Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru

УДК 517.958

Полиномиальные решения уравнения Пуассона в слое

Алгазин О.Д.1*

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. 2017. № 06. С. 1-18/

DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082

Представлена в редакцию: 05.11.2017

© НП «НЕИКОН»

краевых задач для

moptó б andex ли 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями рассматривается уравнение Пуассона с полиномиальной правой частью. Показано, что краевая задача Дирихле и смешанная краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет единственное решение в классе функций полиномиального роста, которое является полиномом. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры.

Ключевые слова: уравнение Пуассона, задача Дирихле, смешанная краевая задача Дирихле -Неймана, полиномиальные решения

Введение

Хорошо известно, что задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре имеет единственное полиномиальное решение (гармонический полином) в случае, если заданным граничным значением является след произвольного полинома на сфере [1, с. 417], [2, с. 157]. С.М. Никольский [3] обобщил этот результат на случай краевой задачи первого рода для линейного дифференциального самосопряженного оператора порядка 21 с постоянными коэффициентами (в частности полигармонического) и для области, которая является эллипсоидом в Мп. Соответствующее неоднородное уравнение рассмотрено в [4]. Для полигармонического уравнения в шаре (однородного и неоднородного) алгоритм построения полиномиального решения задачи Дирихле на основе формулы Альманси предложен В.В. Карачиком [5].

С.М. Никольским [3] показано, что для области, ограниченной алгебраической поверхностью эллиптического типа степени больше двух или несколькими кусками алгебраических поверхностей, приведенное выше утверждение неверно, то есть не для любого полиномиального граничного значения решение является полиномом. Например, в двумерном случае для оператора Лапласа и для области, являющейся многоугольником. Критерии разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в полиномах для многоугольников рассмотрены в работах Е.А. Волкова [6,7].

Представляет интерес рассмотрение вопроса о полиномиальных решениях для бесконечной области. В данной работе рассматривается уравнение Пуассона в бесконечной области (слое) с полиномиальной правой частью. На границе слоя задаются краевые условия Дирихле и Дирихле — Неймана. Показано, что если заданные граничные функции являются полиномами, то задачи Дирихле и Дирихле — Неймана имеют в классе функций полиномиального роста единственное решение, которое является полиномом. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение Пуассона в бесконечной области (слое) с полиномиальной правой частью

Ди (х,у) = Р (х,у) , хеГ, 0 < у < а, (1)

д2 д2 д2

где х = (х 1 ,. . .,*„), Д — оператор Лапласа Д = —т + ' ' ' + + тг, Р( х,у) — полином

дх( д%п ду2

от переменных и

На границе слоя задаются краевые условия Дирихле

и (х, 0 ) = <р (х) , и (х, а) = / (х) , х£1" (2)

и смешанные краевые условия Дирихле — Неймана

и (х, 0) = <р х(х) , иу (х, а) = / х(х) , хе!" , (3)

где полиномы.

Далее в разд. 2 показано, что уравнение Пуассона (1) имеет полиномиальные частные решения и приведена формула получения такого решения. Если ü (х, у) — частное полиномиальное решение уравнения Пуассона (1), то для функции v ( х, у) = и ( х, у) — получаем уравнение Лапласа

Л v ( х, у) = 0, х е !", 0 < у < а, (4)

и краевые условия Дирихле

v (х, 0) = <р (х) — ü(х, 0 ) , v (х, а) = / (х) — ü(х, а) , хе!" (5)

и смешанные краевые условия Дирихле-Неймана

v ( х,0 ) = <р х(х) — ü(х,0 ) , vy (х,а) = / х( х) — йу ( х,а) , хе!" . (6)

Решив краевые задачи для уравнения Лапласа (4), (5) и (4), (6), мы получим решения краевых задач для уравнения Пуассона (1), (2) и (1), (3) по формуле

u(x,y) = v{x,y) + ü(x,y). Если решения краевых задач искать в классе функций полиномиального роста по х, т.е. функций, удовлетворяющих условию

/!П I и ( х,у) I ( 1 + I х I ) ¿х < С , I х I = V хх2 + - • - + х2 (7)

для некоторого т > 0 и для каждого у е ( 0, а) , то решение будет единственным (это показано в разд. 3). Решения краевых задач для уравнения Лапласа записываются в виде свертки граничных функций с соответствующими ядрами (фундаментальными решениями

соответствующих краевых задач) [8,9]. Показано, что эти решения являются полиномами и приведен алгоритм их получения (см. разд. 5, 6).

Частное полиномиальное решение уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона (1) с полиномиальной правой частью Р ( х,у) , Ли(х,у) = Р(х,у), хеГ, 0 < у < а, имеет полиномиальные решения, одно из которых можно получить по приводимой далее формуле. Эту формулу достаточно привести для монома.

Рассмотрим сначала плоский случай п = 1, х £ Е, (х,у) £ Е2, Р (х, у) = х^у™ . Тогда непосредственной проверкой доказывается следующая формула (8), дающая одно из частных полиномиальных решений уравнения Пуассона с правой частью

й (х, у) = А - 1 (хкут) = 1К ] ( - 1 ) У7-^-гут+2 1+2 хк - 2 1 , (8)

где целая часть числа

Если , то, поменяв местами и , получим другое частное полиномиальное

решение с меньшим числом мономов:

^ (х,у) = А - 1 (утахЛ) = 1 Й/2] ( - 1 ) 1--Щ™--хк+21+2у™- 21 . (9)

14 ^ J 4 у (к+2У + 2)!(ш—2_/)! ^ v 7

Степени полиномов и на два больше степени Например, для

Р(х,у) = х4у3 частное решение по формуле (8) будет

а по формуле (9)

Рассмотрим теперь пространственный случай и моном

Р(х,у) = хкут,

где х^ = х^ 1 ...х^п, к = ( к 1 ,... ,кп) , — мультииндекс; | к| = к 1 + —I- кп — степень мо-

нома .

Частное решение уравнения Пуассона с правой частью Р ( х, у) можно получить по формуле

й (х,у) = А - 1 (х*ут) = Е™/2] (- 1) 21+2 А , (10)

- л-1Г„кЛ1тл _ Л/_гп!_„Ш+2/+2 Л1 „к

где

/а2

■+■■■ +

, / а2 а2 V

\) — I ■ ■ »

Зх2 Зх2у '

При п = 1 из формулы (10) получается формула (8). Формула (10) доказывается непосредственной проверкой. Например, для

Р(х,у) = х(з.2Д)уз = х^ х| х3у3

частное решение по формуле (10) будет

111 1

й(х,у) = —х1х%х3у5-—х1х3у7-—х1х%х3у7+^г^х1х3у9.

Степень й (х, у) на 2 больше степени Р ( х, у) .

Единственность решения краевых задач

Покажем, что в классе функций медленного роста по х, удовлетворяющих условию (7), краевая задача Дирихле и Дирихле-Неймана для уравнения Пуассона имеет единственное решение. Для этого достаточно показать, что однородное уравнение (Лапласа) с однородными краевыми условиями Дирихле и Дирихле-Неймана имеет только тривиальное решение (в работах [8],[9] вопрос единственности решения не рассматривался).

Поскольку функции медленного роста по определяют для каждого из

( 0, а) регулярные функционалы из пространства <•> ' ( Мп) — пространства обобщенных функций медленного роста, то к ним можно применить преобразование Фурье по х [10]:

Tx[u(x,y)](t,y) = U it,у). Рассмотрим задачу Дирихле. К уравнению Лапласа

Аи(х, у) = 0, х ERn, 0 < у < а и однородным краевым условиям Дирихле

и(х, 0) = 0, и(х, а) = 0 применим преобразование Фурье по Получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с параметром

— | t| 2/t ( t,у) + t/yy( t,у) = 0, 0 < у < а (11)

и краевые условия

// ( t, 0 ) = 0, // ( t, а) = 0 (12)

Общее решение уравнения (11) имеет вид

//( ^у) = Cl( t) СЛ.( | t | у) + С2 ( t) s/l ( | t | у) . (13)

Подставляя в (13) краевые условия (12), получаем

Cl(t) = 0, c2(t) sh(\t\a) = 0. Последнее уравнение эквивалентно уравнению

\t\c2(t) = 0

и решение краевой задачи

U(t,y) = Cl(t) ch(\t\y) + c2(t) sh(\t\y) = c2(t)sh(\t\y) =

( |t| V |t|4y5 \

Отсюда следует, что решение задачи Дирихле

u(x,y)=T^[U(t,y\(x,y) = 0. Аналогично рассматривается задача Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа с краевыми условиями

и(х, 0) = 0, иу(х,а) = 0.

После применения преобразования Фурье по х, получим уравнение (11) и краевые условия

и ( ) = 0, иу ( ^а) = 0 . (14)

Подставляя в (13) краевые условия (14), получим

^(О = 0, с2(ск{\г\а) = 0. Последнее уравнение эквивалентно уравнению

\г\с2(г) = о

и, следовательно,

и {г, у) = о

и решение задачи Дирихле-Неймана

и(х,у)=Т^[и(г,у\(х,у) = 0. Рассмотрим теперь полиномиальные решения краевых задач для уравнения Лапласа, к которым сводится решения краевых задач для уравнения Пуассона с полиномиальной правой частью.

Решения краевых задач для уравнения Лапласа

Рассмотрим уравнение Лапласа

А и(х, у) = 0, х £ Еп, 0 < у < а, (15)

и краевые условия Дирихле

и (х, 0) = <р (х) , и (х, а) = (х) , х £ Еп (16)

где полиномы.

В работе [9] показано, что если <р ( х) , ( х) — обобщенные функции медленного роста (в частности полиномы), то решение этой задачи записывается в виде свертки граничных функций с ядрами, являющимися фундаментальными решениями этой краевой задачи и ( х,у) = <р ф * Рп( | х | ,а -у) № * Рп( | х | ,у). (17)

Здесь Рп ( | х | ,а - у) , Рп ( | х | ,у) являются решениями уравнения Лапласа (15), удовлетворяющими краевым условиям соответственно

и (х, 0) = 5 (х) , и (х, а) = 0, х £ Еп, (18)

и (х, 0) = 0, и (х, а) = 5 (х) , х £ Еп, (19)

где -функция Дирака.

Решение (17) является единственными в классе функций медленного роста по х . Далее (см. разд. 4) показано, что оно являются полиномом, и дан алгоритм его нахождения.

Рассмотрим также задачу Дирихле — Неймана для уравнения (15) с краевыми условиями

и (х, 0) = <р 1(х) , иу (х, а) = 1(х) , х £ Еп , (20)

где полиномы.

В работе [8] показано, что если <р 1 (х) , 1(х) — обобщенные функции медленного роста (в частности полиномы), то решение этой задачи записывается в виде свертки гра-

ничных функций с ядрами, являющимися фундаментальными решениями этой краевой задачи

и(х,у) = <р х(х) * ( | х | ,у) + г/^х(х) * ¿п (| х | ,у) . (21)

Здесь ( | х | ,у) , ¿п ( | х | ,у) являются решениями уравнения Лапласа (15), удовлетворяющими краевым условиям соответственно

(22)

и (х,0 ) = 0, иу (х,а) = 5(х) , х е Еп. (23)

Решение (21) является единственными в классе функций медленного роста по х . В пункте 5 показано, что оно являются полиномом и дан алгоритм его нахождения.

Задача Дирихле

Применим преобразование Фурье по х к уравнению Лапласа (15) и краевым условиям (19), получим краевую задачу для ОДУ второго порядка (11) с краевыми условиями

и ( г, 0) = 0, и ( г, а) = 1 . (24)

Её решением будет функция

и (г.у) = Рп ( I г | = <25>

В случае краевых условий (18) получим функцию рп ( | г| ,а — у) . Применим к (25) обратное преобразование Фурье, получим фундаментальное решение задачи Дирихле (ядро Пуассона)

Рп ( | х | ,у) = 3- 1 ^ (х,у) = ^ г,^) е-"х аг, (26)

1 Г вЬ(|С|у)

(2тт)п ^^ зЬ(|С|а)

где

Переходя к сферическим координатам и обозначая получим

рп(г,у) = , (27)

где /п/2 - 1(^р) — функция Бесселя 1-го рода порядка V = п/ 2 — 1. Эта формула справедлива и при п = 1. При п = 1 интеграл (27) вычисляется в явном виде [9]

Р1 (х-у) = Р1 ( |х | .у)=П с.^нсйу/.) ' (28)

1 зт(лу/а)

Рх (х, а — у) = —

2а ск(лх/а) — соз(лу/а) Эта формула хорошо известна [11, с.187], [12]. В случае произвольной размерности п ядро Пуассона в виде (27) рассмотрено в [13]. В работе [9] получена рекуррентная по размерности формула

Рп+2 у) = — £.Рп ( г, у) . (29)

По этой формуле, например,

Р (\х\ V4) = — зт(пу/а)8Н(п\х\/а) 3 ( | | ,у) 4 а 2 | х | (е/1 (я | х | / а)+с о 5 (яу / а) ) 2 . ( )

Решение задачи Дирихле дается формулой (18), где <р (х) , V (х) - полиномы. Пусть тогда

и ( х, у) = V (х) * Рп ( | х | , у) = /Е„1/> ( о Рп ( | х - t | , у) а t = /Е„1/> (х - 0 Рп ( | t | , у) а t . (31) Покажем, что этот интеграл является полиномом и дадим алгоритм его вычисления. Для этого нам не потребуется явный вид ядра Рп ( | х | ,у) . Доказать, что интеграл (31) является полиномом от достаточно для монома Случай п = 1. Пусть

гр(1) = 1° = 1. Решением задачи Дирихле с краевыми условиями

и(х, 0) = 0, и(х,а) = 1, х £ Е,

будет функция

-СО г> со

мо(х'У) = I Pl(t,y)dt = Ит I Р1(^у)е1Х': dt =

5/1 (ху) у

= /¿т^Р^.уЖх.у) = Ит——Г = -. х->о х->о зпуха) а

Пусть теперь

гр(1) = 1к.

Решением задачи Дирихле с краевыми условиями

и(х, 0) = 0, и(х,а) = х^, х £ Е,

будет функция

00

^(х,у) = I (х - окр1(г,у) (И =

^ —оо

к к ¿00 '. ' . ' ^ —00

где С^ = —~ - биномиальные коэффициенты. Поскольку последний интеграл для

/0° у=о у=о

fe!

нечетных у равен нулю в силу четности Р^ t, у) по t, то

[к/2]

ик(х,у) = £ C2™xfc"2™ | t^P^t.y) dt,

т=О _0°

где [/с/ 2 ] — целая часть числа /с/ 2 . Пользуясь свойствами преобразования Фурье, получим

-СО г> со

/2т(у) = t2mPi{t,y) dt = lim t2mP1(t,y)eixt dt =

J-00 J-oo

= lim ТЛ^Р^уЖх.у) = (-1Г "ТТ^Т

x->o x->o dx/m shyxa)

Разложим в ряд по степеням х четную функцию s/i(xy)

5/l(xa) = со (у) + с2(у)х/ + ••• + с2т(у)хгт + ■■■.

Выполняя деление рядов, получим рекуррентные формулы для коэффициентов

с2т(У)

У

Со (У) =--а

1 /у3 а3 \ 1 _ С2(у) = а(,3!-3!Со(У^ = 3^(У Уа).....

С2- (у) — |^2ж-2(у) — 1Цт-4(у) — •••(а2+^^0(у))..... (32)

Из этих формул следует, что с2 т (у) являются полиномами от у и, следовательно, полиномами от являются

/2ж(у) = (-1)т(2ш)!с2т(у)

и решение задачи

[к/2]

ик(х,у) = £ С£тхк~2т/2т(у)

т=0

является полиномом от и

Запишем несколько первых полиномов /2 т (у) и решений ид.( х,у) :

/о (у) = ~~ <

/2(у) = -^(у2-а2), За

/4(у)=^(3у4-10у2а2 + 7а4),

/б(у) = (Зу6 - 21у4а2 + 49у2а4 - 31а6),

21а

/8(у) = ^ (5у8 - 60уба2 + 249у4а4 - 620у2аб + 381а8), /10(у) = ~ 55у8а2 + 462уба4 - 2046у4аб + 4191у2а8 - 2555а10).

ио (х> У) =

а

ху

%0,у) = —. У

«2 у) = (Зх2 - у2 + а2), За

ху

"з О. у) = — (х2 - у2 + а2), а

и4(х,у) = ¿(15х4 - 30х2у2 + 30х2а2 + Зу4 - 10у2а2 + 7а4),

XV

и5(х,у) = — (Зх4 - 10х2у2 + 10х2а2 + Зу4 - 10у2а2 + 7а4). За

Функции являются решениями уравнения Лапласа, удовле-

творяющими краевым условиям

рк(х,0) = х^, рк(х,а) = 0, х £ Е. Если функции и в краевых условиях являются произвольными полиномами

<р(х) = а0 + ахх + а2х2 + —I- акхк, гр(х) = Ь0 + Ьгх + Ъ2х2 + ••• Ьгхг,

то решением краевой задачи будет полином

и(х,у) = а0и0(х, а — у) + а^и^х, а — у) + —I- акик(х, а — у) + +Ь0щ(х,у) + Ъ-^и^х.у) + ••• + Ьгиг (х, у). Замечание 1. Полиномы /2 т (у) представляют собой точные значения интегралов

1 г00 *2гп зт(пу/а) , г л

Та!~^ (ЯХ/ а)+с05 (Яу / а) ах = ^т (у) , - а < у < а . (33)

Например,

1 Г00 х4 зт(пу/а) у „ _ _

— - -йх = (Зу4 - 10у а + 7а4).

2а )_соск{пх/а) + со5(пу/а) 15а

Учитывая, что

x2m sin(jzy/а) (1 х2т

= 1т { —

2а ch(nx/a) + cos(ny/a) [а епх1ае~ыУ1а + 1| выразим интеграл (33) через полилогарифм:

x2m sin(jzy/a)

1 Гс

2а J_

■dx =

ск(пх/а) + соз(пу/а)

к=1

и получим формулу суммирования тригонометрического ряда

1 „1(_1),-1£^ = _^/2т(у) _а < у < а. (34)

Например, для

00

, зт(ку) у п п

С-!)^1—^ = ^(Зу4 - Ютг2у2 + 7тг4), -л <у <п.

к=1

Аналогично получаются формулы

1 Гс

2а J_

x2m sin(jzy/а) , ch(nx/a) — cos(jzy/а)

^ = Í2m(« - У) -

vino sin(nky/a) n2m+1 r , ч ~ „

= 0<у<2а. (35)

Например,

00

Zsin(ky) у(7Г - у) _ _ , , _

—¿T^ = 720 (Зу3 - 12лу + 8тг2у + 8тг3), 0 < у < 2тг.

fc=i

В справочнике [14, с.726] суммы рядов (34) и (35) выражены через полиномы Бер-нулли.

Пример 1. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона Аи(х,у) = х4у3, —оо <х<оо, 0<у<1, u(x, 0) = 8х4 - 8х2 + 1, u(x, 1) = 8х4 - 8х2 + 1, -оо < х < оо. Частным решением уравнения Пуассона является функция

и задача Дирихле для уравнения Пуассона сводится к задаче Дирихле для уравнения Лапласа для функции v ( х,у) = и ( х,у) — и (х,у) :

Av{x,y) = 0, —оо <х<оо, 0<у<1, v(x, 0) = и(х, 0) - й(х, 0) = 8х4 - 8х2 + 1,

159 , 559 _ 2519 v(x,l)=u(x,l)-ü(x,l)=—x -—х

Решением этой задачи будет функция

v(x,y) = 8 и4(х, а — у) — 8 и2(х, а — у) + и0(х, а — у) +

159 559 2519

+ ~—и2(х,у) а = 1.

Решением исходной задачи будет функция

и(х,у) = v(x,y) + ü(x,y) =

11 1111

45 2 7 i 9 4 i 2 3 5.о4

= —x v--x v Н—z—V--x v Н--x v--V + 8х —

20 70 2520 20 10 10(Г

_ _ , 1677 559 , _ _ 239 —48х у + 8у + У - "з5"У3 - 8х2 + 8у2 - ^^У +

Замечание 2. Если искать полиномиальное решение задачи Дирихле в прямоугольнике 0 < х < Ь , 0 < у < а с полиномиальными граничными условиями, то задание полиномов на двух параллельных сторонах прямоугольника однозначно определяет полиномиальное решение задачи Дирихле в полосе и, следовательно, однозначно определяет полиномиальные граничные значения на двух других сторонах. Если на этих сторонах изначально были заданы другие полиномы, то полиномиального решения задачи Дирихле в прямоугольнике с этими граничными значениями не существует. Например, в прямоугольнике зададим на двух параллельных сторонах граничные условия , тогда единственным полиномиальным решением задачи Дирихле для полосы

Аи(х,у) = 0, —оо <х<оо, 0<у<1, и(х, 0) = х2, u(x, 1) = х2,

будет функция

u(x, у) = х2 — у2 + у, которая на двух других сторонах принимает значения

w(0, у) = -у2 + у, u(l, у) = 1 - у2 + у.

Если задать на этих сторонах другие значения, например,

и(0,у) = 0, и(1,у) = 1, то решение задачи Дирихле для прямоугольника (единственное) не будет многочленом.

Случай п > 1. Если

xp(t) = 1, te Rn, то решением задачи Дирихле с краевым условием

и(х, 0) = 0, и(х, а) = 1, хешп,

будет функция

щ(х,у) = PnQtl,y)dt = lim Pn(\t\,y)eixt dt =

JRn X^O JR7l

sh(\x\y) у

= limTt[Pn(\t\,y)](x>y) = Um = -.

x->o x^osh(\x\a) а

Если / ( t) = tk, где t G En, к — мультииндекс, то решением задачи Дирихле с краевыми условиями

и(х, 0) = 0, и(х, а) = хк, хеГ,

будет функция

ик(х,у) = (х — t)kPn(\t\,y) dt,

Jw1

где

(X - t) к = (хх - t!) k 1 . . . (xn - tn)k™ (36)

и этот интеграл будет отличен от нуля только для тех мономов полинома (36), которые содержат ty в четных степенях. Поэтому

«к(ху) = ЙкЯ Cfc2mxk - 2™ / t2-Pn ( I t I ,у) dt = Z;к=о] Cfc2mxk - 2-/2m (у) ,

где

n2m _ r2mlr2m2 r2mn

г/ci 1*11 vb n.n

[2] "l [2] f Ы , ... f i2j

}

Пользуясь свойствами преобразования Фурье [10], получим

/2т(у) = [ t2m^(|t|.y) dt = lim [ t2mPn(\t\,y) eixtdt =

JRn X^O JR7l

где

g2\m\

я 2m _ _

x a 2m, a 2m, a 2m„ öXj^ öx2 ...axn

= co(y) + c2(y)|x|2 + - + c2|m|(y)|x|2lml + - =

Имеем разложение зЪ. (|х|у) 5/г(|х|а)

= со (у) + с2(у)(х2 + - + X2) + - + с2|т|(у)(х2 + - + х2)1™1 +

Коэффициенты с2 | т |(у) находятся по формулам (32) и полиномы

. . (2гп)! |гп|! (2гп)! |гп|!

/2ж(У) = (-1)'т| ш, с2|т|(у) = —— /2|т|(у).

Например, /2 (2 ( х ( х ) (у) = (у) ■ Этот полином является точным значением интегра-

ла

-f

ia2 L

dx = -r=fB(y) =

x(4,2,2) 51п(ру/а} sh(n\x\/a) 1

-dx = —

x\(ch(n\x\/a) + cos(ny/a))2 35

(5y8 - 60y6a2 + 249y4a4 - 620y2a6 + 381a8).

Функции v к (х, у) = ик (х, а — у) являются решениями уравнения Лапласа, удовлетворяющими краевым условиям

vk(x,0) = хк, vk(x,á) = О, где хЕ!" , к — мул ьти и н д е к с.

Пример 2. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона Аи(х,у) = х3х|х3у3, х £ R3, 0 < у < 1, и(х, 0) = 0, и(х, 1) = 0, х £ Е3. Частным решением уравнения Пуассона является функция

111 1

й(х,у) = — Х^ХзУ5 X¡x3y7 Х!х|х3у7

и задача Дирихле для уравнения Пуассона сводится к задаче Дирихле для уравнения Лапласа для функции

Av{x, у) = 0, х £ Е3, 0 < у < 1, v(x, 0) = и(х, 0) — й(х, 0) = О, v(x, 1) = и(х, 1) — й(х, 1)

1 1 1 i

- -- - -\r ^ 'V*" -v* I __ -v* Л/* I __ -v* "V* __ _ "V 'V

- 20 + 420 + 140 2520 ^

Решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона будет функция

u(x,y) = ü(x,y) + v{x,y) = ü(x,y) —

1111

-^"(3,2Д)(Х'У) +^U(3,0,l)(x.y) =

1 1 111

= ^х1х2хзУ5 - ^х1х!хзУ - ^х1хзУ7 + ^х1хзУ3 - ^х1хзУ -

113 11

27 23 2 9 5

Х1Х2ХЗУ + ™Х1Х2ХзУ — ■^ТТХ1Х2ХЗУ + ПГОП х1хзУ "1ПП х1хзУ +

140 1 20 1 ^ ^ 2520 100

1 _ 239

+ 35Х1ХзУ " 12600^

Смешанная краевая задача Дирихле-Неймана

Решая уравнение (15) с краевыми условиями (22) и (23), получим соответственно

Кп(\х\,у) = ТГ1

ch(\t\(a-y))

Ln(\х\,у)=ТГ1

ch (|t|a) sh(\t\y)

Сx,y),

(х.у)

и решение задачи записывается в виде свертки (21), где <р х (х) , -^х) — полиномы. Это решение также является полиномом.

Случай п = 1. Так же как в случае задачи Дирихле показывается, что единственное решение смешанной краевой задачи, определяемое сверткой (21), является полиномом. Имеем

[к/2]

ик(х,у) = хк * Кг(х,у) = £ C2mxk~2mp2m(y),

т=О [1/2]

17г(х,у) = X1 *L1(x,y) = ^ C2mXl~2m q2m(.y)>

т=О

где р 2 т (у) и q 2 т (у) — полиномы от у, производящие функции которых

ch(t(a — у)) у (-lyn^n

ch (ta) - LVlm{y) (2m) ! '

m=0

sh(ty) _ Y (-1)™г;2т

t ch(ta) - Z q2m(y) (2m)! '

m=0

Приведем несколько первых полиномов и соответствующих решений краевой задачи

Ро(у) = 1.

Pz(y) = "У2 + 2 ау,

Р4(у) = у4 - 4ау3 + 8а3у,

р6(у) = -у6 + бау5 - 40а3у3 + 96а5у,

Ре (у) = У8 - 8ау7 + И2а3у5 - 896а5у3 + 2176 а7у,

р10(у) = -у10 + Юау9 - 240а3у7 + 4032а5у5 - 32640а7у3 + 79360а9у-

"о (Х.У) = 1.

"i(x,y) = х,

и2(х,у) = х2 — у2 + 2ау,

щ(х,у) = х3 — Зху2 + баху,

и4(х,у) = х4 — 6х2у2 + 12ах2у + у4 — 4ау3 + 8а3у,

и5 (х,у) = х5 — 10х3у2 + 20ах3у + 5ху4 — 20аху3 + 40а3ху.

Чо(у) =У> 1

ЧгЬ) = -3У3 + а2 у, 1

Ча(у) = ^У5 - 2а2у3 + 5а4у, 1

<7б(у) = - уУ7 + За2у5 - 25а4у3 + 61абу,

1 „ _ . _ 1708 , » 0

<7в(у) = g У9 - 4а у + 70а4у5 - — а6у3 + 1385а8у,

1

q10(y) = -^У11 + 5а2У9 - 150а4у7 + 2562абу5 - 20775а8у3 + 50521а10у-

v0(.x, у) = у, v± (х,у) = ху, 1

v2(x,y) = Х2у--у3 + а2у, 173(х,у) = х3у — ху3 + За2ху,

v4(x,y) = x4y — 2 x2y3 + 6 a2x2y + -y5 — 2 a2y3 + 5 a4y, 10

Vs(x,y) = x5y —— x3y3 + 10a2x3y + xy5 — 10a2xy3 + 25a4xy.

Случай n > 1. В этом случае получаем формулы аналогичные формулам, приведенным для решения задачи Дирихле.

Пример 3. Рассмотрим смешанную краевую задачу Дирихле-Неймана для уравнения Пуассона

Аи(х, у) = х3х|х3у3, х £ Е3, 0 < у < 1, и(х, 0) = 0, иу(х, 1) = 0, х £ R3.

Частным решением уравнения Пуассона является функция

111 1

й(х,у) = — x¡x¡x3y5 -— x¡x3y7 -— х!х|х3у7 + ^^х1хзУ9

и задача Дирихле-Неймана для уравнения Пуассона сводится к задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа для функции v(x,y) = и(х,у) — й(х,у):

Av(x, у) = 0, х £ Е3, 0 < у < 1, v(x, 0) = и(х, 0) — й(х, 0) = 0, vy(x, 1) = иу(х, 1) — üy(x, 1) =

111 1

о у о у

- -- - 'v ^ 'V*" 'V* I _ 'V* 'V* I _ 'V 'V* ^ Л/* _ __ Л/"

— ^xix2x3 ' S0 20 280

Решением задачи Дирихле — Неймана для уравнения Пуассона будет функция u(x,y) = ü(x,y) + v{x,y) = ü(x,y) —

1111

-4^(3,2,l)(x.y) +^V(3,o,i)(x,y) + —17а2Д)(х,у) - —17(1Д1)(х,у) =

1 1 117

= ^х1х2хзУ5 - 4Х1Х!ХЗУ - ^х1хзУ7 + ^х1хзУ3 - ^х1хзУ -

12712372 1 9 1 5

— "^^х1х2хзУ + ^х1х2хзУ —"^х1х2хзУ + 2520XlXзУ ~~ 20Х1ХзУ +

7 _ 323

+ ——XiX3y — 7^з:х1хзУ ■

15 ^ 280 ^ Заключение

В работе рассмотрены задачи Дирихле и Дирихле — Неймана с полиномиальными граничными условиями для уравнения Пуассона с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое. Показано, что единственным решением этих задач в классе функций медленного роста является полином. Дан алгоритм построения этого полинома и рассмотрены примеры. В частности рассмотрены примеры точных значений некоторых одномерных и многомерных интегралов, являющиеся многочленами от параметров, от которых зависят интегралы и примеры точных значений сумм некоторых тригонометрических рядов.

Из полученных результатов также следует, что если искать полиномиальные решения указанных задач в прямоугольнике на плоскости, то задание полиномиальных граничных значений на двух параллельных сторонах прямоугольника однозначно задает полиномиальные граничные значения на двух других сторонах и если изначально заданные на этих сторонах полиномы другие, то полиномиального решения задачи для прямоугольника не существует.

Список литературы

1. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 4-е изд. М.: Наука, 1966. 443 с.

2. Стейн И.М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 a[Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. 297 p.].

3. Никольский С.М. Краевая задача для многочленов // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 223-236.

4. Никольский С.М. Еще о краевой задаче с многочленами // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 286-288.

5. Карачик В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170. DOI: 10.7868/S0044466914070072

6. Волков Е.А. Критерий разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на специальных треугольниках и прямоугольнике в алгебраических многочленах // Тр. Математического ин-та им. В.А.Стеклова. 1999. Т. 227. С. 122-136.

7. Волков Е.А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Тр. Математического ин-та

им. В.А.Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.

8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13

9. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э.Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 41-53.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

10. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 318 с.

11. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 575 с.

12. Widder D.V. Functions harmonic in a strip // Proc. of the Amer. Mathematical Soc. 1961. Vol. 12. No. 1. Pp. 67-72. DOI: 10.2307/2034126

13. Brawn F.T. The Green and Poisson kernels for the strip Ш.п x ] 0, 1 [ // J. of the London Mathematical Soc. 1970. Vol. 2. Iss. Pt. 3. Pp. 439-454. DOI: 10.1112/jlms/2.Part 3.439

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 798 с.

Mathematics & Mathematical Modelling

Electronic journal http://mathmelpub.ru

Mathematics and Mathematical Modeling, 2017, no. 06, pp. 1-18.

DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082

Received: 05.11.2017

© NP "NEICON"

Polynomial Solutions of the Boundary Value Problems for the Poisson Equation in a Layer

O.D. Algazin ' mopifi 6 igv andgx-ru

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: Poisson equation, Dirichlet problem, mixed Dirichlet-Neumann boundary value problem, polynomial solutions

It is well known that the Dirichlet problem for the Laplace equation in a ball has a unique polynomial solution (harmonic polynomial) in the case if the given boundary value is the trace of an arbitrary polynomial on the sphere. S.M.Nikol'skii generalized this result in the case of a boundary value problem of the first kind for a linear differential self-adjoint operator of the order 2 I with constant coefficients (in particular polyharmonic) and for a domain that is an ellipsoid in Rn. For a polyharmonic equation in a ball (homogeneous and inhomogeneous), V.V. Karachik proposed the Almansi formula-based algorithm to construct a polynomial solution of the Dirichlet problem.

The paper considers the Poisson equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional infinite layer bounded by two hyper-planes. Shows that the Dirichlet boundary value problem and the mixed Dirichlet-Neumann boundary value problem with polynomial boundary conditions have a unique solution in the class of functions of polynomial growth, and this solution is a polynomial. Gives an algorithm for constructing this polynomial solution and considers examples. In particular, presents formulas to give exact values of certain integrals (including multi-dimensional ones) and sums of trigonometric series.

References

1. Sobolev S.L. Uravneniia matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. 4th ed. Moscow: Nauka Publ., 1966. 443 p. (in Russian).

2. Stein E.M., Weis G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. 297 p. (Russ. ed.: Stein E.M., Weis G. Vvedenie v garmonicheskij analiz na Evklidovykhprostranstvakh. Moscow: Mir Publ., 1974. 333 p.).

3. Nikol'skij S.M. A boundary value problem for polynomials. Trudy Matematicheskogo instituta im. V.A.Steklova [Proc. of the Steklov Institute of Mathematics], 1999, vol. 227, pp. 217-230.

4. Nikol'skij S.M. More on a boundary-value problem with polynomials. Trudy Matematicheskogo instituta im. V.A.Steklova [Proc. of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 232, pp. 278-280.

5. Karachik V.V. Construction of polynomial solutions to the Dirichlet problem for the polyharmonic equation in a ball. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, vol. 54, no. 7, pp. 1122-1143. DOI: 10.1134/S0965542514070070

6. Volkov E.A. Criterion of solvability for boundary value problems for the Laplace and Poisson equations on special triangles and a rectangle in algebraic polynomials. Trudy matematicheskogo instituta im. V.A.Steklova [Proc. of the Steklov Institute of Mathematics], 1999, vol. 227, pp. 116-130.

7. Volkov E.A. On the solvability in the class of polynomials of the Dirichlet problem for the Laplace equation on an arbitrary polygon. Trudy matematicheskogo instituta im. V.A.Steklova [Proc. of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 232, pp. 96-108.

8. Algazin O.D., Kopaev A.V. Solution of the mixed boundary-value problem for Laplace equation in multidimensional infinite layer. Vestnik of the Bauman MGTU. Ser.: Estestvennye nauki [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural Sciences], 2015, no.1, pp. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13 (in Russian)

9. Algazin O.D., Kopaev A.V. Solution of the Dirichlet problem for the Poisson's equation in a multidimensional infinite layer. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU], 2015, no. 4, pp. 41-53.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943 (in Russian)

10. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoj fizike [Generalized functions in mathematical physics]. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1979. 318 p (in Russian).

11. Polianin A.D. Spravochnik po linejnym uravneniiam matematicheskoj fiziki [Handbook of linear equations of mathematical physics]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2001. 575 p. (in Russian).

12. Widder D.V. Functions harmonic in a strip. Proc. of the Amer. Mathematical Soc., 1961, vol. 12, no. 1, pp. 67-72. DOI: 10.2307/2034126

13. Brawn F.T. The Green and Poisson kernels for the strip . J. of the London Math-ematicalSoc., 1970, vol. 2, iss. pt. 3, pp. 439-454. DOI: 10.1112/jlms/2.Part 3.439

14. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i riyady. Elementarnye funktsii [Integrals and series. Elementary functions]. Moscow: Nauka Publ., 1981. 798 p. (in Russian).