Разработка математической модели простого процесса прокатки с использованием метода гармонических функций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374.001.8.621.7-111

Д-р техн. наук В. В. Чигиринский, д-р техн. наук А. Я. Качан, А. В. Иванов, Е. Н. Мисник

Запорожский национальный технический университет

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОСТОГО ПРОЦЕССА ПРОКАТКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

На базе замкнутого решения плоской задачи теории пластичности получены аналитические зависимости, позволяющие определить модель простого процесса прокатки в условиях неоднородного пластического течения среды. В зависимости от постановки задачи, граничных условий, показана возможность получить асимметричное распределение контактных напряжений по длине очага деформации.

Ключевые слова: замкнутое решение, контактные напряжения, асимметрия нагруже-ния, прокатка.

Введение

В работах [1—3] показано замкнутое решение плоской задачи теории пластичности. При решении ряда теоретических и практических задач возникает необходимость исследовать различные процессы пластического течения, в данном случае простой процесс прокатки. Его отличие, например, от осадки, заключается в асимметричном распределении контактных давлений по длине очага деформации, вследствие наклона текущей контактной поверхности. Рассмотрим постановку и аналитическое решение задачи.

Постановка задачи

9а х 9t

ху

9х 9у

= 0

9t

ух

9а,

9х 9у

на параметры процесса. Граничные условия будут тождественно удовлетворены, если в (2) принять

t xy = k • sin АФ .

(3)

Решение задачи

Первые три уравнения системы (1) можно привести к обобщенному уравнению равновесия

92txy 92t

9 2

9x2 dy2

9x9y

xy ^ "xy 9 Г,2 2

—--— yk -t xy .

(4)

Сопротивление пластической деформации рассматривается как переменная величина и является функцией координат очага деформации

(а х-а у )2 + 4• t^ = 4 • к2.

а х-а у = Хх-Х у

2•t

= F

ху

ху

, Xx + Xy = 0,

92gxy 9y2 9x2 9y9x ■

(1)

Граничные условия заданы в напряжениях т„ = - к • 8т[ЛФ - 2 -а],

аx -аy

или tn = (----sin2-a-ty ■ cos2-a), (2)

2

k = H а • exp 0

(5)

Подставляя (3) и (5) в обобщенное уравнение равновесия (4), имеем

На • 0« + (0x + АФy )2 - 0УУ - (0y - АФx)2 ]+ (Hа )xx + 2 х - (На )х • (0х + АФy ) - (Hа )yy - 2 • (Hа )y • (0y - АФx )}• sin АФ + + {2 • Hа • (АФx -0y ) • (0x + АФy ) - 2 • (Hа)y • (АФy + 0x) + 2 х

(H а) x • (АФ x - 0 y) + H а • (АФ xx - АФ yy) j • cos АФ = -2 • Hs АФxy • sin АФ+ [2 • (Hа)xy + 2 • Hа • 0xy ]• cos АФ.

(6)

Решением обобщенного уравнения равновесия (6) является функциональная зависимость вида

Введение угла а в граничные условия позволяет учитывать влияние геометрии инструмента

txy = Hs • exp 0 • sin АФ ,

(7)

0

x

x

© В. В. Чигиринский, А. Я. Качан, А. В. Иванов, Е. Н. Мисник, 2011

при выполнении соотношений 9х = -ЛФy ,

qу=ЛФх.

Подставляя значения касательных напряжений (7) в уравнения равновесия системы (1), после дифференцирования по координатам и интегрирования, получим нормальные составляющие тензора напряжений

sх = Hs • exp 9 • cos ЛФ + ст0 + f (y) + C , sy = —Hs • exp9' • cos ЛФ + ст0 + f (x) + C. (8)

Анализ решения показывает, что значение H s может быть получено в виде

ростей деформаций определяются одинаковыми гармоническими функциями координат 0 и ф . Действительно,

0'=-Л-0 , 0"=-Б-0 , при А = В , 0'=0''.

Результат получен благодаря решению замкнутой задачи и является здесь определяющим. Поля напряжений и скоростей деформаций зависят от одинаковых функций, являющихся параметрическими. Это позволяет установить между ними аналитическую связь в виде математической модели деформируемой среды

С учетом m = A , T¡ = a • (Н ¡ )m ,

(12)

Hs = C0 • X + C0.

При этом обе части уравнения связи, с учетом (8), принимают вид, / (х) = / (у) = 0,

~ ~ Х х — Х у

2

■ = ±ctgAF ,

- = ±ctgBF

xy

g

xy

С учетом условия несжимаемости (вторая половина системы (1))

имеем уху = ±2 • \%БФ • Xх или уху + 2 • 1§БФ • X у.

X I xy

Уравнение совместности скоростей деформаций

д 2x x д 2xx „а2 ,

x x =±2 •—xx • tgBF . (9)

.2 я.2

g Xy = 2 • H x • exp 0 • sin ВФ

(10)

Подставляя зависимости (10) в дифференциальное уравнение (9), получим

Нх ■ [- q'xx - (С + ВФ , )2 + е ^ + (9, - ВФ x )2 ]- (H x) xx - 2 х

X (Н% )х ■ (еХ + ВФ,) + (Hx)^ + 2 ■ (Hx), ■ (9; - ВФx)}■ sin ВФ + ■{2

+ {2 • Hx • (ВФ X _ 0 y) • (0x + ВФ y) _ 2 • (Hx) y • (ВФ y + 0x) + 2 x x (Hx )x • (ВФx _ 0y) + Hx • (ВФxx _ ВФyy )}• cos ВФ = 2 • Hx x x ВФxy • sin ВФ+ [2 • (Hx)xy + 2 • Hx • 0 xy ]• cos ВФ.

(11)

где Т, — интенсивность касательных напряжений, НI — интенсивность скорости деформации сдвига.

Используя значение Н а можно показать, что со стороны входа и выхода из очага деформации задействованы разные константы, следовательно, разные напряжения входа и выхода. Действительно,

. С0 •(/оп — х) + С1 -(¿от + х)

H s=-

/

dy дх2 дудх

Решаем относительно неизвестной функции X х. Для компонентов тензора скоростей деформаций можно записать

X х = —X y = b • cos ВФ = Hx •exp 9" •cos ВФ ,

где 1оп, 1от, I — длины зон опережения, отставания и всего очага деформации;

Со, С1 — постоянные, определяющие напряжения на входе и выходе из очага деформации. При этом

с" = С0 • 1оп + С1 • 1от С = С1 — С0

/

/

В первом приближении угол a = const. Функцию ЛФ определяем, решая уравнение Лапласа, в виде

АФ = АА6 •(x + lom)• y + + AA6 ^(x_lon^y_2ah^'

(13)

При 0 х = —Бф у , 0 у = Бфх дифференциальное уравнение (11) превращается в тождество.

Анализ (11), (6) показывает, что компоненты тензора напряжений и компоненты тензора ско-

где АА6, АА6 — постоянные, определяемые граничными условиями трения на контакте со стороны выхода и входа в очаг деформации.

Определяя угол а , из геометрических соотношений, получим а' = 2а , где а' — угол захвата при прокатке.

Используя возможности полуобратного метода решения задачи, получаем

AA

= 2 • АФ1 _a , AA6 = 2 • АФ0 + 3a

lh

hh.

где ЛФ1 =ЛФ0 = a tan f -(l - f), f - коэффициент трения.

Так как, 0Х = -ЛФу, 0y = ЛФх, тогда

в =-2 -(ллб+лл; ).(х2 - у2)-

- (лл6 • 1от - лл6 • 1оп)' x + «' •

2 x

h( x)'

(14)

2 лф1 + a' '

переходя к углам

g =

a лФ; -a 2 лф1 +a'

Cq =

k0

' C =-

k1

exp в0 • cos лФ0 ' 1 expв; • cos лФ; Из граничных условий определяем в0, в;

во =- -2 •(лл;+лл; )•

( и 2 ö

/2 - ho

1от 4

(л

+ >лл6 • 1от - лл;5 • 1оп • 1от - a •

• 1оп)•1

2 • /о

в;=- 2 •(лл;+лл; )•

/ 2 - h;

оп .

2 ö

- 1лл6 • 1от - лл6 • 1оп i' 1оп + a •

Ч • 1оп)•1

2 • /о

Относительное нормальное напряжение pr/2ko

Длину зоны опережения можно определить из условия АФ = 0 , при х = 0 , тогда после упрощений и преобразований имеем

/ = / лФ; -a

1оп = ~

—приМ),1

—npnfNJj -ipH.4 —npiiWJ

Структурно, последнее выражение напоминает формулу Экелунда-Павлова.

С учетом a0 = -2Hа • exp0 • cos AF в выражениях (8), напряжения на контакте принимают вид

sх = -Ha • exp 0 • cos AF + ко ,

sx = -3Hа • exp0' cos AF + ко • (15) При этом Со,С соответственно

Значения АФо = АФо + 2а', АФХ = -(аф| + 2а ').

Расчеты по выражениям (15) проводились для простого случая прокатки при разных значениях коэффициента трения / и фактора формы д / Кр. Рез^ьтаты расчета представлены на рис. 1, 2.

Длина очага деформации х

Относительное касательное

—npMf=0,2 —npwf=0,3 —npHf=0,4 —npwf=0,5

Длина очага деформации х Рис. 1. Распределение контактных напряжений при прокатке = 7, и коэффициент трения / = 0,1-0,56 Относительное нормальное напряжение рг/2ко

~при ld/hcp=l ~при ld/hcp=3 -при ld/hcp=5 -при ld/hcp=7

-5 О 5 10

Длина очага деформаций х

Относительное касательное напряжение тп/ко

—при ld/hcp=l —при ld/hcp=3 — при ld/hcp=5 ~при ld/hcp=7

Длина очага деформации х Рис. 2. Распределение контактных напряжений при прокатке = 1,3 5,7, и коэффициент трения / = 0,3

+

h

0

h

Распределение контактных напряжений реагируют на указанные параметры, как по величине, так и характеру распределения. При небольших значениях фактора формы, эпюра, примерно, симметрична относительно середины очага деформации. При больших значениях появляется явная асимметрия, со сдвигом в сторону выхода из очага деформации, что соответствует экспериментальным данным Чекмарева А. П., Клименко П. Л. С увеличением коэффициента трения контактные напряжения увеличиваются, а пик эпюры перемещается в сторону входа. Фактор формы при прокатке, во многих случаях, является определяющим параметром, оказывает влияние на распределение и величину удельного давления.

Выводы

1. На базе замкнутого решения плоской задачи теории пластичности разработан метод с использованием гармонических функций для определения полей напряжений, скоростей деформаций.

2. В аналитических выражениях для определения указанных полей содержатся одинаковые координатные функции, которые позволяют связать интегральные характеристики напряженно-

го и деформированного состояний деформируемого материала.

3. Рассмотрена продольная асимметричная задача теории пластичности, прокатка. Показано решение, учитывающее асимметрию процесса, через граничные условия. Распределение контактных напряжений соответствует качественной и количественной оценке в сопоставлении с экспериментальными данными.

Перечень ссылок

1. Чигиринский В. В. Метод решения задач теории пластичности с использованием гармонических функций / Чигиринский В. В. // Изв. вузов. Черная металлургия. — 2009. — № 5. - С. 11-16.

2. Чигиринский В. В. Новое решение плоской задачи теории пластичности / Чигиринский В. В. // Науч. тр. ДонНТУ, серия : Металлургия. - Донецк, 2008. - Вып. 10 (141). -С. 105-115.

3. Чигиринский В. В. Новый метод решения задач теории пластичности / Чигиринский В. В. // Новые материалы и технологии в металлургии и машиностроении. - 2008. - № 1. -С. 57-62.

Поступила в редакцию 20.09.2010

Чигиринський В.В., Качан О.Я., 1ванов А.В., Мкник О.М. Розробка математично! мод&ш простого процесу прокатки з використанням методу гармошчних функцш

На 6a3i замкнутого ршення плоско1 задач1 meopii пластичност1 показано аналтичш залежност^, RKi дозволяютъ визначити модель процесу прокатки в умовах нeoднopiднoi пластичног течи середовища. В зaлeжнoсmi eid постановки зaдaчi, граничних умов, показана можливстъ визначення асиметричного розподыу контактних напруженъ в осередку деформування.

Ключов1 слова: замкнуте ршення, контакты напруження. ааметричне навантажен-ня, прокатка.

Chigirinskiy V., Kachan A., Ivanov A., Misnik E. Development of mathematical model of simple process of rolling with the use of method of harmonic functions

On the base of the reserved decision of flat task of theory of plasticity analytical dependences, allowing to define the model of simple process of rolling in the conditions of heterogeneous plastic flow of environment, are got. Depending on raising of task, scope condition, possibility to get the asymmetric distributing of contact tensions on length of hearth of deformation is rotined

Key words: reserved decision, contact tensions, asymmetry of ladening, rolling