CC BY
13
УДК 539.374.001.8.621.7-111
В. В. Чигиринский, А. Н. Бень
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЫ
Получено замкнутое решение плоской задачи обобщенной теории пластичности. Теоретически определена модель сложной пластической среды. Показаны решения с использованием деформационной теории и теории пластического течения. Проведен анализ решения задачи для простой упрочняющейся среды.
Введение
На базе замкнутого решения плоской задачи теории пластичности предложен новый метод, который отличает упрощение анализа напряженно-деформированного состояния среды и получение теоретического выхода на ее механические характеристики через параметры процесса.
Постановка задачи
Известно замкнутое решение плоской задачи теории пластичности в аналитическом виде для упрочняющейся среды [1]. Показана сложная модель упрочняющейся пластической среды, базирующейся на том, что сопротивление пластической деформации на сдвиг к есть функция координат очага деформации. В связи с этим появляется возможность анализа новых подходов к решению задач, включая разработку обобщенной теории пластичности. Помимо исходных уравнений, уравнений равновесия, условия пластичности, уравнения несжимаемости для скоростей деформаций и деформаций, уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций, постановка задачи включает:
- уравнения равновесия
да х дт
- +
дх ду
ху
дт
да у
+
дх ду
ух
- уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций
дх , д4
У
д 2 у
ху
ду2 дх2 дудх ду - уравнение теплопроводности
д 2Т д 2Т. п а + —7) = 0.
дх2 ду2
Модель сложной пластической среды
Т = X • И)т1 • (ГгГ2 • (Т)т3. (2)
В систему (1) включены уравнения деформационной теории пластичности и теории течения. Кроме этого добавлено уравнение теплопроводности [2]. Модель (2) - это реальная упрочняющаяся среда. Граничные условия для напряжений [3]
тп = -Т( • эт[.4Ф -2а] Т1 = к
2
д28 д28у и ьх +__у_
д 2 у
ху
2
дх 2
дудх
или
2
• 8т2 •а-т ху • 2 •а). (3)
Дополнительные условия заданы контактными удельными силами (3) трения, изменяющимися по синусоидальному закону с деформационным и скоростным упрочнением. Все интенсивности и температура зависят от координат очага деформации.
Решение задачи
- условие пластичности
(ах-ау)2 + 4• тху2 = 4 • к2;
Для получения модели (2) рассмотрим три уравнения второго порядка в частных производных, неоднородных, гиперболического типа
- уравнения связи для скоростей деформаций и деформаций
д2т
ху
дх 2
д2т
ху
ду2
= 2 •-
д2
дхду
4
к2 -т?у,
ах-ау = 4ху
2 •т
а х а у _ 8 х 8 у
ху
У
ху
2 •т
= ¥
2;(1)
ху
ху
д 24 х ду2
д 24 х
дх 2
= 2 •-
дудх
¥
(4)
- уравнения несжимаемости для скоростей деформаций и деформаций
4х + 4у = 0; 8х +8 у = 0;
д 2 8 х д 2 8 х
ду2
дх 2
- 2•-
дудх
Граничным условиям вида (3) соответствует под-
© В. В. Чигиринский, А. Н. Бень, 2008
х
у
т
п
0
0
2
д
1
4
х
2
д
1
8
X
становка вида тху = к-sinАФ . Рассматривается сложная зависимость от координат, т. е. k = f(Г,-,Hj,T,х,y). При этом к = Са-exp0 , где 9'= f(Г,,H¡,T,х,y), Г,-,H¡,T - интенсивности деформаций, скоростей деформаций и температур.
Производные в данном случае необходимо брать как от сложной функции [4] и после подстановки в первое уравнение (3) получим
К- Нх +0г-Гх +Qt-Tx )х + +[(0'К-Н +9г-Гх +9t T)+аф y ]-
- (9'„ Hy+9'г-Гу +9 t'Ty ) y --[(9;, ну+9г •Гу +0;-Ty) - ^Фх ]+2лф xy }х X sin(^) + 2 [ • Нх + 9гГх +0t - Tx) + АФ
X \АФх - (9Н Ну +ег -Гу+9, Ty )J+АФхх - АФyy -
-2(9нн • Нх-Ну +9н • Нху + 9гг *Гх ' Гу +
+ег • Гху +9; Tx Ty +9, Txy)}•cos(AP) = 0. (5)
тxy = С„ • exp(-9) • exp(-A29) • exp(-A39) • sm(АФ), (6)
оx = Со • exp(-Aj9) • exp(-A29) x x exp(-A3 9) • cos( АФ) + о0 + f (y) + C,
0 y = -Со • exp(-A19) • exp(-A29) X x exp(- A3 9) • cos( AФ) + о0 + f (x) + C
при 9X = (91) x + (92) x + (93) x = ^Ф y, 9'y = (91) y + (92) y + (93) y = AФ x.
Подставляя в уравнение связи значения напряжений, получим
о x-о y ^x
• = ctgA®
x -y = „t„^. 21—1L = ctgB1®,
2 • т
xy
I xy
ctgAФ = ctgB^ = F1,
■ = ctgB^,
I xy
Уравнение (5) тождественно равно нулю, если выражения, стоящие в квадратных скобках равны нулю. Действительно,
9н-Нх +9г - Гх +9,Tx =-AФy,
9н-Ну + 9 г • Гу + 9, Ту = AФ х,
\'НХ +9г-Гх +9tTx) х =- AФ
■ •Ну +9'г-Гу +9'tTv) у = AФ х
ух>
УУн11у~^г у ? У ' У ^^^ ху>
Афуу =-(9'нн •Нх'Ну +9Н •Нху + 9гг * Гх X
*Гу +9г 'Гху + 9» 'Тх 'Ту + 9 'ТхуX
АФхх = (9Нн •Нх'Н у +9'н •Нху + 9гг * Гх X
X Гу +9г -Гху +9х •Тх •Ту + 9 •Тху).
Операции над сложной функцией позволяют показатель экспоненты определить, как сумму трех функций, учитывающую влияние степени, скорости деформации и температуры, действительно
9' = -А9 = 91 + 9'2 +93 = -(49 + А2 9 + А3 9).
Сопротивление сдвигу и составляющие тензора напряжений
к = С0 • ехр(-А19) • ехр(-А'9) • ехр(-А39),
ctgAФ = ctgB2Ф = .
Это позволяет установить связь между сдвигами и линейными показателями скоростей деформаций и деформаций. С учетом уравнений несжимаемости имеем
УХу = -1 х = %х ^Ф,
■Л
Y xy = 2-— -8 x = 2-8 x-tg^.
F2
С целью упрощений имеем
x = C1 -ехр^ - cosВф; 8x = C8 -ехр02 - cosВ2Ф .
Подставляя последние соотношения в уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций (1) или (4) получаем
[-91'хх - (91'x + Вфy )2 +9l'yy + (91'y - Вфх)]:
X sin Вф + [2 • (В1Ф x - 91'y ) • (91'x + Вф y ) + + (B10xx - Вфyy )] • cos Вф =
2 • Bфxy • sinВф + 2 • 91xy • cosВф
1xy
(7)
также
bx by
[-eL* - (eL + в2Фу )2 +e2yy + (е'^ - В2Фх )]х х sm В'Ф + [2 • (В'Фх -е2 y) • (е22 x + В'Ф y) +
+ (В'Фхх - В'Фyy )]• cosВ'Ф =
= 2 • В'Фху • sinВ'Ф + 2 • е'xy • cosВ2Ф,
(8)
В уравнениях (7) и (8), появляются аналогичные скобки, как и в (5). При условии
(01') х =-Вф у , (01') у =-Вфх ,
(02)х =-В2Фу, (022)у = В2Фх, уравнения превращаются в тождества, где
В этом случае решение ищем в виде
T = CT • exp(e3J) • (sinВ3Ф + cosВ3Ф), (11)
при (е3)x = -В3Фy, (еЗ)y = ВЪФХ.
Покажем, что выражение (11) является решением уравнения Лапласа. Подставив производные от (11) в уравнение теплопроводности, после упрощений, получим
{еЗ)
з)хх + (ез)x+в3ф y • (е-,)x -в3ф y +
J+ (е-З) yy
(е-,)y + В3Фx • (е-,)y -В3Ф л (sinВ3Ф+cosВ3Ф) +
2 • (е3) x • В3Ф x + В3Ф xx+2^ (е-,) y • В3Ф y + В3Ф
yyj
01' = -В10 , 022 = -В20 - показатели экспонент фун- х (cosВзф - Взф) = 0. кций, определяющих поля скоростей деформаций и деформаций, В1Ф и В2Ф - аргументы тригонометрических функций, определяющие поля скоростей деформаций и деформаций.
Выражения для скоростей деформаций и деформаций имеют вид
(12)
Скобки [(03')х + В3Фу], [(03.)у -ВзФх] в уравнении (12) при их равенстве нулю устанавливают связь
вида
(е,,) ** = - В3Ф yx, (е3) yy = В3Ф
уу
xy '
4x = y = C • expе1 • cosВ1Ф = C^ • ехр(-В1е) • cosВ1Ф, Yxy = C^ • expе1' • sin В1Ф = C^ • ехр(-В1е) • sin В1Ф, (9) Hj = 2 • C4 • expе1 = 2 • C^ • ехр(-В
при
sx = -sy = Cs • expe2 •cosВ2Ф =
= CE • exp(-B2e) • cos В2Ф,
Y xy = Cs • exp e2 •sin В2Ф = = Cs • exp(-B2e) • sin В2Ф,
Гi = 2 • Cs • exp e22 = 2 • Cs • exp(-В2е)
(e1) y = Вфх, (e1') x =-В1Ф y,
(e2) y = В2Ф x, (e22) x = -В2Ф y.
(10)
В3Фхх = (0^)ух, В3Фуу = (0хху ).
Последние соотношения соответствуют условию Коши-Римана. Они являются теми функциями, которые определяются уравнением Лапласа, что и соответствует (11).
Сопоставляя решения (7).. .,(11) (условия, накладываемые на функции) приходим к выводу, что
03 = -В30 для напряженного и деформированного состояний и поля температур. Из этого можно определить общую параметрическую функцию, которая входит в поля напряжений, деформаций, скоростей деформаций и температур, и математически выразить друг через друга. Таким образом
exp(-e)=
Сопоставляя формулы (9), (10) и (7), убеждаемся, что во всех выражениях присутствуют функциональные зависимости от координат 0 и Ф (показатели экспонент и аргументы тригонометрических функций).
Представляет интерес получения в решении для поля температур аналогичных зависимостей, что позволило бы замкнуть эту задачу теоретически. Рассмотрим дифференциальное уравнение для стационарного температурного поля
д2Т + д2Т =0 дх2 ду2 '
Hj 2 • C
Г i 1В
2 • Cc
T
CT • (sin В3Ф + cos В3Ф)
Подставляя в выражение для сопротивления деформации, получим
T =%• (Hi)В1 • (Гi)В2 • (T")Вз
(13)
Выражение (13) по своей форме соответствует зависимости напряжения текучести от скорости, степени деформации и температуры, представленной в
х
1
В
1
В
работе [1].
Анализ полученных результатов
Для анализа полученного результата использовали выражения (6) для изучения напряженного состояния пластической среды при плоской осадке на шероховатых плитах.
Если задачу привести к более простой математи-
! !
ческой модели (A2 = A3 = 0), то выражения (6) соответствуют решениям [5]
к = Сс - exp(-Ацб) , тxy = Сс -exp(-Al0)-sin(АФ), ax = Сс - exp(-AlB) - ^(АФ) + ао + f (y) + C , стy =-Са -exp(-Ale)-cos(AФ) + a0 + f (x) + C. (14)
Из условия пластичности ao =-2- k- cos АФ , C = kо. Функции АФ и e гармонические. Из урав-нения Лапласа и соотношений Коши-Римана получили выражения для определения указанных функций в виде координатного полинома
АФ = АА6 -x-y-АА13 -x-y-(x2 -y2), Г0,5- АА6 -(х2 - y2)
e = -
I-АА13 -10,25
-(х 4 + y 4 )- 1,5-x 2- y 2]
В выражениях постоянные величины определялись из реальных граничных условий
АА6 = 4-АА13 = 16-^1- 3 1 2h ч, ^ l-h l3-h-((+ h)
k0 - сопротивление сдвигу в начале очага деформации на контакте. При этом коэффициент
Ca = exp(-eO),
cos АФ0
A^ A A l-h A A l-h
АФо = АА6-—-АА13-—
4 4
eo =- Аео =-
0,5- АА6
АА
13 '
r l2 - h2 л 4 4
0,25
(l4 h4 ^ — + —
16 16
-1,5-
l2-h 2 16
Подставляя в (14) компоненты тензора напряжений, имеем
exp(e -e0) _ ,
ax =-k0 -——-- cos АФ + k0,
cos АФ
0
ay =-3-k0 -.exp(e—^-cosАФ + k0
"xy
cos АФ0
, exp(e -e0) . _
= k0 —. _ 0 - sin АФ .
(15)
cos АФ
0
у0 = вп^[2 • / • (1 - /)], у = ап^[1,7 • / • (1 - /)]
где I и И - длина, и высота очага деформации при осадке полосы,
/ - коэффициент трения,
Результаты расчета по формулам (15) приведены на рис. 1......4. Показано, что распределение контактных напряжений реагирует на фактор формы
I
очага деформации — и коэффициент трения / . От-
И
носительные нормальные напряжения ст у / 2ко, относительные касательные напряжения тху / ко . Результаты расчетов совпадают с реальными эпюрами контактных напряжений [6]. Следует подчеркнуть, что выражения (15) едины для всего очага деформации и нет необходимости разбивать его на отдельные зоны контактного трения [7].
Рис. 1. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках I / И = 8 ,
/ = 0,1 ...0,5
S 1 'tct. •
~ i & 1 У • V
1 & S £ Ш' / N 4 -»-3
x 2 0 f • -*-8
a i 1 * -its. \ —h—10
¡1 О EL Й A ж 1
s*
£ 1 * «1 Wr< 1 %
0,4 -0 3 0,05 0,17 35$ 0,39 0,5
относительная длина очага деформации X/L
относительное контактно! касательное напряжение э о о о о о о < Г ■ш.
f +
{ — #— ин=1
> * -N-L/H-3 ---1>Н=5 -*-UH=8 —ин=ю -■-L'H=15
0/ о,; + * лг ♦ I.OE I2I |,зе 05
%
ч
♦ /
относительная длина очага деформации X/L
Рис. 2. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках f = 0,.
1И7 = 1.
a § ,
г %1
¡So,
Й I о.
-0,5 -0 4-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 относительная нмсота очаге деформации у h
а 1
I й
Ц
=Т= =1= =1= =1= *
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 относительная высота очага деформации y/h
Рис. 3. Распределение нормальных напряжений по высоте полосы при осадке на шероховатых бойках l / h = 8 ,
f = 0,1...0,5
Полученные результаты качественно и количественно отражают общие закономерности распределения полей тензора напряжений по всему очагу деформации. В полной мере удовлетворяют граничным условиям. Предложенная методика и, в частности, выражения (15) могут быть рекомендованы для расчетов разнообразных прикладных задач.
Показано, что предложенная сложная модель пластической среды, базирующаяся на замкнутом решении, может служить некоторым обобщением для создания теории пластичности, соединяющем деформационную теорию и теорию пластического течения.
Рис. 4. Распределение нормальных напряжений по высоте полосы при осадке на шероховатых бойках f = 0,3 ,
l / h = 1...15
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 735 с.
3. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1975. -399 с.
4. Качалов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 419 с.
5. Аркулис Г.Э., Дорогобид В. Г. Теория пластичности. - М.: Металлургия, 1987. - 251 с.
6. Чекмарев А.П., Клименко П.Л. Экспериментальное исследование удельных давлений на контактной поверхности при прокатке в калибрах / / Обработка металлов давлением: Сб. тр. Днепропетровского металлургического ин-та. - Харьков , М., 1960. - Вып. 39.
7. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки
металлов давлением. - М.: Машиностроение,
1977. - 422 с. P. 87-93.
Отримано замкнет ршення плоское 3adani узагальненоi т^врттсшнЗат'и'ЮеО}?0-4-2008 тично визначено модель складного пластичного середовища. Показано рiшення з викорис-танням деформацiйноi теорИ i теорИ пластичного плину. Проведено анализ рiшення за-дачi для простого середовища, що змщнюеться.
It is received closed decision of the flat problem generalized theories ofplasticity. Model of the complex plastic ambience is theoretically determined. Decisions are shown with use strain theories and theories of the plastic current. Analysis of the decision of the problem for simple hardening ambiences has been carried out.
Перечень ссылок
1. V.V. Chygyryns'kyy, I. Mamuzic, G.V. Bergeman. Analysis of the State of Stress of a Medium under Conditions of Inhomogeneous Plastic Flow // Metalurgija. Zagreb. - 2004. - vol. 43, br. 2. -
