CC BY
8
УДК 539.374.001.8.621.7-111
В. В. Чигиринский, Е. Т. Белый, С. А. Андрющенко, В. В. Корниенко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИММЕТРИЧНОГО ПРОЦЕССА ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ С ПРОДОЛЬНЫМ СДВИГОМ
Разработана математическая модель симметричной и асимметричной осадки со сдвигом. Показано, что использование сдвиговых деформаций изменяет напряжённое состояние металла, включая контактные напряжения.
В последнее время интенсивно разрабатываются новые технологии обработки и производства изделий с использованием разных способов воздействия инструмента на обрабатываемый металл. В том числе - реализация пластической деформации за счет сдвигов, волочение с кручением и т.д.
Наличие различий в напряженно-деформированном состоянии металла на поверхностях его взаимодействия с инструментом (будь то при прокатке, осадке и т.п. процессах).
Рассмотрим случай пластического деформирования, при котором в процессе осадки на поверхностях появляются силы контактного трения, имеющие противоположные направления, рис. 1.
У
Рис. 1. Схема осадки полосы с противоположным направлением контактных сил трения
У
При такой схеме распределения контактных сил трения будет реализован общий сдвиг, который изменяет свое направление вдоль очага деформации (ось Х) при переходе через т. О. По высоте (ось У) изменение направления сдвига не происходит, в отличие от симметричной осадки касательные контактные напряжения изменяют направления сдвига и в продольном и перпендикулярном направлениях (рис. 2).
Для анализа напряженного состояния при симметричном и асимметричном сдвигах воспользуемся методом, изложенным в работе [1]. Решается плоская задача теории пластичности в напряжениях.
Исходные уравнения:
5ст х_ = 0.
дт ху да у
+—у = 0; дх ду
дх ду
(ах -ау)2 + 4тху = 4к2.
Граничные условия:
т ху =-к ■ sin(AФ - 2а).
(1)
(2)
Преобразуя уравнение (1) получим обобщенное уравнение равновесия, вида:
д 2т
ху
д 2т
дх2
ху
ду2
= ±2
д2
дхду
-к, 1 -
ху
(3)
Рис. 2. Схемы сдвиговых деформаций при разных способах осадки: а - схема осадки при симметрии деформаций сдвига; б -схема осадки при асимметрии деформации сдвига
© В. В. Чигиринский, Е. Т. Белый, С. А. Андрющенко, В. В. Корниенко, 2008
к
Решение (3), представленное в [1] имеет вид: т xy = C0 • exp е • sin АФ = k • sin АФ, при этом
6Х = -АФу; 0у =AФx,
(4)
довательно, не меняется и знак касательного напряжения тХу. При симметричном нагружении (7) изменение знака имеет место и по X, и по Y. Выражению (8) соответствует функция 0
где 9 и АФ - гармонические функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа.
Граничные условия (2) с учетом (4) тождественно удовлетворены.
Подставим (4) в уравнение равновесия (1), получим с учетом [1]:
стX = Ca • exp 9 • cos АФ + Сто + f (y) + C, ay = Cct • exp9- cos АФ + ст0 + f (x) + C. (5)
При f ( x) = f (y) = 0 выражения (4) и (5) удов -
летворяют условию пластичности. Значение Ст0 определяем с учетом разновариантности условия пластичности для нормальных напряжений одного знака, т. е.
Сто = -2 • Cct • exp 9 • cos АФ.
С учетом последнего:
стX = -Cct • exp 9 • cos АФ + C, стy = —3Cct • exp 9^ cos АФ+C. (6)
Решая уравнение Лапласа и с учетом очевидных условий в очаге деформации для симметричного процесса осадки, гармонические функции имеют вид:
0 = -1 АА'б •x2 + -2 • АА' '6 •x2 +1 • AA'g •у2 +
h 1 2 h + АА'б • - • у - - • АА' 'б •у2 +АА''б • - • у. (9)
Для получения числового результата необходимо знать постоянные величины в выражениях (6),
(7), (8), (9), т. е. Ca, АА6, АА'6, АА''6,C, которые определяются из граничных условий. Для симметричного процесса:
h l
при у = —, х = 2 (точка 1, рис. 1)
тху ко; ох-оу = 2• ко; АФ = АФ0; 0 = 0О; тху = co• ехр0о • ^Афо = ^ко; ох-оу = 2• со-ехр0о •008Афо = 2ко;
Тогда Ca =
При этом
ко
exp0О • cos АФо
tgAФ0 = у.
АФо = ААб •
l • h ;
4 ;
0о =- 2 •ААб •
r t - hi ^ 4 4
i 2 2
АФ = АА6 • x • у , тогда 0 =---АА6 • (x - у ).
ААб =
4 • АФ0 l • h
(10)
(7)
Действительно, подставляя (7) в уравнение Лапласа:
0 xx + 0 уу = 0, АФ хх + АФ уу = 0, получим тождество.
Касательные напряжения при асимметричном нагружении по высоте полосы свой знак менять не должны. При этом математическая модель, описывающая распределение касательных напряжений в очаге деформации имеет вид:
АФ = АА'б \ У + f 'I • x - АА''б Í У - hJ • x. (8)
С другой стороны АФо = arctgy, при У = f (1 - f),
где f - коэффициент трения.
запишем
0-00 = 2•ААб •
< 12
Г h2 2 hT - у
(11)
Выражение Сс • exp0 = ko •exp(0-0o) (Ц)
cos АФо
(13)
тогда: при у = АФ = АА'б •h • x;
h l
При у = —, x = —; 0-0о = о (точка 1, рис. 1). Следовательно:
при у = -2 АФ = АА''б •h • x. Знак функции АФ по высоте не меняется, сле-
2 • ко • ехр(о)
ач -ан =-—--cos АФо = 2ko, что соответ-
cos АФо
2
-x
4
ствует граничным условиям. Для асимметричного процесса:
при у = -2, х = 2; (точка 1, рис. 1) тху =у'-к0; при у = -к, х = -2-; (точка 3, рис. 1) тху = к0;
ах -ау = 2к0 и ах -ау = 2к0; АФ = АФ'0 и АФ = АФ'0 ,
где к0 - значение сопротивления пластической деформации в ненаклепанном состоянии на верхней и нижней границах (точки 1, 3, рис. 1). Отсюда:
С' =
к0
ехр00 ■ сов АФ0
С =
а
к0
ехр00 ■ сов АФ0
tgАФ'0 = у' и = V; АФ0 = атег^ и АФд = аг^у". С учетом последних выражений:
АА'б = АА6 =
6 I ■ к 6 I ■ к
если АФ0 = АФ" и АА'6 = АА6 .
С учетом (9) и подстановок 00 имеем:
0-00 = -■ААб ■
4
-АА6
+ аа'6
(1 ^
к 2 —у2
4
- — ■ АА'6 2 6
( к2 к ----у
4 2
V /
< 12
( к2 2 к4 - у2
V /
^ (к2 к ^ -1 ^ у
(14)
Были подсчитаны компоненты тензора напряжений при симметричной и асимметричной осадке при
I I
разных значениях фактора формы (к =
3;5;8;10) и коэффициентах трения / (/ = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5). Знак меняется только вдоль оси Х, что соответствует модели, рис. 2, б. Распределению касательных напряжений (6), (7) и (8), (9) соответствует разное распределение нормальных напряжений. На рис. 3, 4 показано распределение нормальных напряжений на контакте при симметричном и асимметричном нагружениях. В последнем случае взят разный закон контактного трения.
При одинаковых значениях коэффициента трения
I
/ и фактора формы и разных нагружениях видно, что при асимметричном процессе контактные
Рис. 3. Значения а у по длине очага деформации (при у = к/2) для осадки при симметрии деформации сдвига
Если в (13) принять АА6 = АА" , то
0 - 00 = -АА6
к ( к \ ( к 212- у н7 - у
Видно, что функция 0-00 не зависит от координат Х и принимает разное значение на противоположных контактных границах.
к
к
При у =—, 0-00 = 0, при у = -—,
0-00 =-АА6 ■ к2 =- ■ к2 = 4 -АФ0 ■к .
06 I ■ к I
Если АФ0 ф АФ", то в значении 0 - 00 появится зависимость от координаты Х.
Для анализа принимаем: у'= / (1 -/); У = 0,9 ■ / ■( - /).
Апнна ач
■ МП
—г-
V
гл
1
-I ПА---1 ■
Рис. 4. Значения а у по длине очага деформации (при у = к/2) для осадки при асимметрии деформации сдвига
2
2
- х
- х
4
+
+
! t
Рис. 5. Значения для симметричной и асимметричной осадке
(при г = 0,3)
При симметричной осадке при — =3; 5; 8; 10,
отношение -— = 3,2; 4,1; 6,0; 7,6. При асимметрич-
к0
ной осадке при тех же параметрах отношение
= 2,38; 2,44; 2,55; 2,62. Отношение
к0
—j- = 1,34; 1,68; 2,35;2,9. Аналогичная качественная
ст,,
зависимость определяется и при разных значениях коэффициента трения.
Принципиальным моментом является то, что предложенная математическая модель реагирует на особенности асимметричного формоизменения, что подтверждается экспериментальными исследованиями [2]. Показано: влияние способа нагружения на напряженное состояние металла, его качественные характеристики. Существенное влияние на величину контактных напряжений при асимметричном на-
l
гружении оказывает фактор формы ^ и коэффициент трения f . Их увеличение приводит к повышению напряжений на контакте.
Общее снижение контактных напряжений при асимметричном нагружении и возможность качественной и количественной оценки этого явления позволяет более эффективно проектировать новые технологические процессы производства.
Перечень ссылок
1. Gygyryns'ky V.V., Mamuzic I., Vodopivec F., Gordienko I.V. The Infuence of the Temperature Factor on Deformability of the Plastik Medium // Metalurija, Zagreb. - 2006. - V. 45, Br. 2. -P. 115-118.
2. Леванов А. Н., Колмогоров В. Л. Контактное трение в процессах обработки металлов давлением. - М.: Металлургия, 1976. - 416 с.
Поступила в редакцию 30.05.2008
ст
ст
Розроблена математична модель симетрично'1 та асиметрично'1 осадки з зсувом. Показано, що використання зсувних деформацш змтюе напружений стан металу, включаючи контактнi напруги.
Mathematical model of symmetric and asymmetric affect upon the metal with the shift has been developed. It is avident that the application of the shift deformations changes the stressed state of the metal including contact tension.
