалентна уравнению Лапласа
= — в1иху + иуу) = 0. (2)
Аналогично для мнимой части функции у(х, у) = 1т/(2) имеем
^ = 1Ь(в0^хх — в1^ху + ^уу) = 0. (3)
Эквивалентность условий Коши-Римана и условия — = О
Пусть дана функция [(г) = и(х,у) + ру(х,у). Переменные х и у легко выразить через г = х + ру и г = х + в±у — ру:
вл-р р
х = тт—г - --г,
вг-2р вг-2р '
-1 1 _ у = 7-г + --г,
' вг-2р вг-2р '
где р2 = —в0 + рв1. Поэтому функцию [(г) формально можно
Л ?
рассматривать как функцию двух переменных г и г. Найдем — Для этого рассмотрим дифференциальные операторы
д_
дг
-^\(в р)± — П (4) в1-2р\к 1 дх дуГ V '
— = 1 \— — + —] (5)
дг вг-2р \ р дх дуу ( )
которые обладают следующим свойством:
др (д*\ дч (др\ , _ „ _
дгР
Поэтому однозначно определены операторы вида
дР+ч
дгРдг« (вг-2р)Р+Ч
\ 1 дх ду
дд -р--1--
дх ду
В частности при р = ц = 1, имеем
дгдг (в1 — 2р)2
д2 д2 д2 —р(в1 — + + — р)
д
дх2
дхду 1 дудх ду2
где
В случае когда р = ц = 2; обобщенный бигармонический оператор записывается в виде:
3г23г2
= 16^ (д0 - 2д°А ЗХ^ + (д2 + 200) ЗХ3^ - 2д
ЗхЗу3 ' Зу
Зу4>
(7)
Отсюда при 0О = 1,01 = 0 как следствие получим обычный бигармонический оператор
3г23г2
= (.31 + 2 З4
= 16 (3х4 +
+ А
3х23у2 Зу4/
Здесь г = х + ¿у, г = х — ¿у и р2 = —0О + р01 = —1, т.е. р = ¿.
З
Теорема. Условия Коши-Римана и — = 0 эквивалентны.
и з 3 1 Если — = 0, то — = --
/Зи Зу\ Зи Зу —Р (Зх Р ЗхУ Зу Р Зу.
01-2Р
Зи . л Зу
ЗУ + ^0ЗХ —
/Зи Зу Зу\1
Р (зх + Зх — Зу/] ^ 0. Отсюда следует справедливость условий Коши-Римана
Зи + д Зу = Зу
Зх 1 Зх Зу
3и+до3Х=0.
В общем случае интеграл | /(£)йг, здесь г = х + ру, р2 = —0О + р01
АВ
зависит от формы пути. Выясним условия, при которых интеграл от формы пути не зависит. Ответ на этот вопрос содержится в следующий теореме.
Теорема Коши. Если функция /(г) обобщенно-аналитическая в односвязной области то интеграл от этой функции вдоль всякого замкнутого кусочно-гладкого контура ¿, целиком лежащего в равен нулю.
Доказательство. Пусть /(г) = и(х, у) + р^(х, у) — аналитическая в области ^ функция. Имеем
ь
ь
р [| V (X, у)йх + (и (X, у) + 0 У (X, у)) йу
ь
(2 Р -01)Но
Из условия Коши-Римана следует, что — = 0. Это условие и непрерывности функций и, V, мхух, иу, уу достаточно для обращения интегралов в нуль.
Условия Коши-Римана в полярных координатах
От алгебраической формы г = х + ру,р2 = —0О + Рд1 обобщенного комплексного числа переходим к его показательно-тригонометрической форме
где
= г(0оа,<р) + рЗД)а,<р) =
В частности при в0 = 1,в1 = 0 имеем: р2 = —1,D = —1; отсюда получаем формулу Эйлера е1^ = cos < + isin<.
Теперь учитывая формулу связи между декартовыми и обобщенно полярными координатами точки на плоскости запишем: х = гТ{в0,в1,<), у = rS(e0,e1,<), где г2 = \z\2 = z • z = х2 + в1ху + в0у2.
Некоторые вычисления необходимые в дальнейшем. Пусть
z = х + ру = ге^ 2 .
Тогда г = ге( 2 р)* и г • г = г2. Из последних двух равенств по формулам вычисления частных производных сложной функции двух переменных находим
г2 = х2 + в1ху + в0у2 = г • г, 2г— = г дд- = ± = 1е(-е-Т+р>
дг ' дг 2г 2 '
г = е(в1-2р)^г, 1 = г(в1 — 2р)е(в1-2р)* д*.
Отсюда ^ = в^-е^Т+р)«, * = 1еИМ*, где 0 = в-1 — в0.
дг 40 г ' дг 2 ' 4 й
Чтобы написать условия Коши-Римана в полярных координатах, вводим следующий дифференциальный оператор
= д^^ + = -е(-еl+р)p (^ + в1-2р 1 д ) дг дг дг дг д« 2 \дг 20 г д«)'
Тогда условия Коши-Римана можно записать в виде = 0 и оно эквивалентно следующей системе.
'ди __ 0! 1 ди _ 0О 1 ду = о дг 2О г дф О гд^ '
ду 1 1 ди дг О г д^
су 1 1 ии С71 1 иу о
0! 1 ду 2О г дф
ди 1 ду ду 1 ди
В частности имеем при 0О = 1,0-1 =0 имеем — =--, — =---.
дг г дф дг г дф
Далее (10) запишем в компактной форме. Для этого систему (10) решим
ди ди
относительно —, —.
дг дф
Л =
1 0
0! 2Ог 1
Ог
= —, Лай = Ог -Гаг
ду дг
Лай =
а<?
ду дг
0О ду Ог дф _ 0! ду 2Ог дф
0О ду Ог дф 0! ду
2Ог дф
2Ог 1
Ог
ду дг
0! ду
+
1 ду
2Ог дг Ог2 дф'
0! ду 2Ог дф'
^аи ди _ а7 _
^аг
= аг = 0! ду __ 1 ду ди = а^ = ^^ ду 0! ду
дг
2 дг г дф дф
дг
2 дф
ду ду
Аналогично решая систему (10) относительно —, дф. Имеем
ду 0! ди 1 ди ду Ог ди 0! ди
дг 20О дг 0Ог дф' дф 0О дг 20О дф'
которые по существу эквивалентны уравнению Лапласа записанному в обобщенной полярной системе координат
д2и __ 1 ди 1 д2и = о
дг2 г дг Ог2 дф2 '/114 д2у __ 1 ду 1 д2у = о
дг2 г дг Ог2 дф2 '
где £ = — — 0
4
Рассмотрим ряд примеров
Пример 1. Функция и(х,у;х0,у0) = 1п-, где г — расстояние между точками (х,у) и (х0,у0) обобщенной плоскости R2, т.е. г = ^(х — х0)2 + в1(х — х0)(у — у0) + в0у2 является гармонической в любой области обобщенной плоскости R2, не содержащей точку (х0,у0).
Решение. Для удобства вычисления расстояние между точками представим в следующем виде
г2 = (х — х0)2 + в1(х — х0)(у — у0) + в0у2.
^ 2(х-х0) + в1(у-у0) в1(х—х0) + 2в0(у—у0) Р(у~у0)2
Отсюда Гх _ ---, Гу _ ---, Гхх _--~3-,
В(х—х0)(у—у0) В(х—х0)2 rj, , с n , 1
Гху _--3-, Гуу _---—. Тогда для функции и(х,у;х0,у0) _ ln—,
имеем:
и _ _—х и _ _—у и _
их — ,иу — ,ихх
ТххТ Ттг
_ ТхуТ ГхГу _ ГууГ Ту
иху _ —2 и иуу _ —2 .
Подставляя найденные значения производных ихх, иху и иуу в уравнение Лапласа получим
Ли _ _ — [60'
д2и
д2и д2и) _ 1 1
4D\"V дх2 6l дХдду + ty2)_4D ^°Гхх _ °1Гху + Гуу) Г _
_ - (в0Гх2 _ в1ГхГу + Гу2) ±_±1—D_±± (_D) _ 0,
\ v л л. л у у J -2 4D — Т 4D —2 4—2 4—2
во всех точках (х,у) обобщенной плоскости R2, за исключением точки
D
(Хо.Уо), так как в0Гхх _ в1Гху + Гуу _ _ в0Г2 _ О^ГхГу + Г2 _ _D.
Таким образом, функция и = 1п ^ является решением уравнения Лапласа на обобщенной плоскости R2 за исключением точки (хО,уО) где она обращается в
Пример 2. Решение задачи Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием Дирихле
1 ( д2и д2и д2^ —4£ \ О дх2 1 дхду ду2 '
в области П = {(х,у)|х2 + 01ху + 0Оу2 <1} с границей
Г:х2 + 01ху + 0оу2 = 1;
где 00,01 — вещественные управляющие параметры. Здесь
£=■0!— 0О<О,Р2 = —0О_Р01.
Задача Дирихле. Найти в области П функцию и(х, у), удовлетворяющую следующим условиям:
и(х,у) £ С(Л) П С2(П), (12) Ли = — + ^ = 0, (х,у) £ П (13)
—4О V О дх2 1 дхду ду2/ 'V ».// V /
и(х,у) |г = /(^),0 < < (14)
где: /(^) — заданная функция; будем считать, что /(^) £ С1(Г), /(0)=/(2я).
В области П перейдем к обобщенно полярным координатам х = тГ(00,01( р), у = т5(0О,01( р). Тогда уравнение (13) в полярных координатах имеем вид (см. 11)
д2и + 1 ди 1 д2и = 0 (15)
дг2 г дг Ог2 дф2
Решение и(х,у) = и(тГ(р),т£(р)) = и(т, р) = и(т, р) уравнения (15) будем искать в виде произведения двух функций.
и(г, р) = Д(т) • Ф(Т—£р) ^ 0 в П (16)
Подставляя предполагаемую форму решения (16) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим
2я"(г) . я'(г) Оф) . т--г т-=--- = Я
Я(г) Я (г) ф(7—Оф) '
Отсюда следует, что функция Д(т) должна быть найдена из решения уравнения
т2Д"(т) + тД'(т) — ЯД(т) = 0, (17)
а для функции Ф^—£р) получим задачу на собственные значения
Ф"(Т—£р) + АФ(Т—£р) = 0, Ф(Т—£р) = Ф(Т—£р + 2л:). (18)
Здесь условие периодичности функции Ф^—£р) является следствием периодичности искомого решения и(т, р) по угловой переменной с периодом
2п. Это возможно только в том случае, когда X = —Ип2 и когда п-^—И - целое. Тогда общее решение дифференциального уравнения (18) определяется по формуле
<p(^—D<p) = an cos(n^—D<) + bn sin(n^—D<),
где an и bn — произвольные постоянные.
Уравнение (17) при X = —Dn2 имеет два линейно независимых решения
R^r) = r^n,R2(r) = r~^n.
где D < 0. Так как частные решения уравнения (17) при X = —Dn2 ищем в виде степенной функции R(r) = rk,k = const. Подставив эту функцию в уравнение (17) установим, что показатель степени k определяется из уравнения
k2 = —Dn2, т.е. k = ±^—Dn.
Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограничено в рассматриваемой области при r = 0. Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь
Rn(r) = .
Таким образом, согласно (16) частные решения уравнения (15) можно записать так:
u(r, <) = r^~^n[an cos(n^—D<) + bn sin(n^—D<)].
В силу линейности и однородности уравнения (15) суперпозиция частных решений
и(т, р) = 7 + 2п=1 т^п[ап + Ьп sm(W—£р)], (19)
также будет удовлетворять этому уравнению.
Таким образом, ряд (19) внутри области П является гармонической функцией. Из общего курса известно, что ряд (19) сходится равномерно на Л. Тогда удовлетворяя ряд (19) граничному условию (14), получим
и(т, р) |г= 1 = /(р)
или
Яр) = 7 + £п=1к со*(п7—£р) + ьп ип(п<У—£р)]. (20)
Ряд (20) представляет собой разложение в ряд Фурье функции Яр) на промежутке [0,2 л]. Тогда коэффициенты ап и Ьп определяются по формулам:
ап = 1/О2я/(р) £р) йр ,п = 0,1,2,..., (21)
Ьп = 1/О2я/(р) sin(nV—£р) йр ,п = 1,2, .... (22)
Теорема. Если функция /(р) £ С1[0,2л] и /(0) = /(2л), то существует единственное решение задачи Дирихле в области П, которое определяется рядом (19).
Формула Пуассона
Преобразуем ряд (19) с учетом выражений (21) и (22):
2п
0
+
+ — У г' п
п=1
2п
2п
П^Г^ \ СОБ^^—Й^) & СОБ^п^—Йф)
+
+
| f(t)sin{пV—Йt)dtsin{пV—Йф) f(t)dt +
2п
2п
+
П I f(t^ X Г^°П[сОБ(п^—О^ СОБ^П^—Йф) +
0 п=1
+ sin(пV—Dф)]dt =
= П[1 + 2 СОБП^—Й^ — ф)^ (23)
Учитывая обобщенную формулу Эйлера (9), имеем:
г^п = = г^°п[соБ(п^—Йш) + I Бт(п^—Йш)],ш = t
ф.
Найдем сумму ряда
1 + 2^ г^°п соб (п4—Й^ — ф)) = 1 + 2\
= —1 + 2Яе У г^°п = —1 + 2Яе 1
¿—'п=0
г^~°п СОБ пШ
= —1 +
2-2г^~п соз^-Ош
1 —
1-2г^~п соз^-Ош+г2^ 1-2г^~п соз^-Ош+г2^
(24)
Тогда, подставляя (24) в (23), найдем формулу
и(г,ф) = -(ГЯО-гп 1 -г^dt, (25)
1-г24-О
которая называется формулой Пуассона. Пример 3. Вычислить интеграл / Pn(x)eax sin Ьх dx.
б2
Решение. в случае, когда D = — — 0О < 0 формулу (9) можно записать в
4
виде
= y(0„,01,x) + ptf(0„,01,x) =
Г / Ol \ 1 ■
= [(cos V—£x — sin V—£xJ + p sin V—£x . (26)
Тогда |y(x) dx + p | ^(x) dx = + С + pC2. Отсюда
|/(x) dx = O°iy(x) + ВД + Сь | ВД dx = —OL/(x) + C2;
так как p = 0x — p и p • p = 0„. Последний интеграл можно переписать в
виде
. V_0 0^ / O \
| sin V—Dx dx = —O-(cos V—Dx — 2v_=sin V—DxJ + С. Здесь Of = a' V—D = Ь и 0„ = а2 + Ь2. Таким образом
г nv . , i еах(а sin Ьх_Ь cos Ьх) , „
I еах sin bx dx =--—---h С.
J m2 + h2
Из разложения экспоненты (26), имеем следующее соотношения: У'(х) = —0О^(х), = у(х) + 01^(х). Применим эти соотношения
0„ | ^(x) dx =
y(x) + С,
6o / xtf(x) dx = + f—x + ^)/(x) + C. Далее параметры 6o, 6X заменим через параметры а и Ь, и имеем:
Г xeax sin Ьх dx = —т [sin Ьх — fx —г^т) (Ь cos Ьх — a sin Ьх)1 + C.
J a2+b2 L V a2+b2/ 4 yJ
Теперь не трудно вычислить искомый интеграл, используя полученные выше результаты.
Интегрирование по частям приводит к понижению степени п под интегралом.
Действительно,
I
xneax sin Ьx dx
=I
xnd
eax(asin Ьx — Ь cos Ьx)
a2 + Ь2
= xn
eax(a sin bx-b cos bx)
a2+b2
— П J xn 1
eax(a sin bx-b cos bx)
a2+b2
dx.
Список литературы:
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. — 416 с.
2. Сагиндыков Б.Ж., Бимурат Жанар. Обобщенная комплексная экспонента и ее применения для отыскания суммы // Естественные и математические науки: вопросы и тенденции развития. 2013. г. Новосибирск, — с. 7—15.
