CC BY
15
УДК 539.374.001.8.
Д-р техн. наук В. В. Чигиринский, А. Ю. Матюхин
Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ
ОСАДКЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ВНЕШНЕЙ РАДИАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Получено обобщенное уравнение равновесия для осесимметричной задачи в цилиндрических координатах, решение которого в аналитическом виде позволяет определить функцию касательных напряжений от координат очага деформации. Определены составляющие тензора напряжений для плоской осесимметричной задачи. Исследование напряженного состояния толстостенной трубы при торцевой осадке с учетом радиального внешнего и внутреннего подпора. Показано влияние радиального подпора на распределение нормальных и касательных напряжений.
Ключевые слова: напряжение, деформация, пластичность, прочность, радиальная нагрузка.
Введение
Осадка полых тел вращения в осевом направлении используется для получения изделий разного назначения: бандажей, колец. Осадка в контейнерах используется для получения точных размеров заготовки по внешнему и внутреннему диаметру. В порошковой металлургии, в условиях неоднородного всестороннего сжатия, получают цилиндрические изделия в условиях внешнего и внутреннего подпора. Решение этой задачи имеет теоретическое и практическое значения.
Предлагаемая математическая модель напряженного состояния толстостенной трубы при осадке, учитывает контактное трение, фактор формы, с учетом внешнего и внутреннего подпора.
Постановка задачи
Замкнутая постановка задачи в условиях плоской деформации для тел вращения имеет вид: уравнение равновесия:
9а p 9т
p
+ -
Р^+ аР аФ
_ 0 ; ^ + ^£L_ 0 ,(1) 9р 9z р
9р дz р условие пластичности:
(ар-аz)2 + = 4к2 ,
(2)
уравнение неразрывности скоростей деформаций:
92Хр , 92Xz _ 92gpz
9р2 9z9p
9z
2
(5)
Граничные условия задаются в напряжениях, с учетом тригонометрического распределения напряжений на контакте, т. е.
тn _ -k • sin(AF - 2a),
(6)
где а, т — нормальное и касательное напряжение; т п — контактное касательное напряжение; а — угол наклона площадки; к — сопротивление пластическому сдвигу; Ф — функция координат р, z; А — постоянная величина.
Выражения (3)...(5) не используются при решении задачи, но имеют место для обоснования схемы плоского течения.
Решение задачи
В работе [1] представлено обобщенное уравнение равновесия, где определяющей функцией
является касательное напряжение Tрz
условие несжимаемости:
Хр+Хz _0,
(4)
уравнение связи: 9 2 tpz 9 2 tpz
ар -аz _ ХР -Хz (3) 9р2 9z 2
2трz Урz Ь-U k 2-
9z Ч pV
9р
и ^
''pz
_ +2-
9z9p
pz
(7)
Аналитическое решение последнего уравнения позволяет найти функциональную зависимость
© В. В. Чигиринский, А. Ю. Матюхин, 2012
9
ч Р 0
2
9
касательного напряжения от координат очага деформации. Для удовлетворения граничных условий (6) имеем:
tpz = к • sin АФ.
(8)
Такая подстановка позволяет линеаризовать уравнение. Используем фундаментальную зависимость в виде:
к = Hs exp 0 ,
(9)
где На — функция координат р, 2; 9 — показатель экспоненты, как функция, координат. Из (9) следует , что сопротивление пластической деформации является величиной переменной.
Касательное напряжение, которое удовлетворяет дифференциальное уравнение (7) имеет вид:
tpz =1 — + Cip I-exp 0 sin АФ
P
(10)
при выполнении условия 0p = -АФz ; 0z = АФР .
p
Подставляя (10) в уравнение равновесия (1) и интегрируя, получим:
1. При p = r , z = ^ , 0=0О , АФ = АФ0 , sp - sz = 2к0 + s0 = 2к0^0 ; Xo = 1 + ^ .
2к0
2. При p= R , z = - , 0 = 01 , АФ = АФ1 ,
si
sz-sp = 2к1 +si = 2к1^1 ; Xi = 1 + .
2к1
При подстановке предельных условий имеем систему уравнений:
2к0Х0 = 2| C1 • r + ^ | • exp0О • cos АФ0;
2к1Х1 = 2^C1 • R + RJ • exp 01 • cos АФ1,
где X1; X2 — значения которые определяют величину подпора на внешнем и внутреннем диаметре. Решая систему относительно Cb C2, имеем:
Ci =
1
R2 - r2
R
к •Xi
ко •Х о
exp(01 )• cos АФ1 exp(0o )• cos АФ,
C
sp =| — + C1p |exp0^cosАФ-
- 2C1 • I1 + so + f (z)+C, (11)
s z = -| — + QpJj exp 0^ cos АФ-
- 2Ci • 12 +so + f (p) + C. (12) Интегралы
Можно показать, что I1 = I2 . Равенство интегралов определяется особенностями гармонических функций. В выражениях (11), (12) имеет место
постоянные C1, C2 , которые можно определить из граничных условий.
Анализ полученных результатов
Запишем граничные условия (рис. 1).
Рис. 1. Схема осадки толстостенной трубы
C2 =-
R • r
R2 - r2
R
ко •Xo
к1 •Xi
exp(0o )• cos АФо exp(0i )• cos АФ1
Подставляя исходные выражения в (11), (12), получим:
R • к1 •Xi •IP-
(r2 - r2)• cos АФ1
• ex
p(0-0i)-
R2
r • ко ^0 •I p-
Л p
(R2 - r 2 )• cos АФ,
R • к1 •Xi •IP-
xp(0-0o)
• cos АФ+ко, (13)
(r 2 - r 2 )• cos AФ1
ex
p(0-0i )-
r• ко •Xo •I p-
R2
(r 2 - r 2)• cos АФ,
xp(0-0o )
cos АФ + к
o, (14)
( 2 J r
p- — p
R • ^ • Xi • (r2 - r2 )• cos AФ1
r • ко -Xо • (r2 - r 2 )• cos АФ o
R
• exp(0-0i )-
2 J
p
• ex
p(0-0i)
• sin АФ. (15)
о
2
r
P
ctp =
2
r
p
s z =-3
p
^pz
P
Из уравнения Лапласа, с учетом граничных и очевидных условий в зоне деформирования, определим функции 9 и АФ , которые связаны соотношениями Коши-Римана:
АФ _ АА^ + АА6 • р • z _ -АА6 • z • (р - гп);
Р2 г2
9_ААб-ААб • Гп • р• -ААб — ,
где Гп — радиус, который определяет положение
нейтрального сечения.
С целью анализа выражений (13), (14) и (15) были проведены расчеты напряжения на контакте. Построены графики распределения напряжений на контакте, рис. 2—5. Из которых видно, что подпор существенным образом влияет на напряженное состояние толстостенной трубы при осадке. С увеличением коэффициента подпора
, X возрастает величина напряжения и характер распределения по длине ячейки деформации.
Используя выражение (13), можно определить усилие, которое оказывает металл при действии на боковую поверхность контейнера со стороны внешней и внутренней части трубы.
Рис. 2. Распределение относительного нормального напряжения при факторе формы S/h =5; коэффициенте трения f = 0,5; Х1 =11,25; Х0 =1
Рис. 4. Распределение относительного нормального напряжения при факторе формы S/h = 5; коэффициенте трения f = 0,5; Х1 =1; Х0 =11,25
Рис. 5. Распределение относительного касательного напряжения при факторе формы S/h = 5; коэффициенте трения f =0 ,5; Х1 =1; Х0 =11,25
(S — толщина осаживаемой трубы).
Запишем граничные условия: наружная поверхность (рис. 1)
при p = R; sp = а1; f(z ) = 0; Х1 _ 1. При этом выражение (11):
k,
-exp
cos AF1 с cos AAg • z(R - rn )
j
(h2 2' --z 2
(16)
0.4
0,3
0.2
А
ш =i 0.1
О. <11 0
ш X
» -0.1
К
С -0.7
X
0,3
О
-0.4
-0.5
•ч
(1 S 1(1 15 70 251 3 1 5 4 5
Длина очага деформации p , мм
-tl=l -U=l,l
il = l,15 41 = 1,25
Рис. 3. Распределение относительного касательного напряжения при факторе формы S/h =5; коэффициенте трения f = 0,5; Х1 =11,25; Х0 =1
где AAg _ 2-
АФ0
; AF 0 _ arctg • f (1 - f);
' h(rn - r)
внутренняя поверхность:
h
при p _ r ; z _ -; sp _ s0 ; AF _ AF 0 ; 9 _ 80 ; f (z)_ 0 ; Х0 _ 1, тогда:
k0
cos AF0
exp
AA<52
(u 2
cos AAg • z(r - rn ).(17)
Для расчета по формулам (16) и (17) необходимо знать постоянную ^6 и значение нейт-
х
4
2
а
z
0
4
рального радиуса гн. Воспользуемся граничными условиями на наружной и внутренней боковых поверхностях для касательных напряжений.
Запишем граничные условия:
наружная поверхность:
к
при р = К ; 2 = —; ЛФ = ЛФ1; 9=9!; V = кх - у.
Подставим граничные условия в выражение (15):
К - \ -ХхК 2 - Г2)
к1 -У1 = I 2 •
К(К2 - г2)со8ЛФ! После сокращений и упрощений имеем:
У1 = Х^ЛФ! или ^ = tgЛФl ; ЛФ1 = агоЩ^ ,
где у! = / (1 - /);
внутренняя поверхность: к
при р = г ; г = у; ЛФ = ЛФ о ; 9=9о ; V = ко -Уо. Подставим граничные условия в выражение
(15):
8Ш ЛФ
. г - ко-Хо (г2 - К2) ■
ко -Уо = —/ 2о -
г\К2 - г2 ^С08 ЛФ
8Ш ЛФ
о.
о
После сокращений и упрощений имеем:
Уо = ШЛФо или = tgЛФо ; ЛФо = агЩ.
Хо Хо
Подставляя граничные условия на внешних и внутренних поверхностях с использованием выражения АФ, получим:
ЛФ1 =-ЛЛб - |(К - ^); - ЛФо =-ЛЛб - -к(г - ^).
ЛФ1 = К - гп
Разделим одно на другое: ЛФ г - .
оп
Определяем величину нейтрального радиуса гп:
ЛФ о - К + ЛФ1 - г ЛФ1 + ЛФ о
(18)
Принимая: ЛФо » ; ЛФ1 » ^, Хо Х1
и подставляя в (18), окончательно получим:
г = У о -Х1- К + У1 -Хо - г п У1 -Хо +Уо-Х1
При у о = У1, (19) имеет вид:
_ =Х1- К + Хо - г п = Хо +Х1 .
(19)
При Хо = Х1: гп =:
К + г
2
(21)
В работах [1, 2] гп принимался в соответствии с (21).
Из соотношений (19)(21) видно, что нейтральный радиус гп определяется не только значениями наружного и внутреннего радиусов, но и величиной подпора Х1 и Хо и условиями контактного трения на наружной и внутренней поверхностях у1 и уо. На рис. 6, 7 показано распределение радиальных напряжений по высоте заготовки в зависимости от коэффициента трения /
и фактора формы ^к ■
Рис. 6. Распределение контактных радиальных напряжений на наружной боковой поверхности при осадке толстостенной трубы, коэффициент трения / = 0,3, фактор формы 1...10
Рис. 7. Распределение контактных радиальных напряжений на наружной боковой поверхности при осадке толстостенной трубы, коэффициент трения / = 0,1...0,5, фактор формы 7
Напряжение подпора ст1 на внешней поверхности показывает, что они зависят от коэффициента трения (увеличивается с увеличением /)
и параметра £/ . Интерес представляет последний к
случай, т. к. с увеличением фактора формы величина ст1 уменьшается.
г., =
п
3. Чигиринский В. В. Решение осесимметрич-ной плоской задачи теории пластичности в напряжениях / В. В. Чигиринский, С. А. Си-ленко, А. Ю. Матюхин // Новые материалы и технологии в металлургии и машиностроении. - 2010. - № 1. - C. 121-125.
4. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / Сторожев М. В., Попов Э. А. - М. : Машиностроение, 1977. - 422 с.
5. Соколовский В. В. Теория пластичности / Соколовский В. В. - М. : Высшая школа, 1962. -608 с.
6. Громов Н. П. Теория обработки металлов давлением / Громов Н. П. -М. : Металлургия, 1978.- 359 с.
7. Смирнов В. С. Теория прокатки / Смирнов В.С. - М. : Металлургия, 1967. - 460 с.
8. Тарновский И. Я. Течение металла при осадке толстостенных цилиндров / Тарновский И. Я., Поздеев А. А. // Сб.трудов Уральского политехи. ин-та. - 1958. - № 64. - С. 104112.
9. Тарновский И. Я. Теория обработки металлов давлением / Тарновский И. Я., Поз-деев А. А., Ганаго О. А. -М. : Металлургиздат, 1963. - 1963. - 673 с.
Поступила в редакцию 31.08.2011
Чигиринський В.В., Матюхш А.Ю. Дослщження напруженого стану при ocaai тш обертання в умовах зовшшнього раaiальнoгo навантаження
Отримано узагальнене р1вняння р1вноваги для осесиметричног задач1 в цилтдричних координатах, ршення якого в аналтичному вигляд1 дозволяе визначити функцию дотичних напружень в1д координат вогнища деформацп. Визначено складовi тензора напруг для плоског осесиметричног задачь Долдження напруженого стану товстостшног труби при торцевому осаджуванш з урахуванням радiального зовшшнього та внутршнього тдпору. Показано вплив радiального тдпору на розподы нормальних та дотичних напружень.
Ключов1 слова: напруга, деформацш, пластичшсть, мщшсть, радiальне навантаження.
Chygyryns'kiy V., Matyuhin A. Research of the stress state of upsetting of rotation in the conditions of external radial loading
The generalized equalization of equilibrium is got for an axis of symmetry task in cylindrical co-ordinates, the decision of which in an analytical kind allows to define the function of tangent tensions from the co-ordinates of hearth of deformation. The constituents of tensor of tensions are certain for a flat axis of symmetry task.. Research of the tense state of the thick-walled pipe at the butt end sinking taking into account radial external and internal head. Influence of radial head is shown on distributing of normal and tangent tensions.
Key words: stress, deformation, plasticity, strength, radial loading.
Выводы
1. Поставлена и решена осесимметричная плоская задача теории пластичности в напряжениях.
2. Рассмотрена осевая осадка толстостенной трубы в условиях внешнего и внутреннего радиального подпора.
3. Получены аналитические зависимости для определения наружного радиального подпора. Построены графики.
Список литературы
1. Плоская задача теории пластичности в цилиндрических координатах / [В. В. Чигиринский, О. М. Силенко, С. А. Силенко, А. Ю. Ма-тюхин] // Прогрессивные технологии пластической деформации. — М. : МИСиС, 2009. — С. 345—351.
2. Чигиринський В. В. Розробка математично! модел рад1ального тиску пластичного сере-довища при осадщ полих тш обертання / В. В. Чигиринський, А. Ю. Матюхш, В. В. Па-далка // Вюник нацюнального техтчного ут-верситету Украши «Кшвський полтехшчний шститут». — 2011. — С. 46—50.
