Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

Ссылка на статью:

// Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 41-53.

Б01: 10.7463/шаШш.0415.0812943

Представлена в редакцию: 17.09.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 517.956

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое

Алгазин О. Д.1'*, Копаев А. В.1 * [email protected]

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В работе методом преобразования Фурье решается краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями в Rлn. Решение представлено в виде суммы интегралов, ядра которых найдены в конечном виде. В частности построена функция Грина оператора Лапласа для задачи Дирихле, через которую записывается решение задачи. В случае если заданные граничные значения являются обобщенными функциями медленного роста, решение задачи Дирихле для однородного уравнения (Лапласа) записывается в виде свертки ядер с этими функциями.

Ключевые слова: преобразование Фурье; функция Грина; задача Дирихле; уравнение Пуассона; обобщенные функции медленного роста.

Введение

Двух - и трёхмерное уравнение Пуассона описывает многие стационарные процессы при наличии источников (стоков) в различных областях механики и физики. Например, в теории тепло- и массопереноса, гидро- и аэромеханике, электростатике и т.д. Поэтому поиск точных решений краевых задач для уравнения Пуассона в различных областях является весьма актуальным. Известные точные решения краевых задач для линейных уравнений в частных производных содержатся в справочнике [1].

В данной статье найдено точное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое. Для п-мерного полупространства основным методом решения краевых задач для линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами является преобразование Фурье по переменным в граничной гиперплоскости [2]. Этот же метод применим и для бесконечного слоя, что и делается в нашей работе. Для полосы и бесконечного слоя в трёхмерном пространстве решения этой задачи известны [1]. Причем в трехмерном случае функция Грина записывается в виде бесконечного ряда. Для бесконечного слоя в и-мерном пространстве задача Дирихле для уравнения Лапласа решалась одним из авторов другим методом в работе [3]. Решение смешанной

краевой задачи Дирихле — Неймана для уравнения Лапласа в бесконечном слое п-мерного пространства методом преобразования Фурье см. в нашей работе [4]. В настоящей работе решение получено в интегральной форме и ядра интегралов выражены в конечном виде через элементарные функции и функции Бесселя. При этом получено рекуррентное соотношение, связывающее ядра интегралов для и-мерного и (и+2)-мерного слоев. Уже для трехмерного случая получены новые формулы по сравнению с известными [1].

1.Обозначения и постановка задачи

Введём следующие обозначения:

х = (х1,..., хп) е !п , (х, у) — (х1,..., хп,у) е Еп+1 , уеЕ ,

\х\ — 1x1

Ли(х, у) — Ли — иХ1Х1 + —Ь ихпхп + иуу — оператор Лапласа.

р(г)= пгт— [ Г(х)е1хЫг —

преобразование Фурье суммируемой функции /(х). Если суммируемая по х функция [(х, у) зависит от переменных х и у, то ее преобразование Фурье по х будем обозначать

7Х[ГШу) — [ Г(Х,У)е^йх .

Аналогично определяется обратное преобразование Фурье суммируемой функции

т

!(х) — Т-1[Р](х) — —П- [ Р(1)е-^й1 и суммируемой по t функции Р(1, у)

Г--1[Р](х,У) — тг1- [ %у)е-1х'й1.

Определение преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста см. [5].

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа):

Ли(х, у) — /(х, у) , х еШп , 0 < у < а , и(х, 0) — ф(х), х е Еп, и (х, а) — ф(х), хе!" .

Решение будем искать в виде суммы

и(х, у) — р(х, у) + w(x, у), где р(х, у) удовлетворяет однородному уравнению и неоднородным краевым условиям,

Лр(х, у) — 0 , х еШп , 0 < у < а , р(х,0) — ф(х), хеШп, V (х, а) — ф(х), хе!" ,

г,

пп

а w(x, у) удовлетворяет неоднородному уравнению и однородным краевым условиям, кц/(х, у) = /"(х, у) , хе!" , 0 < у < а , ы(х, 0) = 0, х е 1П, ш (х, а) = 0, х е 1П.

2.Решение однородного уравнения с неоднородными краевыми условиями

Это задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Ар(х, у) = 0 , х е1п , 0 < у < а , р(х, 0) = ф(х), х е V (х, а) = ф(х), х е

Применим преобразование Фурье по х к уравнению Лапласа, обозначив

У(иу) = Тма,У) , Ф(0 = Т[ф](г), =

Получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром [ е 1":

-\1\2У(1, у) + Ууу(1, у) = 0 , 7(Г,0) = ф(0 , у(г, а) = ¥(0 .

Решением этой краевой задачи будет функция

у(г,у) = ф(0 (' '( , )) + ¥(0—.

Применив обратное преобразование Фурье, получим решение исходной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в виде свертки

р(х,у) = ф(х) * Кп(х, у) + ф(х) * Ьп(х, у) , (1)

где для ядер введены обозначения

Кп (х, у) = Т-1[кп](х, у) , кп (И, у) = ^(фВ , ,

1п(х,у) = Т-1^](*,у) , /п(\ау) = ,.

Поскольку (\^\, а — у) = кп (\^, у) , то Ьп (х, а-у) = Кп(х, у) и Ьп(х, у) ведет себя при у ^ а — 0 так же, как Кп(х,у) при у ^ +0.

Легко видеть, что кп(\^,у) и 1п(^\,у) — бесконечно дифференцируемые и быстро убывающие функции от t е !п , то есть принадлежат пространству £(!п) (см. [7]), поскольку они еще и сферически симметричные, то при вычислении обратного преобразования Фурье можно перейти к сферическим координатам в пространстве !п . Обозначим \х\ = г, = р , оп-1 — площадь единичной сферы в !п. Для любой сферически симметричной функции кп(\^) = кп(р) е £ (!п) имеем

Нп(\х\) = Нп (г) = Т-^К ](х) = -1- I К (И) е'^сИ =

О Г™ п Г™

= гГ^1 (р)р2^р I е-грсозв зтп~2вйв =

1 п

~ п п „

(2п)2Г2 ^О 2

'П.

где ¡п_1(гр) — функция Бесселя 1-го рода порядка V =--1 (см. [5],[6]).

2 2

Эта формула справедлива и при п = 1 , что легко проверить.

Дифференцируя предыдущее равенство по г, и, учитывая формулу из теории бесселевых функций (см. [7])

vJv (гр)

гр

получим рекуррентную формулу

-К(гр) = Jv+1(rp) ,

1 д

H"+2(r)- - 2пгдгНп(Г^

Ввиду этой формулы, нам нужно знать ядра Кп (х, у) и Ln (х, у) только для п = 1 и п = 2 .

Поскольку преобразование Фурье переводит пространство £(Rn) в себя, то ядра К-п(х,У) = Кп(\х\,У) и Ln(х,у) = L*n(\x\,у) при любом у Е (0, а) являются сферически симметричными функциями от х из пространства S(Rn). Поэтому свертка (1) существует для любых обобщенных функций медленного роста ф(х) Е S'(Rn) , ф(х) Е S'(Rn) и записывается в виде

ф(х) * Кп(х,у) + ф(х) * Ln(x, у) = (ф(0, Кп(х - t,у)) + (ф(0, Ln(х - t, у)).

В том случае, когда ф(х) и ф(х) —обычные функции полиномиального роста, свертка (1) записывается в виде суммы интегралов

I ф(^Кп(x — t,y)dt + I ty(t)Ln(x — t,y)dt.

Легко проверить выполнимость следующих свойств в области D :

1) Кп (х, у) > 0,

Г а — у

22) I Кп(х, у) dx =--> 1 при у ^ +0 ,

JMn а

3) для V5 >0 , lim sup Кп(х, у) = 0.

Эти свойства означают, что Кп(х, у) является аппроксимативной единицей или 5 —образной системой функций от х (с параметром у ), при у ^ +0 , Кп(х, у) слабо сходится к 5 — функции 5(х). Поскольку

Ln (х, У) = Кп (х, а — у) ,

то Ln (х, у) является аппроксимативной единицей при у ^ а — 0 .

Поэтому, если ф(х) Е S'(Rn) и ф(х) Е S'(Rn), то формула (1) дает обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа:

lim v(x,у) = ф(х) в S' , lim v (х,у) = ф(х) в S'.

у^+0 у^а-0

Если ф(х) и ф(х) обычные функции полиномиального роста, то в каждой точке непрерывности

lim v(x, у) = ф(х), lim v (х, у) = ф(х) .

у^+0 у^а-0

3. Решение неоднородного уравнения с однородными краевыми условиями

ау\/(х,у) = /(х,у) , хе1п , 0<у<а , ы(х, 0) = 0, х е !п, м/(х,а) = 0, хе!". Применим преобразование Фурье по к уравнению Пуассона, обозначив

№( Ьу) = Т [ш]( г,у), *■( г,у) = Т [/]( г,у). Получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром [ е 1":

—\г\2ш( г,у) + Шуу( г,у) = Р(г,у) , №( ^0) = 0 , №( г,а) = 0. Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

г"(у)+ Л2 г(у) = 0, (0) = 0, ( ) = 0 ,

то есть по функциям

nky

sin-, к = 1,2,3,... ,

Znky bк ( t) sin —■ .

/£=1

Правую часть уравнения Пуассона также разложим в ряд Фурье

Znky

fk ( t) sin —- ,

k=1

2 Г . nky

h ( «= 2 [

F(t, y) sin-dy .

о a

Подставив ряды в уравнение Пуассона и приравняв коэффициенты, получим

a2 fk (О

Ьк (t) = -П2к2 +a2\t\2 ' k = 1'2'3'- И

a2 _ nky

Zr пку

W + a2 |t|2 /i W^T

n=1

Применив обратное преобразование Фурье, получим решение краевой задачи

00

2 V-1 ( Га пкт ) пку

w(x,у) = — У \Мпк(х) * I /(х,т) sin-dr;- sin-=

a¿=i{ J0 a J a

0

2 v-1 _ пкт пку

Г f 2^ nkï nky = —I I f(t,T) / Mnk (x — t) sin-sin-\dtdx ,

Jo J-œ rk=1 a a J

где

Мпк(х) = T~1yn2k2 + ^^ 2 Га пкт

а2

2 Ги 21 ™

т) sin —dT = T-1[fk(t)](x).

Если правая часть уравнения Пуассона равна дельта—функции, f(x, у) = S(x — x0, у — у0)= 5(х — х0)5(у — у0), х0 ЕШП , 0 < у0 < а, то решением краевой задачи будет функция Грина оператора Лапласа для задачи Дирихле

m

2 ST1 лку0 пку "" " 4 "" sin-.

2 V-1 пкл

Gn(х, у, хо, Уо) = — - У Мпк — хо) sin—-

a ¿—i а

Здесь

а к=1

1 а2

Мпк 00 = Т 1[Шпк ]00, Шпк (0 =

п2к2 + a2\t\2 "

Поскольку тпк (t) являются сферически симметричными функциями (зависят только от \t\ ), то и Мпк(х) являются сферически симметричными функциями, Мпк(х) = Мпк (\х\), и функция Грина зависит только от \х — х0 \

йп(х, у, Хо, уо) = Gп (\х — Хо\, у, Уо) = Gn(r, у, Уо).

Поэтому по рекуррентной формуле

1 д

сп+2^ y, уо) = — (r, У, Уо).

4.Решение задачи Дирихле для полосы на плоскости

В случае двух переменных, учитывая четность функций по t ( k1(\t\,у) = k1(t,у), h(\t\,у) = h(t,у)) , находим обратное преобразование Фурье по таблицам (см.[8], стр.187 формула 7.113):

1 sin

№ ,0= T-4kíKx, у) = Та ^ т — aJs т,

1 sin

Li(x,y) = Ki(x, а — y)=— KaJ

2 № +cos (%)■ -i

(x) = Т 1[m 1 k](x)=2^exP (—~\x\) .

Просуммировав ряд

2 v-1 . лкуо пку

m

2 V"1 ПКуо ЛКу — / M1 k (х — хо) sin-sin-=

k=1

m

1 1 о

=--У техр (--\x — хо\) sin-sin-

k=1

получим функцию Грина

и п(х — Хо) п(у — Уо) 1 СП —--— — сОБ ——-

°1(Х,у,Хо,Уо) = 1п, я(х — хо) .

СП

СОБ-

а а

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона для слоя на плоскости запишется формулой

ф(0

1 /пу\ г00

и(х, у) =—бш I —) I -

2а сЬ(п(х — О/а) — сов(пу/а)

+±51п (ЩГ ю

2а V а ' }_

йг +

+

сЬ(п(х — О/а) + соз(пу/а) 1 Га Гт сП(п(х — О/а) — соб(п(у — х)/а)

- I I /(£, —;-—-;-;-Г-ГТ" .

4п Ь

сП(п(х — 0/а) — соб( п(у + т)/а) Эта формула известна ( [1], стр.425, формула 7.2.2-5). Заметим,

— С1(х, у, г, т)

■а

— С1(х, у, t, т)

= — ^у),

=0

= ¿1(х — t , у)

И решение задачи может быть записано в виде

\дг° 1(Х,у,

и(х,у) = — I ф( О

^_т

+ I 1р( О

га гт

+ I I /(т) & 1(х,у, ъ,т) ^ гйт .

^0 ^ю

й t +

— в 1( Х,у, ^"О

=0 йт +

5.Решение задачи Дирихле для бесконечного слоя в трехмерном пространстве

Для трех переменных ядра не выражаются через элементарные функции:

1 Г 5 Ь (р( а — у))

1

,У) = 2П1

1 Г'

г(Х, 2п}0

бЬ (ар) ' (ру)

■р/о(р\х\)^р ,

р]о(р\х\)йр .

что

бЬ (ар)'

Если ф(х) и ф(х) — обычные функции полиномиального роста, то решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа записывается интегральной формулой

V

(х,У)=-1 I I

2П М2 'о

' бЬ (р(а — у)) бЬ (ар)

р/о(р1* — фйр +

+

1С Гт бЬ (ру)

— I мом! ^ЦрШх — фйр .

2П М2 'о

бЬ (ар)

Функцию Грина получим, просуммировав ряд

т

2

2 v-1 пк}

-- / М2к О -Xo)sín-

пкуо . пку sin-

к=1

где

М2к (х) = Т-1[ш 2 ¡с ](х)= Т-1 с2

п2к2 + а2р

(х) =

п2к2 + a2\t\2 1 fm а2 1 (пк \

= 2nJ0 ж2к2 + а2 р2 р]о(р\х1)dp = 2ÜЧт W) '

Здесь К0( <Q —функция Макдональда ([9], с.692, формула 6.532.4).

m

2 V"1 пку0 пку G2(х,у, Хо,У 0) = — У М2к (Х — Xo)sin-sin-=

=1

m

1 Х-1 \ пку0 пку =--У К0[ — \х — х0\) sin-sin-=

=1

Ím \

V1 / п k \ пку0 п ку

У exp [--\х — х0 \ ch Е ) sin-sin-> dЕ =

= ^ jm ^exp (—п\х — Х0\ ch(О/а) — cos (п(у — у 0)/а) 4па J0 \ ch (п\х — x0\ch(E;~)/а) — cos (п(у — у0)/а)

— exp (—п\х — Х0 \ ch(О/а) — cos (п(у + У0)/а) ch (п\х — Х0\ ch(О/а) — cos (п(у + у0)/а)

d % .

Легко проверить, что

— G2(х,у, t, г}

sin( / )

J

0

sinh(7r\x — t\ ch(^) /a)

т=0 2 a2 J0 (ch(n\x — t\ch(%)/a) — cos (лу/а))2 s h (p( a — y))

— G 2(x,y,t, "0

= K2(x — t,y)=2nj0

sin( / )

■pJ0(p\x — t\) dp,

_ 1 f°

= 2n J0

2 2 h (p )

J0

0

sh ( p) sinh( \ — \ ch( ) / )

(ch( \ — \ ch( )/ ) + cos ( / ))2

= 2( — , )

pJ0(p\x — t\)dp .

бЬ (ар)

И решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в трехмерном бесконечном слое может быть записано в виде

(

,у) = —J ф(t)

Ju2

— G2 (х,у, t,x)

d t +

— G2(x,y, t, T)

=0 dr +

j ip( t)

u2

+ j j f (t,T) G2(x,y,t,r) dtdx,

0 u2

где

G (x tT) = _L f™ [exp -11 ch(o/g) -cos fro - T)/a)

2 x, у, , т 4^aJ0 | ch (л"|х — t| ch(^)/a) — cos (п(у — т)/а)

exp (—л"|х — t| ch(^)/a) — cos (n(y + т)/а)

ch (л"|х — t| ch(^)/a) — cos (n(y + т)/а) В частности для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в трехмерном бесконечном слое получается формула другого вида

■f^(t) dtf 2U Ju2 Jo

sin(ny/а)

v(x, y) =

+ ■

sin(rcy/a) f г^ f™ sinh(rc|x — t| ch(^) /a)

J0 (ch(rc|x — t| ch(^)/a) — cos (ny/a)

sinh(rc|x — t| ch(^) /a) (ch(rc|x — t| ch(^)/a) + cos (ny/a))2 '

2a2

■ f 4>(t) dt f Ju2 Jo

+

6. Решение задачи Дирихле для бесконечного слоя в пространстве произвольной размерности

Для пространства произвольной размерности п решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в слое записывается с помощью функции Грина в следующем виде

д

и(х, у) = — I ф(0

Jun-1

g^^n-1^ У, ^ т)

dt +

'g^^n-l(x, У, ^, т)

т=0

dr +

- f m

+ I I f(t, t) Gn-1(x, y, t, t) dtdx ,

Jo Ju^-1

>0 JRn~

где в случае четной размерности п = 2к

G21C-1&,У, t, "0 = G*^k-i(\x — t|,у,т) = G*2k-i(r,у,т) =

(—1)

(2п)

— (- —\к-1 k-1 \r дг)

1 ch(nr/a) — cos(n(y — т)) — ln

g^^2k-1(x, У, t, т)

4п ch(nr/a) — cos(n(y — т))

= K2k-1dx —1|, у) = к;к-1(г, у) =

JT=0

(—1)к-1 /1 д\к-1( 1 sin(rcy/a) \

(2п)к-1 \r дг) \2а ch(nr/a) — cos(ny/a)J ,

= L2k-1(\x — tl У) = L*2k-1(r, У) = sin(rcy/a) \

— G2k-1(x, у, t, т)

(—1)

kii а 1лк-1(1.

-1 \г дг) \2а

(2п)к 1 \г дг) \2а ch(nr/a) + cos(ny/a)J' В случае нечетной размерности п = 2к + 1

G2k (х, У, t, т) = G*2k (|х — t|, у, т) = G*2k (г, у, т) =

(—1)к-1

-1 /1 д\к Ч 1 Гт rexp (—nr ch(f)/a) — cos (n(y — x)/a) (2n)k-1 \r dr) 4naJ0 \ ch (nr ch(^)/a) — cos (л(у — т)/а) exp (—nr ch(^)/a) — cos (n(y + т)/а))

ch (nr ch(^)/a) — cos (n(y + r)/a)

dt;

— С 2 к (Х,у, г.т)

т=0

= К^к(\х — г\,у) = К^к(г,у) =

(2п)>

к-1 (1 д\ к-1 \г дг/

к_1

з\п(пу/а)

Г

0

зтЬ(лт сЬ(^) /а)

(х, У, т)

2а2 ]п (сЪ(пг сЪ(%)/а) — соз (пу/а))2 = V*2к (|Х — г\, У) = 1*2к (г, У) =

( — 1)

(2п)>

—11лк-1

к-1 \г дг/

зт(пу/ а)

2 2

г

0

бШ^лТ сЬ(^) /а)

(сЪ(пг сЪ(%)/а) + соз (пу/а))2

Например, для бесконечного слоя в четырёхмерном пространстве имеем

1 д 1 д ( 1 з\п(пу/а) \

К3(х, у) = — — — Ыг, У) = — — У' *

2пг дг

2пгдг\2а сЬ(пг/а) — соз(пу/а)/ зт(пу/а) зЪ(пг/а)

4а2 г(сЪ(пг/а) — соз(пу/а))2 1 з\п(пу/а) зЬ(п\х\/а)

У) =

4а2 \х\(сЬ(п\х\/а) — соз(пу/а))2 зт(пу/а)зЪ(п\х\/а) ГГ~Г~1

\ X \ — IХ1 + X2 + ^3 '

4а2 \х\(сЪ(п\х\/а) + соз(пу/а))2

вз(х, у, хо, Уо) = С;(г, у, уо) = —

1 д 2пг дг

С{(г, у, Уо) =

1 д 2пг дг

сЬ(пг/а) — соз(п(у — уо))

4п сЪ(пг/а) — соз(п(у — у0)) зЪ(пг/а) зт(пу/а) зт (пу0/а)

4паг (сЬ(пг/а) — соз(п(у + у0)/а))(сЬ(пг/а) — соз(п(у — у0)/а))' где г = \х — Хо\.

Легко проверить, что

У, и О

д

У, "О

= Кз(х — г,у),

т=0

= ь3(х — г,у)'

И решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в четырехмерном бесконечном слое может быть записано в виде

У, Ьт)

Г^°з(х,У, ^

ф(0 йг +

т=0

йт +

где

вз(х, у, г, т) =

и(х, у) = — I +1

+ I I /(^, т) С3(х, у, t, т) й1йт,

¿0 ^ш3

1 зЪ(пг/а) з\п(пу/а) з\п(пт/а)

4паг (сЪ(пг/а) — соз(ж(у + т)/а))(сЪ(пг/а) — соз(ж(у — т)/а)) '

г = \х — tj.

В частности для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в четырехмерном бесконечном слое получается формула

sin(ny/a) Г ф(0 sh(n\x — t\/a)dt

v(x,у) \х — t\(ch(n\x — t\/a) — cos(ny/a))2 +

sin(rcy/a) f ^>(t) sh(rc\x — t\/a)dt

4a2 JU3 \x — t\(ch(n\x — t\/a) + cos(ny/a))2 '

Заключение

Отметим, что полученные формулы для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в бесконечном слое применимы и в том случае, когда граничные значения являются обобщенными функциями медленного роста. В этом случае решение является обобщенным: v(x, у) при у — +0 и у — а — 0 слабо сходится в £'(ЕП) к заданным граничным значениям. В случае трех переменных функция Грина получена в виде однократного интеграла.

Список литературы

1. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.576 с.

2. Комеч А.И. Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. 1988. т. 31. с. 127-261.

3. Касьянов Е.Ю., Копаев А.В. О решении задачи Дирихле для некоторых многомерных областей методом воспроизводящих ядер // Известия вузов. Математика. 1991. №6. с. 17-20.

4. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. №1. с. 3-13.

5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

6. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962. 360 с.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

8. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 4, pp. 41-53.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

Received: 17.09.2015

Mathematics & Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Solution of the Dirichlet Problem for the Poisson's Equation in a Multidimensional Infinite Layer

Algazin O. D.1*, Kopaev A. V.1

[email protected]

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: Fourier transform, Green function, Dirichlet boundary value problem, Poisson equation,

tempered distributions

The paper considers the multidimensional Poisson equation in the domain bounded by two parallel hyperplanes (in the multidimensional infinite layer). For an n-dimensional half-space method of solving boundary value problems for linear partial differential equations with constant coefficients is a Fourier transform to the variables in the boundary hyperplane. The same method can be used for an infinite layer, as is done in this paper in the case of the Dirichlet problem for the Poisson equation. For strip and infinite layer in three-dimensional space the solutions of this problem are known. And in the three-dimensional case Green's function is written as an infinite series. In this paper, the solution is obtained in the integral form and kernels of integrals are expressed in a finite form in terms of elementary functions and Bessel functions. A recurrence relation between the kernels of integrals for n-dimensional and (n + 2) -dimensional layers was obtained. In particular, is built the Green's function of the Laplace operator for the Dirichlet problem, through which the solution of the problem is recorded. Even in three-dimensional case we obtained new formula compared to the known. It is shown that the kernel of the integral representation of the solution of the Dirichlet problem for a homogeneous Poisson equation (Laplace equation) is an approximate identity (S-shaped system of functions). Therefore, if the boundary values are generalized functions of slow growth, the solution of the Dirichlet problem for the homogeneous equation (Laplace) is written as a convolution of kernels with these functions.

References

1. Polyanin A.D. Spravochnik po linejnym uravnenijam matematicheskoj fiziki [Handbook of linear equations of mathematical physics]. Moscow, Fizmatlit publ., 2001. 576 p. (in Russian).

2. Komech A.I. Linear partial differential equations with constant coefficients. Itogi nauki i tehniki. Ser. Sovremennye problemy matematiki: Fundamental'nye napravlenija [The results of science and technology. Ser. Contemporary Mathematics: Fundamental Directions], 1988, vol. 31, pp. 127-261. (in Russian).

3. Kas'janov E.JU., Kopaev A.V. On a solution of the Dirichlet's Problem for a certain multidimensional domains by means of the reproducing kernels method. Izvestija vuzov. Matematika = Proceedings of the higher educational institutions. Mathematics, 1991, №6, pp. 17-20. (in Russian).

4. Algazin O.D., Kopaev A.V. Solution to the mixed boundary-value problem for Laplace equation in multidimentional infinite layer. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural Sciences, 2015, №1, pp. 313. (in Russian).

5. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoj fizike [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Nauka publ., 1979, 320 p. (in Russian).

6. Bokhner S. Lektsii ob integralah Fur'e [Lectures on Fourier integrals]. 1962, 360 p. (in Russian).

7. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, MSU publ., 1999, 798 p. (in Russian).

8. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Integral'nye preobrazovanija i operatsionnoe ischislenie [Integral transforms and operational calculus]. Moscow, Fizmatgiz publ., 1961, 524 p. (in Russian).

9. Gradshtein I.S., Ryjik I.M. Tablitsy integralov, summ, riadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 1110 p. (in Russian).