CC BY
9
МАТЕР1АЛИ ПЛЕНАРНОГО ЗАС1ДАННЯ I М1ЖНАРОДНО1 НАУКОВО-ТЕХН1ЧНО1 КОНФЕРЕНЦП «МАШИНИ ТА ПЛАСТИЧНА ДЕФОРМАЦ1Я МЕТАЛ1В»
УДК 662.77.20
Д-р техн. наук В. В. Чигиринский Национальный технический университет, г. Запорожье
НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Предложен новый метод решения задач теории пластичности. Результат получен для замкнутой системы уравнений плоской задачи. Особенностью является присутствие одинаковых координатных функций в обобщенных параметрах напряженного, деформированного состояний и поля температур. Теоретически определилась модель сложной пластической среды.
Введение
На базе замкнутого решения плоской задачи теории пластичности предложен новый метод, который отличает упрощение анализа напряженно-деформированного состояния среды и получение теоретического выхода на механические ее характеристики через параметры процесса.
На основе предлагаемого метода появляется возможность разработки обобщенной теории пластичности, объединяющей деформационную теорию и теорию пластического течения.
Постановка задачи
Известно замкнутое решение плоской задачи теории пластичности в аналитическом виде для упрочняющейся среды [1-6]. Исходные уравнения [6, 7]: урав-
дах дт
нения равновесия
-+-
ху
дх ду условие пластичности
(рх -сту)2 + 4 •Тху2 = 4 • к2;
= 0;-
дт
yx
дх
да. y
' ду
= 0;
"ху
уравнения связи для скоростей деформаций и деформаций
ду2 дх2 дудх ду2 дх' уравнение теплопроводности
дТ о д 2Г д 2Г ■ = а + -ТТ)-
2
д2Уху . дудх
д1 '" чдх2 ду2 Модель сложной пластической среды
Т =%• (Н,)^ • (ГгГ2 • (Т)тз.
2 ■
(2)
В систему (1) включены уравнения деформационной теории пластичности и теории течения. Кроме этого, добавлено уравнение теплопроводности [8, 9]. Модель (2) - это реальная упрочняющаяся среда. Граничные условия для напряжений [10]
тп =-Т • б1п[Аф-2•а], Т = к
или
а х-а у
■ sin2-а-т• cos2-а
2 ху
(3)
2-т
_ F1;
а х а у _ 8 х 8 у
ху
У ху
2-т
_ F2;
ху
Y
2; (1)
ху
уравнения несжимаемости для скоростей деформаций и деформаций
5ху =0;е х+8 у =0;
х 1 "у
уравнения неразрывности скоростей деформаций и деформаций
Дополнительные условия заданы контактными удельными силами трения (3), изменяющимися по синусоидальному закону с деформационным и скоростным упрочнением. Все интенсивности и температура зависят от координат очага деформации.
Решение задачи
После преобразований системы (1) имеем дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, неоднородных, гиперболического типа
тп _
© В. В. Чигиринский, 2008
>2 т xy д 2т xy = 2 • 5 2 ^ 2
dx 2 dy2 dxdy
3 2 Ü x 32 Ü x ■ = 2 d 2 1
dy2 dx 2 dydx F1
d2s x 3 2s x = 2 d2 1
dy2 dx2 dydx F2
т2
(4)
Граничным условиям вида (3) соответствует подстановке вида т уу = к • sin АФ.
Рассматривается сложная зависимость от координат, т.е. k = f (Г,И, ,Т,х,y). При этом к = Сст • exp6 ,
где б'= f (Г,, И i ,T, х, y), Г,, И t, T - интенсивности деформаций, скоростей деформаций и температур. Подставляя зависимости в первое уравнение (4), после упрощений получаем уравнение, которое превращается в тождественно, если выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю. Имеем
6'Н • Нх +б'г • Гх +6; • Тх = -АФy, 6'Н • Ну +б6г • Г у +6; • Ту = АФ х, (6'Н • Ну +6г • Гх +6; • Ту) х =- АФ ух ,
(6'Н • Ну +6; • Г у +6; •Ту ) у = АФ ху ,
АФ уу = -(6'нн • Нх • Ну + 6'н • Н ху +6'гг • Гх • Г у + + 6г • Гху +6;; • Тх • Ty +6; • Тху),
АФхх = (6'нн • Нх • Ну +6Н • Нху +6гг • Гх • Гу + + 6г • Гху +6;; • Тх • Ty +6; • Txy ).
Операции над сложной функцией позволяют показатель экспоненты определить как сумму трех функций, учитывающую влияние степени, скорости деформации и температуры, действительно
6' = - А 6 = 61 + 62 +63 = -(A¿6 + А2 6 + А3 6).
Сопротивление сдвигу и составляющие тензора напряжений [11]
к = Сст • exp(-А^6) • ехр(-А26) • exp(-А36),
тxy = С„ • ехр(-А16) • ехр(-А26) х х ехр(- А-3 6) • sin( АФ), (5)
стх = Сст • ехр(-А16) • ехр(-А26) • ехр(-А36) х х cos( АФ) + сто + f (y) + C,
ст = -Сст • ехр(-А16) • ехр(-А26) • ехр(-А36) • cos(AФ) + + СТо + f (х) + C,
при 9Х = (0!) x + (82) x + (63) x = -АФ y ,
ey = (01) y + (02) y + (03) y = АФ x.
Подставляя (5) в уравнение связи, получим
CTx _CTV V
x y- = ctgA^ , y = ctg^10,
2 • т
xy Y xy
ctgAФ = ctgB Ф = F1,
s x s y
„ ' = с1в52Ф ,
I ху
= ctgB2Ф = F2 .
Из последних соотношений имеем связь между сдвигами и линейными показателями скоростей деформаций и деформаций. С учетом уравнений несжимаемости запишем уху = 2---х = 2 •£,х • tgB1Ф ,
F
1
Y xy = 2 — •е x = 2 •s x • №ф.
F
Из анализа видно, что для получения решения необходимо принять
=x = • ехр01 • cosВ1Ф; sx = Cs • ехр022 • cosВ2Ф .
Подставляя во второе и третье уравнения (4) последние соотношения, получаем дифференциальные уравнения с аналогичными скобками и соотношениями. При условии
(01 )x = ^Фy , (01')y = x , (02)* = -В2Фy , (02)y = В2Фx,
уравнения превращаются в тождества, где
01 = -#10,022 = -B20 - показатели экспонент функций, определяющих поля скоростей деформаций и деформаций, В1Ф и В2Ф - аргументы тригонометрических функций, определяющие поля скоростей деформаций и деформаций.
Выражения для скоростей деформаций и деформаций имеют вид
=x = y = • exp01' • cosВ1Ф = • exp(-B10) • cosВ1Ф,
Y 'уу = • exp 01 • sin В1Ф = • exp(-B10) • sin В1Ф, (6)
И = 2 • • exp 01 = 2 • C • exp(-B1e) ,
sx = -sy = Cs • exp 022 • cos В2Ф = = Cs^ exp(-В20) • cos В2Ф,
Y xy = Cs • exp 022 • sin В2Ф = Cs • exp(-B2e) • sin В2Ф, (7)
Г = 2 • Cs • exp 0'2 = 2 • Cs • exp(-B2e)
x
s
x
при (0!)у = Я1Фх, (0!)х = -В^у, (0^)у = В2Фх,
(02)х = -В2Фу .
Сопоставляя формулы (5), (6) и (7), убеждаемся, что во всех выражениях присутствуют функциональные одинаковые зависимости от координат 0 и Ф (показатели экспонент, и аргументы тригонометрических функций).
Представляет интерес получения в решении для поля температур аналогичных зависимостей, что позволило бы замкнуть эту задачу теоретически. Рассмотрим дифференциальное уравнение для стационарного температурного поля
д2Т д2Т
дх2 дУ
2
= 0.
Анализ показывает, что решение может быть найдено в виде
Т = CT • exp(03)• (sin53Ф + cos53Ф),
(8)
при (0з)х =-ВзФу, (0-3)у = В3Фх .
Выражение (8) является решением уравнения Лапласа. Покажем это. Подставив производные от (8) в уравнение теплопроводности, после упрощений получим дифференциальное уравнение с такими же скобками, как и ранее. Скобки в данном уравнении при их равенстве нулю устанавливают связь вида
(033)хх = -ВзФух ,(03)уу = В3Фху,
В3Фхх = (033)ух , В3Фуу = (0'')ху .
Это соотношения Коши-Римана и представляют функции, которые определяются уравнением Лапласа, что и соответствует (11).
Сопоставляя решения (5).. .(8) (условия, накладываемые на функции), приходим к выводу, что
03 = -В30 . Из этого можно определить общую параметрическую функцию, которая входит в поля напряжений, деформаций, скоростей деформаций и температур, и математически выразить друг через друга. Таким образом,
exp(-0)=
f нг " Bi f ^ > B2
2 • Q V ь 2 • C Vz
> 1
T B3
CT • (sin B3 Ф + cos B3 Ф) Подставляя в выражение для T¡
T, =Х-(H,)B • (Г,)В • (T")Вз. (9)
Что соответствует выражению аналогичное (2). Зависимость (9) по своей форме соответствует определению напряжения текучести от скорости, степени деформации и температуры, представленной в работах [6, 12, 13].
Анализ полученных результатов
Для анализа полученного результата использовали выражения (5) для изучения напряженного состояния пластической среды при плоской осадке на шероховатых плитах.
Если задачу привести к более простой математической модели ( a2 = A3 = 0 ), то выражения (5) соответствует решениям [6]
к = Сст • exp(-40), т^ = Сс • exp(-Aft) • sin^),
стx = С0 • exp(-Al0) • cos(АФ) + сто + f (y) + C,
ay = -Сст • exp(-A10) • cos(AФ) + ст0 + f (x) + C , (10)
Из условия пластичности сто =-2 • k • cos АФ ,
C = ko . Функции АФ и 0 гармонические. Из уравнения Лапласа и соотношений Коши-Римана получили выражения для определения указанных функций в виде координатного полинома
АФ = АА6 • x • y - АА13 • x • y • (x2 - y2),
0 =-
0,5 • AA6 • lx2 -
I-AA13 •
•(x 2 - У 2 )
0,25
•(x4 + У 4)
'-1,5 • x2 • y2
Из граничных условий АЛ6 = 4
^0 l • h '
АА13 =16• V • ,31, (\ ) , Vо = аго1в[2 • / • (1 -/)], I • И •(( + И)
V = аго1в[2,2 • / -(1 - /)],
где I и к - длина и высота очага деформации при осадке полосы, / - коэффициент трения, к0 - сопротивление сдвигу в начале очага деформации на контакте. При этом
C„ =-
k0
cos АФ 0
•exp(-00);
l • h l • h АФ0 = АА6 •—-АА13 ~
(l± - h2 ^ 4 4
V
A
+
1
00 — — А00 — —
0,5- AA6 •
< l2
.2 >
4 4
v
— pAA13 x
0,25
< l4
.4 >
h
— + — 16 16
v
—1,5 •
l2 • h 2 16
Подставляя в (10), компоненты тензора напряжений
exp(9 — 0О) _ ,
стx — —к0 - ,Ф -cosАф + ко, (11) cos АФ0
„ , exp(8 — 00) ,
ст y — —3 • к0 ——-— • cos АФ + к0
cos АФ0
, exp(9 — 00) . _ Тxy — к0 • ^ _ • sin АФ
С08 АФ,
0
Результаты расчета по формулам (11) приведены на рис. 1...4. Показано, что распределение контактных напряжений реагирует на фактор формы очага I
деформации — и коэффициент трения / . Относительные нормальные напряжения ст у ¡2к§, относительные касательные напряжения тХу / к0 . Результаты расчетов совпадают с реальными эпюрами контактных
напряжений [14-16]. Следует подчеркнуть, что выражения (17) едины для всего очага деформации и нет необходимости разбивать его на отдельные зоны контактного трения [17, 18]. На рис. 5, 6 представлено распределение напряжений в очаге деформации, которые также реагируют на фактор формы и коэффициент трения.
Определяя среднее контактное давление можно показать зависимость коэффициента подпора от фактора формы и коэффициента трения, рис. 7.
Зависимости, представленные на рис. 7, находятся в соответствии с данными работ [17] и [18]. Отличие
отмечается при — =10...15 и составляет менее 10 % п
для максимального значения среднего контактного давления.
Представлен новый аналитический метод и его возможности для решения задачи теории пластичности, который определяет теоретическую зависимость между обобщенными показателями напряжений, деформаций (скоростей деформаций) и температур. Можно утверждать о решении задачи в рамках обобщенной теории пластичности, позволяющей выйти на сложную модель пластической среды.
В дальнейшем появляется возможность учета степени, скорости деформации и температуры на сопротивление сдвигу, согласно выражению (2), по всему очагу деформации.
x
ф
s i
ф
У
л
I
м ф
0
1 .0
с
ф
н S
о
0
1
н
о
я
I
к
5
I
ф
X
к
6 •
л
X
л н
I
о
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,05 0,17 0,28 0,39 0,5 относительная длина очага деформации
■0,1 •0,2 •0,3 0,4
0,5
Рис. 1. Распределение нормальных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках ^ ~ ^ > / = 0,1 ...0,5
6
5
4
3
2
1
0
Рис. 2. Распределение касательных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках ^ ~ ^ > / = 0,1...0,5
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,05 0,17 0,28 0,39 0,5 относительная длина очага деформации
Рис. 3. Распределение нормальных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках, / = 0,3 , ^ ~ I---15
та х
к
X
V
Н
£ £
С ¡£
та та
г &
О *
х
л с
ш
<5 о го
т
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
относительная длина очага деформации
0
Рис. 4. Распределение касательных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках, / = 0,3 , ^ ~ I---15
о
X .0 е; га
и
0 I
1 £
о *
£1 К
о £1
X с
.0 га
с I
га
т *
я
ж к*- и. 1*- ж
* *
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 относительная высота очага деформации
Рис. 5. Распределение нормальных напряжений по высоте полосы при осадке на шероховатых бойках ^ _ ^; f = 0,1...0,5
Е о
X
.о £
г к
О. 5
0 I
1 I
2 £
0 1
1 £ .о га
1-
о.
ф
ш
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 относительная высота очага деформации
Рис. 6. Распределение нормальных напряжений по высоте полосы при осадке на шероховатых бойках f = 0,3 , ^ ~ I--15
Рис. 7. Зависимость среднего контактного давления от фактора формы и коэффициента трения
Перечень ссылок
1. Чигиринский В.В. Определение напряженного состояния пластического тела в условиях плоской деформации // Изв.вузов. Черная металлургия. - 1990. - №7. -С. 48-49.
2. Чигиринский В.В. Определение деформированного состояния пластического тела в условиях плоского течения // Изв.вузов. Черная металлургия. - 1990. - № 9. -С. 32-33.
3. Чигиринский В.В. Некоторые особенности теории пластичности применительно к процессам ОМД// Тр.на-уч .-техн. конф. «Теория и технология процессов пластической деформации-96». - М.: МИСиС, 1997. -С. 568-572.
4. Чигиринский В .В. Исследование напряженно-деформированного состояния металла с учетом пространственных параметров очага деформации // Теория и практика металлургии. - 1997. - № 4. - С. 39-40.
5. Чигиринский В.В. Исследование влияния пространственных параметров деформированного объема на сопротивление пластической деформации сдвига// Теория и практика металлургии. - 1997. - № 3. - С. 31-32.
6. V.V. Chygyryns'kyy, I. Mamuzic, G.V. Bergeman Analysis of the State of Stress of a Medium under Conditions of Inhomogeneous Plastic Flow// Metalurgija. Zagreb. - 2004. -vol.43, br.2. - P. 87-93.
7. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. -М.: Металлургия, 1987. - 251 с.
8. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука,1977. -735 с.
9. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: На-ука,1969. - 419 с.
10. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1975. - 399 с.
11. Чигиринский В.В., Левченко В.Н. Некоторые особенности замкнутого решения для плоской задачи теории пластичности // HyraBi вюи. Сучасш проблеми мета-лурги «Пластична деформащя металiв», ВАТ «Синель-ниювська Теплоизолящя». - 2005. - С. 138-143.
12. Чигиринский В.В., Бергеман Г.В. Теоретическое прогнозирование модели пластической среды в условиях сложного напряженного состояния // Технологические системы «Научные разработки и результаты исследований». - 2002. - № 2(13). - С. 44-47.
13. Андреюк Л.В., Тюленев Г.П. // Сталь. - 1972. - 9. -С. 825-828.
14. Чекмарев А.П., Клименко П.Л.Экспериментальное исследование удельных давлений на контактной поверхности при прокатке в калибрах // Обработка металлов давлением: Сб.тр. Днепропетровского металлургического ин-та. - Харьков, М., 1960. - Вып. 39.
15. Чекмарев А.П., Каптуров Л.Е., Клименко П.Л.Экспе-риментальное исследование распределения удельных давлений при прокатке в гладких валках // Обработка металлов давлением: Сб.тр. Днепропетровского металлургического ин-та. - Харьков, М., 1960. - Вып. 39.
16. Чекмарев А.П., Нефедов А.А., Николаев В.А. Теория продольной прокатки. - Харьков: Изд. Харьковского государственного университета, 1965.
17. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. - М.: Машиностроение, 1977. - 422 с.
18. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением. -М.: Металлургия, 1978. - 359 с.
Одержано 11.02.2008
Запропоновано новий метод розв 'язування задач теорИ пластичностг. Результат отримано для .замкнуто'! системи ргвнянь плоско'1 задач1. Особливгстю е наявнгсть однакових координатних функцш в узанальнених параметрах напруженого, деформованого стангв i поля температур. Теоретично визначилась модель складноХго пластичного середовища.
New method of solving the problems of theories ofplasticity is offered. The result is received for closed systems of the equations ofplane problem. The particularity is a presence of equal coordinate functions is generalized parameters of tensed, deformed conditions and field of temperatures. Theoretically model of the complex plastic medium was defined.
УДК 621.76
Д-р техн. наук Л. А. Рябичева, канд. техн. наук Ю. Н. Никитин Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля, г. Луганск
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ УСЛОВИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ПРОЦЕСС УПЛОТНЕНИЯ ПОРИСТЫХ ТЕЛ
В работе выполнен анализ напряженно-деформированного состояния при штамповке пористых тел пуансоном, не заходящим в полость матрицы. Получены зависимости, характеризующие влияние химического состава, температуры и скорости деформации на неравномерность напряженно-деформированного состояния и пористость заготовок.
Для изготовления порошковых осесимметричных изделий высокой плотности конструкционного назначения применяется штамповка пористых заготовок в
штампе пуансоном, не заходящим в полость матрицы, включающая элементы свободной осадки, выдавливания и других процессов деформирования, в кото-
© Л. А. Рябичева, Ю. Н. Никитин, 2008
