CC BY
11
УДК 539.374.001.8.621.7 - 111
В. В. Чигиринский, А. Я. Качан, Ю. С. Кресанов, С. А. Андрющенко, В. В. Корниенко
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ РЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Разработана математическая модель процесса пластического формоизменения с использованием замкнутого решения теории пластичности. Показано влияние химического состава, деформационных, скоростных параметров процесса и температуры на напряженное состояние в процессе деформирования металла.
При изучении напряженного состояния пластической среды часто ограничиваются определением безразмерных значений напряженного состояния, например отношением нормального напряжения к пределу текучести [1-3]. При этом распределение реального предела текучести по очагу не исследуется, что во многом ограничивает возможности расчета. В настоящее время используются методы определения среднего предела текучести в зоне деформирования [4]. На основании экспериментальных данных, получены зависимости предела текучести от химического состава, степени, скорости деформации, температуры.
В работах [5-7] определена аналитически математическая модель пластической среды с использованием замкнутого решения плоской задачи теории пластичности. Показано, что поля напряжений, деформаций, скоростей деформаций и температур описываются одними координатными функциями. Появляется возможность решить задачу с учетом указанных выше факторов в каждой точке очага формоизменения.
Постановка задачи
d 2е x
d2ey d 2y;
xy
dy dx dydx dy dx2 dydx
уравнение теплопроводности
dT 2
-= a
dt
(+д2т_ ^ dx2 Эу2
Граничные условия для напряжений [6]
тп = -k • sin[[ - 2 •
al
(5)
(6)
(7)
или
О x V
Тп = (-^ • sin 2 • a - т xy • cos 2 •a).
Решение задачи
Используя уравнения (1), (2) после дифференцирования и преобразований получим обобщенное уравнение равновесия в виде [3]
d 2т xy d 2txv
dx 2
dy2
= 2 •-
d2
dxdy
4
k2 -t2v .
(8)
Система уравнений теории пластичности [5] уравнения равновесия
do x дт
xy
dx dy
= 0;
дт yx do y
dx dy
= 0;
условие пластичности
(o x-o y )2 + 4 •т xy2 = 4 • k2;
(1)
(2)
y xy
уравнения связи для скоростей деформаций и деформаций
o x-o y
2 •т
xy
\ x4 y
Y xy
= Fi;
o x-o y
£ - £
xy
2 •т
xy
Y
xy
уравнения несжимаемости для скоростей деформаций и деформаций
\ x y = 0;£ x+£ y = 0;
(4)
уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций
Условие (7) определяет зависимость
т ху = k • sinAO.
(9)
Для сложной пластической среды задача решается с учетом подстановки
к = Са • (Щ)т • (Г)т • (Т)™3 • ехр 04. (10)
Выражение (10) может быть составной частью решения (8), если его привести к виду, используя фундаментальную подстановку
= F2; (3) k = Co • exp б; • exp02 • exp©3 • exp ©4 = Co • exp0, (11)
где 0 = 0j + 02 + 03 + 04, 0j = -Aj0, 02 = -A20, ©3 = -A30, 04 =-A40
или 0' = ( +A2 +A3 +A4)• 0 = A • 0.
Сумма экспонент определяется тем, что производная сложной функции представляется в виде
© В. В. Чигиринский, А. Я. Качан, Ю. С. Кресанов, С. А. Андрющенко, В. В. Корниенко, 2009
- 76 -
суммы производных зависимых величин. После подстановки в обобщенное уравнение равновесие [8], получим
2АФ^ fx
je „ + (е ( + аф yj2 - е уу - (е( - аф х j2 ■
x б1п(аф)+
+ + АФy )афх - еy j+ АФхх - АФyy - }x
x еов(АФ) = 0,
(12)
где ех, еy, exy — производные от суммарного показателя экспоненты по координатам х, у и смешанная производная ху;
е|, е2, е3, е4 — составляющие показателя экспоненты е', учитывающие влияние скорости, степени деформации, температуры, контактного трения и фактора формы.
Для тождественного удовлетворения уравнения (12) должно выполняться условие
еx = -афy, еу = афх.
Используя (3)...(5), в работах [9, 10] приведено решение деформационной задачи. Показано, что в составляющих тензоров напряжений, скоростей деформаций, деформаций и температур присутствуют одинаковые координатные функции е и Ф .В этом случае имеем
Ex = -Е,у = С^ • exp е1 • cos 51Ф = C^ • exp(-51е) • cos 51Ф, Yxy = Ce • exp е1 • sin 51Ф = Ce • exp(-B^) • sin В1Ф, (13)
H, = 2 • Ce • exp е'1 = 2 • Ce • ехр(-В1е), £x =-ey = CE • exp е2 • cosВ2Ф = CE • exp(-B2e) • cos В2Ф, Yxy = Ce • exp е'2 • sin В2Ф = Ce • exp(-B2e) • sin В2Ф, A¡ = 2 • Ce • exp е2 = 2 • Ce • exp(-B2e), (14)
где Е x, Е y, Y xy и g x, e y, 7 xy - линейные и сдвиговые составляющие тензоров скоростей деформаций и деформаций;
В1, В2 — постоянные, характеризующие скоростной и деформационный параметры в полях скоростей деформаций и деформаций;
е1, е2 — показатели экспоненты, зависящие от координат очага деформации, характеризующие распределение скорости деформации и деформации в зоне течения;
Ce , Cg — постоянные, определяемые граничными и очевидными условиями очага деформации для скоростных и деформационных параметров;
Hj, Aj — интенсивности скорости и степени деформации сдвига.
Из решений задачи следует [10, 11], что показатели экспонент
е1 = -В1е, е2 = -В2е.
Используя уравнение теплопроводности, для стационарной температурной задачи (6) имеет решение в виде [7]
T = exp(e3) • (CT sin В3Ф + c'T cos В3Ф), (15) где е3 — показатель экспоненты, зависящий от координат очага деформации, характеризующий распределение температуры по зоне течения; В3 — постоянная, характеризующая температурный фактор в очаге деформации.
Для температурной задачи
ез = - Взе.
Это позволяет деформационные параметры и температуру математически выразить через единую функцию. Таким образом,
exp(-e) =
Hi ) В = (_ A
2 • C
2 • Ce
(CT sinВ3Ф + CT cosВ3Ф)
Подставляя ехр(-0) в выражение (11) для сопротивления деформации к, получим после упрощений
А а2 а3 к = Са- (Н) В1(Г) В2(Т ) Вз • ехр 04, где Со — постоянная величина, куда вошли значения Се , Се. При этом
т
Т =-
(CT sin В3Ф + CT cos В3Ф)
Принимая
A2
A3
m1 =1Г, m2 =~г-, m3 ,имеем
В1 В2 В3
к = Са- (Н Г( А Г2 (Т Г3 • ехр 04.
Выражение получено аналитически и фактически совпадает с (10). Значения Н,, А,, Т, входящие в (10) принимаются для каждой точки очага деформации и являются переменными величинами. В литературе известны аналогичные модели, но полученные на основании экспериментальных исследований в условиях однородного напряженного и деформированного состояний. Для разных марок стали предел текучести о0 в зависимости от интегральных параметров:
скорости деформации и , степени деформации
В
2
В
3
е, температуры T, имеет вид а0 = 5a0Ua-(10•е) •
T
\c
1000
v j
(16)
где о o — базовое напряжение текучести для конкретной марки стали; S — поправочный коэффициент; U — среднее значение скорости деформации; е — среднее значение относительной деформации; To — среднее значение температуры в очаге деформации.
Анализ показывает, что выражение (10) можно упростить, если принять напряженное и деформированное состояние однородным. Это имеет место при отсутствии контактного трения. В этом случае, при подстановке в (10) значений из
(13)...(15) и CT = 0 с учетом АФ = б' = 0, получим
k = Со • (2 • Со! • Cç) • (2 • Со2 • Cj"2 • (( • CT) .(17) Из граничных условий можно получить
Са=-
ko
k = 5
S
2 • С,
a1
• С; = U,
2 • С,
g2
• Се = 10е,
Са3 - Ст = "
1000
mi = a , m2 = b , тз = c .
Следует подчеркнуть, что и, е, Т0 средние величины по очагу деформации. Определение постоянных величин С^, Се, с'Т можно уточнить. Действительно, среднее значение интенсивности скорости деформации сдвига в зоне течения.
Выражение (16) в данном случае используется, как своеобразное граничное условие для определения постоянных значений в (10). Величина к, с учетом всех изменений, принимает вид
k =
5 Go
л/3 • exp 0o • cos АФo
-•( •
a^J
x(l0 еае
1000
•ат • exp04,
(18)
где
ат =
at =
exP(-0O
exP(-02>
exP(-03>
Используя выражение (18) и (9), из уравнений равновесия можно получить формулы для
определения нормальных напряжений ох и оу,
действительно
о= к' • ехр 04 • со8(ЛФ) + о0 + /(у) + С,
о у = -к' • ехр(-А40) • со8(АФ) + о0 + /(х) + С,
тху = k • exp 04 • sin АФ,
где
k ' =
5 Go
(19)
л/3 • exp 0o • cos АФ0
x
•(( •at)a-(10 • е • ae )b x
1000
•aT
exp 0o • cos АФ0 где ko — сопротивление сдвига на контакте в крайней точке очага деформации; 0o, АФ0 — значения функций 0 и АФ в крайних точках очага деформации. Выражение (17) структурно аналогично (16). Следовательно
при этом 0x = -АФy, 0y = АФx.
Значение k является переменной величиной и при коэффициенте трения f = 0,
= ae = ат =1, exp 0o = 1, cos АФ0 = 1, k практически определяется формулой Андреюка-Тю-ленева (16). Следует отметить, что соотношения Коши-Римана определяют тип функций 0 и АФ, которые являются гармоническими, удовлетворяющие уравнению Лапласа. В этом случае имеем
АФ = АА6 • x • y , 0'=-!• АА6(x2-y2)
2
(20)
Используя выражения (18)...(20) были подсчитаны напряжения при разных значениях коэффициента трения, фактора формы, степени, скорости деформации, температуры для разных марок стали. Из рис. 1, 2 видно, что решение реагирует на коэффициент трения и фактор формы как для нормальных, так и касательных напряжений, плавно переходящих через ноль в области нейтральной оси на контакте.
На рис. 3 показано распределение напряжений при различной степени деформации для стали 3 сп. Анализ показывает, что марка стали и величина обжатия е изменяют характер распределения напряжений в зоне течения металла.
Для той же марки стали получено распределение напряжений на контакте при разных скоростях деформации, рис. 4. Как и для деформаций, распределение напряжений в очаге деформации во многом определяется скоростными параметрами процесса.
При горячей обработке температурный фактор во многом является определяющим, в значительной степени он характеризует распределение напряжений в объеме деформируемого материала, рис. 5. Разные марки стали представлены на рис. 6.
c
с
ае =
2
Рис. 1. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте в зависимости от коэффициента трения
при I / к = 5 / = 0,1 ...0,5
Рис. 2. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте в зависимости от фактора формы
I/к = 1,3,5,8,10 при / = 0,3
Рис. 3. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте в зависимости от степени деформации
при / = 0,3 , I / к = 5 , и = , Т = 1000 °С
10
>
х
к £ т ш
зе
к а. с го I
о т л
ф
го а:
О! £ I ф т го т т
-2
-4
-6
-10
____
\ __
0 -3 г -г 4 -1 6 В 1 6 г 4 3 г 4
Длина очага деформации, мм
■и 0,5
-и 1
и 10
•и 50 —О 100
Рис. 4. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте в зависимости от скорости деформации
и при / = 0,3 , I/ Ь = 5 , £ = 0,1, Т = 1000 °С
О
г
О) £ к о. с та I
О |_
о г
л
=;
та
о.
0
1
I
ф
т та г т
400
350
300
250
200
150
100
50
г <___э 5 *---*
-40 -32 -24 -16 -8 0 8 16
Длина очага деформации, мм
24
32
40
-Т 900
•Т 1000
Т 1100
-Т 1200
Рис.
5. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при / = 0,3 , I / й = 5, и = 10с 1, е = 0,1 ШЯЫ1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2009 - 83 -
Рис. 6. Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте для разных марок стали при / = 0,3, I / к = 5, е = 0,1, и = 10 с-1 ,Т = 1000 °С
Расчеты приведены для осадки на шероховатых плитах. Предложенный метод решения задач справедлив для любого способа обработки металлов давлением. Отличие заключается в граничных условиях.
Выводы
Представленные решения позволяют сделать ряд следующих выводов:
1. На базе решения замкнутой задачи теории пластичности, аналитически получена модель сложной пластической среды, которая подтверждается экспериментальными данными других авторов.
2. Сопоставление аналитической и экспериментальной моделей позволило перейти от усредненного значения предела текучести в зоне течения к его распределению, отсюда распределению компонентов напряжений для реальной пластической среды.
3. Полученные выражения качественно и количественно верно отражают влияние большого количества факторов процесса на напряженное состояние реальной пластической среды.
Перечень ссылок
1. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением / Н. П. Громов. — М. : Металлургия, 1978. — 359 с.
2. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / М. В. Сторожев, Е. А. Попов. — М. : Машиностроение, 1977. — 422 с.
3. Смирнов В. С. Теория прокатки / В. С. Смирнов. — М.: Металлургия, 1967. — 460 с.
4. Соколов Л. Д. Влияние разности температур по сечению полосы на неравномерность деформации / Л. Д.Соколов // Сталь. — 1947. — № 10. — С. 51—53.
5. Чигиринский В. В. Некоторые особенности теории пластичности применительно к процессам ОМД / В. В. Чигиринский // Тр. науч.-техн. конф. «Теория и технология процессов пластической деформации-96». — М.: МИСиС, 1997. - С. 568-572.
6. The Influence of the Temperature Factor on Deformability of the Plastic Medium / [V. V. Chygyryns'kyy, I. Mamuzic, F. Vodopivec, I. V. Gordienro] // Metalurgija. Zagreb. — 2006. — Vol. 45, br. 2. —P. 115-118.
7. Чигиринский В.В. Исследование влияния пространственных параметров деформированного объема на сопротивление пластической деформации сдвига / В. В.Чигиринский // Теория и практика металлургии. —1997. — № 3. — С. 31—32.
8. Чигиринский В.В. Теоретическое прогнозирование модели пластической среды в условиях сложного напряженного состояния / Чигиринский В.В., Бергеман Г.В. // Технологические системы «Научные разработки и результаты исследований». — 2002. — № 2(13). — С. 44—47.
9. Чигиринский В. В. Аналитическое определение напряжений и скоростей деформаций реального очага деформации применительно к процессам обработки металлов давлением / Чигиринский В.В. // Зб. наук. праць «Про-блеми обчислювально! мехашки и мщносп конструкцш». — Д.: Навчальна книга, 1998. — Т. 3. — С. 130—145.
10. Чигиринский В. В. Деформационная модель пластической среды с учетом температурного фактора /Чигиринский В. В., Гордиенко В. И. // Вестник национального технического университета Украины «Киевский политехнический институт» (Машиностроение). — 2002. — № 43. — С. 11—13.
Поступила в редакцию15.06.2009
Розроблено математичну модель процесу пластичноi формозмти з використанням замкнутого ршення теорП пластичностг. Показаний вплив хгмгчного складу, деформацшних, швидкгсних параметргв процесу й температури на напружений стан у процеа деформуван-ня металу.
The mathematical model of process of plastic deformation with use of the closed decision of the theory of plasticity is developed. The shown influence of a chemical compound, deformation, high-speed parametres of process and temperature on an intense camp in the course of metal deformation.
