CC BY
8
УДК 539.374.001.8.621.7-111
В. В. Чигиринский, А. Н. Бень
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЫДАВЛИВАНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАГОТОВКИ В КОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕ
Показано аналитическое решение обобщенного уравнения равновесия в полярных координатах. Получен тригонометрический закон распределения компонентов тензора напряжений с переменным по очагу деформации сопротивлением пластической деформации на сдвиг.
При производстве лопаток различного назначения одной из основных технологических операций является операция выдавливания. Предварительный анализ деформированного состояния металла в процессе изготовления показал, что в некотором приближении задачу можно считать плоской, так как диаметр заготовки и ширина пера лопатки являются примерно одинаковыми. На коническом участке матрицы формоизменение принимается плоским. Рассмотрим плоскую задачу теории пластичности в полярных координатах.
Постановка задачи включает в себя два уравнения равновесия вида:
9üp 1 дт
дР р
РФ , аР аФ _
дф
_ 0
ференциальные уравнения в этом случае представляются в виде:
д2т д2т и ''РФ _ и 1xy
дф2
dz
_ 0,
д2т д 2т р2 и W и 1РФ , 3 р Р--2---- + 3 'Р
дт
дР2 дф
2
• П • -
РФ
дР
_ 0.
Использование условия (3) позволяет избавиться от радикала в правой части обобщенного уравнения равновесия (4).
Сопротивление пластической деформации к на сдвиг принимается переменной величиной и, следовательно, функцией координат очага деформации:
1 д°Ф дт,
Ф , РФ
+ 2'
"РФ
_0
р дф др и уравнение пластичности:
(^р-^Ф)2 + 4•трф = 4 •к 2 .
(1)
(2)
Граничные условия на контакте задаются в напряжениях:
ТРФ_ к' 81П(А1Ф).
(3)
После преобразований выражений (1) и (2) имеем обобщенное уравнение равновесия в полярных координатах [1]:
д2т д2т р2 и РФ и РФ , 3 Р
Р--2---- + 3 'Р
дт
дР2 дФ
2
• П • -
РФ
дР
± 2'-
дРдФ
'Р
' к'
1 -
рф
(4)
В работах [2] и [3] предложено решение уравнения (4) со значительными упрощениями. Диф-
к _ f (р, Ф)
к _ Са ' exp 0 .
(5)
С учетом граничных условий (3) фундаментальной подстановки (5) обобщенное уравнение равновесия (4) разбивается на два оператора при синусах и косинусах и принимает вид:
Р2 -ерр +(р-ер + Афф)2-6фф"(з^А1Фр-Эф)2 +
+ 3 'Р'0р _-2' АФф-2 'Р' АФ
РФ'
2 • (р • 0р + Афф\(з • А1фр - 0ф)+ р2 • А1фрр + + 3 •р^ Афрр- А1Ффф = 2 ^0ф + 2-р-0рф. (6)
В результате преобразований появились скобки (р-0р+ А1фф) и (р- А1Фр-0ф) . Анализ показывает, что их равенство нулю превращает систему (6) в тождество, тогда
Р'0р _-А1Ф,
Ф
Р' А1фр _0«
(7)
Р
2
д
к
© В. В. Чигиринский, А. Н. Бень, 2009
ISSN1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2009
- 79 -
Имеем соотношение Коши-Римана, которое определяет тип неизвестных функций 0 и Аф. Преобразуя систему (7), получаем уравнение Лапласа для полярных координат вида:
50 2 д 20 д 20 р- — + Р2--2 +—2 = 0 ,
др др2 дф2
дАф 2 д2 Аф д2 Аф р—— + Р2--1—+-1— = 0 .
др
др
2
дф
2
Афр= А1Аб -ф--, А1фрр Р
-А1А6 -Ф--
1
Афф = А1А5 + АА - ln р, Аффф = 0,
(
р-А1А6-Ф-- + р
2 л л 1
-р - А1Дэ -ф 2 р2 /
+ 0 = 0
Имеем тождество.
Так как функции Аф и 0 связаны соотношением Коши-Римана, получим:
0 = - A1 -
A5 - ln р + 2 - A-(ln2 р-ф2}
(11)
(8)
Следовательно, функции 0 и Аф, вводимые в решение как неизвестные, являются гармоническими и могут быть определены из уравнений (8).
Полученные значения для касательных напряжений подставляем в уравнение равновесия, интегрируя которое определяем нормальные напряжения Ор и ctq:
трф= Со- exP0- sln А1ф ,
Ор = СО - exp0 - cos А1ф - П- + o0 + f (ф) + C ,
Оф = -Co - exp 0 - cos Аф - П- + o„ + f (р)+ C , (9)
при р-0р =-Афф и р-А1фр =0ф.
Рассмотрим плоское выдавливание образца в зоне пластического участка (рис. 1).
Рис. 1. Схема к расчету напряжений при выдавливании
Решая уравнение (8) и удовлетворяя очевидным условиям в очаге деформации, можно принять следующее:
Аф = А1 -((-ф + Аб-ф- 1п р). (10)
Действительно, подставив выражение (10) в дифференциальные уравнения (8), имеем:
В гармонические функции (9), (10), (11) входят постоянные коэффициенты Са, А1А5, А1А6 . Определим их из граничных условий. Величинами П- и П- пренебрегаем.
Проанализируем граничные и очевидные условия для определения постоянных коэффициентов Са, А1А5, А1А6 . Принимаем в точке ь касательное напряжение Трф, равное нулю [2]. На
оси симметрии ф = 0 касательные напряжения также равны нулю. С учетом последних замечаний определим постоянные А1А5 и А1А6 . а
1. При ф = — (контакт, точка ь ) Р = г , трф = 0 ,
Аф = 0.
Аф = А1А5 - а + А Аб -у - 1п г = 0 ,
А1А5 = -А1Аб - 1п г .
а
2. При ф = — , р = г1, стр-стф = 2к0.
Пренебрегаем влиянием контактного трения в условии пластичности (2) на выходе из очага
деформации [4]. Подставляя в разность (стр _стф) их значения из (9), получим:
2 - Са - ехр 0О - 008 Аф0 = 2 - Аг0 ,
где 00 и Аф0 — значения функций 0 и Аф в точке а.
Из последнего выражения получим:
C„=-
k0
exp 00 - cos Аф0
(12)
3. При ф = 2 (контакт, точка а ) р = г1 ,
трф = У- к0 , у = /-(1 - /).
Используя условие 3 с учетом формулы (12), запишем:
трф
k0
exp 00 - cos Аф0
--exp 00 - sin Аф0 = у-k0
у = tgА1Ф0 , отсюда Аф0 = arctgy.
(13)
2
р
С учетом выражения (11) определим 00 (контакт, точка а):
0 = 00 = - 4
1
(
А5 • 1п 1 + - • Л
.2 ^
, 2 а
1П 1--
1 4
(14)
Введем обозначение:
8- А1Ф0 А А -о =-, тогда А1А6 =
2 •б
'
Подставляя значения А1А5 и А1А6 в выражения (10) и (14), получим:
^ 2•б , р АФ ---ф^ 1П—.
1П И 1
Подставляем зависимости (12), (13), (14) в уравнения (9). При этом в показателе экспоненты появляется разность 0 - 00. С учетом последнего запишем:
Также из условия 3 определим значение функции А1Ф в точке а, с учетом переменной А1А5:
а а
А1Ф - А1Ф0 - -А1А6 • — • 1П г + А1А6 • у • 1П г ,
,^ „ „ а , 1 2 • АФ0
А1Ф0 - А1А6 — , отсюда А1А6 --.
2 г ,11
а • 1п— 1
0 - 00 - 0' - -■
б
1П П
1П П • 1П 1Цр. р 12
( 2 а 2
т-ф
V /
. (16)
Зная значения А1Ф и 0-00 (выражения (15) и (16)) и подставляя их в условия (9), получим относительные значения компонент тензора напряжений в виде:
- 1
2 • к0
exp 0'
^ А1Ф cos А1Ф0
--1
^ф - 1
2 • к0
3 • exp 0'^
cos А1Ф
cos А1Ф0
--1
2рф- exp0^_SinАlф_
к0 cos А1Ф0
(17)
(15)
Результаты расчета по формулам (17) приведены на рис. 2.
Рис. 2. Распределение нормальных и касательных напряжений вдоль очага деформации при угле ф - а /2 ,
11/1 - 0,08
1
2
2
г
1
ТЗЗМ1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2009
- 81 -
Показано, что распределение нормальных и касательных напряжений реагирует на коэффициент трения и положение в очаге деформации. Результаты расчетов совпадают с реальными эпюрами контактных напряжений [2, 3]. Следует подчеркнуть, что полученные выражения едины для всего очага деформации и нет необходимости разбивать его на отдельные зоны контактного трения, как это было сделано Смирновым [3]. Значения нормальных и тангенциальных напряжений увеличиваются от входа к выходу в конический участок матрицы, а значения касательных напряжений, наоборот, уменьшаются.
В целом, необходимо отметить, что данные математические модели качественно и количественно отражают общие закономерности распределения полей тензора напряжений по всему очагу деформации и в полной мере удовлетворяют граничным условиям. Предложенная методика может применяться для решения прикладных задач теории пластичности.
Перечень ссылок
1. Чигиринский В. В. Развитие теории прокатки, разработка технологии и внедрение тонкостенных профилей сниженной металлоемкости в промышленность : дис. ... д-ра техн. наук : 05.03.05 / Чигиринский Валерий Викторович. — Днепропетровск, 1999. — 332 с.
2. Овчинников А. Г. Прогрессивные технологические процессы холодной штамповки / А. Г. Овчинников. — М. : Машиностроение, 1997. — 184 с.
3. Смирнов В. С. Теория пластической деформации / В. С. Смирнов. — М. : Металлургия, 1981. — 432 с.
4. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / М. В. Сторожев, Е. А. Попов. — М. : Машиностроение, 1977. — 422 с.
Поступила в редакцию 13.06.2008
Показано аналтичне ршення узагальненого рiвняння рiвноваги в полярних координатах. Отримано тригонометричний закон розподыення компонентiв тензора напружень 3i змтним по осередку деформаци опором пластичному деформуванню на зсув.
An analytical solution of the generalized equation of equilibrium in polar coordinates is shown. The study deduces a trigonometric formula of the distribution of voltage tensor components with variable resistance to plastic shear deformation strain in the deformation center.
