Полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Трикоми в полосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. 2018. № 03. С. 1-12

Б01: 10.24108/шаШш.0318.0000120

Представлена в редакцию: 08.05.2018

© НП «НЕИКОН» УДК 517.958

Полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Трикоми в полосе

Алгазин О.Д.1'* пшШш^

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Рассмотрено неоднородное уравнение Трикоми в полосе с полиномиальной правой частью. Показано, что краевая задача Дирихле с краевыми условиями, содержащими полиномы в правых частях, имеет полиномиальное решение. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. Если полоса лежит в области эллиптичности уравнения, то это решение единственно в классе функций медленного роста. Если полоса лежит в области смешанного типа, то решение задачи Дирихле не единственно в классе функций медленного роста.

Ключевые слова: уравнение Трикоми, задача Дирихле, преобразование Фурье, обобщенные функции медленного роста, полиномиальные решения

Введение

Уравнение

У^-ХХ Иуу 0

впервые было рассмотрено Ф.Трикоми [1-3] и в дальнейшем получило его имя. Это уравнение эллиптического типа в верхней полуплоскости у > 0, гиперболического типа в нижней полуплоскости у < 0 и параболически вырождается на прямой у = 0 . Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газовой динамике [4-6]. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в области, в которой уравнение имеет смешанный тип, вообще говоря, поставлена некорректно [7]. Поиску условий корректности постановки задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в области, в которой уравнение имеет смешанный тип, посвящено много работ, например [8-11].

Данная работа посвящена отысканию полиномиальных решений неоднородного уравнения Трикоми в полосе с полиномиальной правой частью. С помощью преобразования Фурье аналогично тому, как это ранее сделано в [12] для уравнения Пуассона, показано, что краевая задача Дирихле с полиномиальными краевыми условиями имеет полиномиальное решение. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. Если полоса лежит в области эллиптичности уравнения, то это ре-

Математика к Математическое

моделирование

ЬИр^/Лпа!hmeipub.ru 2412-5911

шение единственно в классе функций медленного роста по х. Если полоса лежит в области, в которой уравнение имеет смешанный тип, то решение задачи Дирихле не единственно в классе функций медленного роста по х.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу Дирихле для неоднородного уравнения Трикоми с полиномиальной правой частью в полосе

уи** (х,у) + иуу (х,у) = Р (х,у) , х£1, а < у < Ъ, (1)

с краевыми условиями I рода на границе полосы

и (х, а) = <р (х) , и (х, Ъ ) = (х) , х£1, (2)

где Р (х, у) — полином от переменных х и у, <р (х) и (х) — полиномы от х.

Если известно некоторое полиномиальное решение неоднородного уравнения Трикоми (1), то задача Дирихле (1)-(2) сводится к задаче Дирихле для однородного уравнения Трикоми. Действительно, пусть й (х, у) — некоторое полиномиальное решение уравнения Трикоми (1), тогда для функции V ( х, у) = и ( х, у) — й ( х,у) получаем однородное уравнение Трикоми

у V** (х,у;) + ( х,у) = 0, а < у < Ъ , (3)

и краевые условия I рода

V (х, а) = <р (х) — й (х, а) , V (х, Ъ ) = ^ (х) — й (х, Ъ ) . (4)

Решив задачу Дирихле для однородного уравнения Трикоми (3),(4), мы получим решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения Трикоми (1),(2) по формуле

и(х,у) = г?(х,у) + й(х,у).

Полиномиальные решения и (х, у) задачи Дирихле (1),(2) принадлежат классу функций медленного роста по переменной при каждом фиксированном из интервала , т.е. при любом найдется такое что

г. 00

I |и(х,у)| (1 + х2Утйх < 00, (5)

^ —00

и, следовательно, как функции переменного при каждом фиксированном принадлежат пространству обобщенных функций медленного роста 5' ( М) . Поэтому к ним можно применить преобразование Фурье для обобщенных функций медленного роста по переменной х [13].

2. Полиномиальное решение неоднородного уравнения Трикоми

Уравнение Трикоми с полиномиальной правой частью Р ( х, у) ,

уихх{х,у) +иуу(х,у) = Р(х,у), имеет полиномиальные решения, одно из которых можно получить по приводимой ниже формуле. Эту формулу достаточно привести для монома Р (х, у) = хпут . Частным решением уравнения Трикоми с правой частью будет функция

[n/2]

Z. n! (m - 1)! Ui-nOn +

f—IV--- ^fc-QV-£ m+3;+2 n-2y /-gA

1 J (m + 3y + 2)! (n — 2y)! ' W

где [п/ 2 ]— целая часть числа п / 2 .

Справедливость формулы (6) доказывается непосредственной проверкой равенства

уйхх{х,у) + йуу = xnym.

Например, для

Р(х,у) = х5у7 решением, полученным по формуле (6), будет полином

15 1

й(х, у) = — Х5у9 — Х3у12 + 4 ^ 72 ' 2376 ' 16632 '

3. Задача Дирихле для полосы, лежащей в области эллиптичности

Рассмотрим полосу 0 <у <Ъ, в которой уравнение Трикоми эллиптично и параболически вырождается на граничной прямой у = 0. Поскольку решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения сводится к решению задачи Дирихле для однородного уравнения, рассмотрим задачу Дирихле для однородного уравнения

у ихх (х,у) + иу у (х,у) = 0 , 0 < у < Ъ , (7)

и (х, 0 ) = р (х), и (х,Ъ) = р (х), (8)

где и полиномы.

Применим преобразование Фурье для обобщенных функций медленного роста по переменной х к уравнению (7) и краевым условиям (8), обозначив

ТхЫх ,y)](t,y) = t/(t,y). Получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с параметром

—г2уU(t , у) + U уу(t , у) = 0, 0 < у < Ъ, (9)

U (t, 0) = Ф ( t) , U ( t, Ъ )=W (t). (10)

Уравнение (9) — это уравнение Эйри, его общее решение выражается через функции Эйри [14,15]

U(t,y) = Cl(t)Ai(t2/3y) + c2(t)Bi(t2/3y).

Функции Эйри и являются целыми функциями комплексного переменно-

го и разлагаются в ряды, сходящиеся во всей комплексной плоскости,

Ai(z) = aj{z) - a2g(z), Bi(z) = ylb(aj{z) - a2g(z)), 1 1-4 , 1-4-7 „ V"1 , /1\ z3fc

1 , 1 • 4 £ 1 • 4 • / n V , /1\

/(Z) = 1 + -Z3 +.— z* + yj z9 + - = 2, 3* (-)

k=0

00

2 , 2-5 , 2-5-8 ,„ V , /2\

ew = » + üz +—z +^ÖTZ + - = Z 3 (3)

где (х) k — символ Похгаммера:

(Зк + 1)!'

k=0

Г(х + к)

, Г(х) '

т= 1

(х)к = ]^[(х + гп - 1) =

Bi(0) 1 Bi'(O)

= Ai(O) = —^ = , . , а2 = —Ai (О) =

л/3 32/3Г(2/3) ' ' л/3 31/3Г(1/3) '

Используя краевые условия (10), получим единственное решение краевой задачи (9),

(10)

= К^уЖО + 1(^уЖ0, (11)

где

^(t, у) =

L(t,y) =

Ai(0)Bi(t2/3b) - Bi(0)Ai(t2/3b) ' Ai(0)Bi(t2/3y) - Bi(0)Ai(t2/3y)

А1(0)В1(г;2/3Ь) - В1(0)А1(*;2/3Ь)' Применяя обратное преобразование Фурье, получим единственное в классе функций медленного роста решение задачи Дирихле (7),(8) в виде свертки

и(х,у) = ^(х,у) * ^(х) + /(х,у) * ^(х), (12)

где

/с(х,у) = ТГ^К&у)), 1(х,у) = ТГ^Ш.у)). Чтобы найти свертку (12) с полиномами ф(х) и ^(х) достаточно рассмотреть случай

монома хп.

у) и ¿(^у) как функции переменного t бесконечно дифференцируемые и быстро убывающие, то есть принадлежат пространству £(№), а, следовательно, и ^(х, у) и /(х,у) как функции переменного х принадлежат пространству £(№), поскольку преобразование Фурье переводит £(М) в себя. Кроме того, ^(^у) и ¿(^у) — четные функции переменного t и, следовательно, ^(х, у) и /(х,у) — четные функции переменного х.

Решением задачи Дирихле (7), (8) с ф(х) = 0, ^(х) = хп будет функция

г. 00

17п(х,у) = /(х,у) * хп = I (х — г)п1(г,у) dt =

¿ — оо

П 71

= [ У с1хп-Н1(-\у 1(г,у)йг = У с1хп~1 (—1)1 [ гП(г,у) йг, ¿ — 00 '. ' . ' ^ —00

У=0 у=0

где С^ = , — биномиальные коэффициенты. Поскольку последний интеграл для нечетных } равен нулю в силу четности /(^у) по ^ то

[п/2]

*п(х,у) = £ С2тхп~2т I t2ml(t,y) dt,

m=0

где [n/2] — целая часть числа n/2. Пользуясь свойствами преобразования Фурье, получим

-СО г> со

<?2m(y) = t2ml(t,y) dt = lim t2m l(t,y)eixt dt =

j-00 J-00

= lim ^t[t2m/(t,y)](x,y) = (-1)™ L(x,y).

x->0 x->0 OX

Так же, как в работе [12], показывается, что ц2т (у) являются полиномами от у и Ь ( ^у) является их производящей функцией,

А1(0)В1(?2/3у) - В1(0)А1^2/Зу) ^ (-1 )mt2m

L(t,y) = Ai(0)Bi(t2/3b) - Bi(0)Ai(t2/3b) = Z q2m(y) (2т)! "

т= О

Действительно, имеем

1 t2/3 v /2\ t2fcv Ai(0)Bi(t2/3y) - Bi(0)Ai(t2/3y) = -g(t2/3y) =-> 3fc(-) 7

71 71 ¿-^ \i/fc

( L ~1У + 4!

k=0

t2y4 + ^ t4y7 + f V° +

(3fc + 1)!

t2/3 / 2 „ „ 2 • 5 _ 2-5-8

7Г V 4! 7! 10!

и

¿(t,y) = = c0(y) + c2(y)t2 + c4(y)t4 + - + c2m(y)t2m + -

разлагается в ряд по четным степеням t. Покажем, что функции с2 т (у) являются полиномами от у. Имеем равенство

2 2-5 2-5-8

у Н--1 у +-1 у +-1 у + ••• =

4! 7! 10!

(b+~t+__t4b7 +___t6b10 + ...)(Со(у) + С2(y)t2 + C4(y)t4 + C6(y)t6 ...)■

Приравнивая коэффициенты при равных степенях t в левой и правой частях этого равенства, получим рекуррентные формулы для с2 т (у) , из которых будет видно, что функции с2 т (у) являются полиномами:

У = Ьс0(у), с0 (у) = У~,

2 4 2 , 2 , , у(у3 - Ь3) Ьс2(у) + с0(у) —Ь4 = —у4, с2(у) = — (у4 - с0(у)Ь ) =-—-

и т.д. Таким образом, с2т (у) и, следовательно, q2 т (у) = (—1 ) т ( 2 т) ! с2т (у) являются полиномами от

Приведем несколько первых полиномов q 2 т (у) и соответствующих решений задачи Дирихле ( х, у).

<7о(у) = Ч2(У) У3) ' Ч*(У) = ¿(2У6 - 7Ь3у3 + 5Ь6),

<7б(у) = ¿¡fib (_4у9 + З°й3у6 " 75й6у3 + 49й9)'

<7в(у) = aZ„ (28у12 - 364Ь3у9 + 1950Ь6у6 - 4459Ь9у3 + 2845Ь12), 4914Ь

<7ю(у) = (—7у15 + 140Ь3у12 - 1300Ь6у9 + 6370Ь9у6 - 14225Ь12у3 + 9022b15).

3276Ь

v0(x,y) .у) =-^-.v2(x,y) =^(6х2 - у3 + Ь3),173(х,у) = - у3 +b3)'

174(х,у) = -^-(42х4 - 42х2у3 + 42х2Ь3 + 2у6 - 7Ь3у3 + 5Ь6), 42Ь

175(х,у) = - 70х2у3 + 70х2Ь3 + 10у6 - З5й3у3 + 25Ь6).

Аналогично, решением задачи Дирихле (7), (8) с ф(х) = хп, ^(х) = 0 будет функция

[п/2]

мп(Х'У) = ^ С^тХП 2т Р2т(.У)>

т=О

где р2т(у) —полиномы от у, производящая функция которых есть ^(t,y),

_ Ai(t2/3y)Bi(t2/3b) - Bi(t2/3y)Ai(t2/3b) _ у (-1 )mt2m

К(-1'У) ~ Ai(0)Bi(t2/3b) - Bi(0)Ai(t2/3b) ~ Z P2m(y) (2m)! "

m=0

Приведем несколько первых полиномов р2т(у) и соответствующих решений задачи Дирихле ип(х,у).

Ро(у) = Р2(У)=^(У3-2ЬУ2+Ь3),

р4(у) = + 28ЬУ5 - 35Ь3у3 + 17Ь6),

Рб(у) = (4у9 - 14Ьу8 + ЗОЬ3у6 - 51Ь6у3 + 31Ь9) 252Ь

р8(у) = гдПУг^ (—308у12 + 1274Ьуп - 4004Ь3у9 + 14586Ь6у6 - 31031 Ь9у3

J 1 U J I X/

+ 19483Ь12),

Рю(у) = (77у15 - 364Ьу14 + 1540Ь3у12 - 9724Ь6у9 + 44330Ь9у6

ЗбОЗбЬ

- 97415Ь12у3 + 61556Ь15).

Ь — у х(Ь — у) щ(х,у) = Щ(Х>У) =-£--

1

и2(х,у) = тт(~6х2У + 6х2Ь + у4 — 2Ьу3 + Ь3у), ob

х

и3(х,у) = 2х2у + 2х2Ь + у4 — 2Ьу3 + Ь3у),

1

u4(x,y) = (~210х4у + 210х4Ь + 210х2у4 - 420х2у3Ь + 210х2уЬ3 - 10у7 + 28Ьу6 - 35Ь3у4 + 17Ь6у) и5(х,у) = ^(_42х4У + 42х4Ь + 70х2у4 - 140х2у3Ь + 70х2уЬ3 - 10у7 + 28Ьу6 - 35Ь3у4+ 17Ь6у). Пример 1. Рассмотрим задачу Дирихле для неоднородного уравнения Трикоми

уихх{х,у) + иуу(х,у) = 2х2у3 — 18х3у4, i£l, 0 < у < b,

и(х, 0) = 0, и(х, Ъ) = 0, х £ Е. Неоднородное уравнение имеет полиномиальное решение, которое находится по формуле (6):

3 111

й(х,у) = -~х3у6 +jfiX2y5 + мхУ9 ~280У8

и задача Дирихле для неоднородного уравнения сводится к задаче Дирихле для однород-

ного уравнения для функции у(х, у) = и(х, у) — й(х,у):

yvxx(x>y) + Vyy(x,y) = 0, xel, 0 < у < b,

v(x, 0) = u(x, 0) — u(x, 0) = 0,

3 111

v(x,b) = u(x,b) — u(x,b) = —b6x3--b5x2--b9x H--b8

y J K J 5 10 20 280

Решением задачи Дирихле для неоднородного уравнения будет полином

и(х,у) = й(х,у) + v(x,y) =

ЗЬ6 Ь5 Ь9 Ь8

= й(х,у) +— 173(х,у) -— 172(х,у) -— (х, у) +— М*. У) =

У ^' ,3„5 I :nA(,5v3 I QAv2„4 _ 0Д1,4Т2 i Л9г„8 _

■(—504х3у5 + 504Ь5х3 + 84х2у4 - 84Ь4х2 + 42ху£

840

-252Ь5ху3 + 210Ь8х - Зу7 + 14Ь4у3 - lib7).

4. Задача Дирихле для полосы в области со смешанным типом

Рассмотрим полосу - а < у < а, в которой уравнение Трикоми имеет смешанный тип. Приведем полиномиальное решение задачи Дирихле

уихх(х,у) + иуу(х,у) = 0, — а < у < а, (13)

и (х,— а) = р (х), и (х,а) = р (х), (14)

где р (х) и р(х) — полиномы.

Аналогично изложенному в предыдущем пункте, решением задачи Дирихле (13),

(14) с р (х) = хп,р (х) = 0 будет функция

[п/2]

ип(х,у) = ^ С^тХп 2т Р2т(.у)>

т=0

где р 2 т (у) — полиномы, производящая функция которых

Ai(t2/3y)Bi(t2/3a) - Bi(t2/3y)Ai(t2/3a) _ у (-l)™t2m

Ai(—t2/3a)Bi(t2/3a) - Bi(-t2/3a)Ai(t2/3a) ~ 2-, P2m^ (2m)! '

m=0

Приведем несколько первых полиномов р2т (у) и соответствующих решений задачи Дирихле ип (х, у). Чтобы подчеркнуть их зависимость от параметра а, будем в случае необходимости писать р2т (у, а) и ип (х, у, а):

Ро^ = ~2а~' Vl^ = ~ 2ау3 + 2а3у ~ ü

1

р4(у) = + 14ay6 - 35a3y4 + 35a4y3 - 30a6y + 21a7),

1

p6(y) = У10 - 7ay9 + 30a3y7 - 42a4y6 + 90a6y4 - 126a7y3 + 103a9y - 50a10).

a — у x(a — y)

щ O.y) = щ(х>у) = ——'

1

u2(x,y) =-(—6 x2y + 6ax2 + y4 — 2ay3 + 2a3y — a4),

12a x

u3(x, y) = — (—2x2y + 2ax2 + y4 — 2ay3 + 2a3y — a4). 4a

Решением задачи Дирихле (13), (14) с ф(х) = 0, 'ф(х) = хп будет функция

[п/2]

Рп(х,у) = ^ СптХп~2т Ц2т(у)'

т=О

где Ц_2т(у) — полиномы, производящая функция которых

А1(г;2/3а)ВК-г;2/3а) - В1(г;2/3аЖ-г;2/3а) ~ ¿и Ч2т(у) (2гп)! "

т=О

Поскольку производящая функция для полиномов Ц2т(у) получается из производящей функции для полиномов р2т(у) заменой а на -а, то и сами полиномы Ц2т(у) получаются из полиномов р2т(у) заменой а на - а, Ц2т(у,а) = р2т(у,—а). То же замечание относится и к соответствующим решениям задачи Дирихле:

рп(х,у, а) = ип(х,у, —а). Пример 2. Рассмотрим задачу Дирихле для неоднородного уравнения Трикоми уихх(х,у) + иуу(х,у) = 2х2у3 — 18х3у4, х£Е,— а < у < а и(х, —а) = 0, и(х, а) = 0, х £ Е. Неоднородное уравнение имеет полиномиальное решение, которое находится по формуле (6):

3 111

й(х,у) = -~х3у6 + ^х2у5 + 20ХУ9 ~~ 280у8

и задача Дирихле для неоднородного уравнения сводится к задаче Дирихле для однородного уравнения для функции у(х,у) = и(х,у) — й(х,у):

укхх(х,у) + руу(х,у) = 0, х £ Е, — а < у < а,

3 111

р(х, —а) = и(х, —а) — й(х, —а) = — а6х3 + — а5х2 + — а9х + —— а8,

5 10 20 280

3 111

р(х, а) = и(х, а) — й(х, а) = — а6х3 — — а5х2 — — а9х + —— а8.

5 10 20 280

Решением задачи Дирихле для неоднородного уравнения будет полином

и(х,у) = й(х,у) + р(х,у) =

3 , 1 _ 1 _ 1 _

= й(х,у) +-аьи3(х,у,а) + — аьи2(х,у, а) + — ачщ(х, у, а) + —ави0(х,у, а) +

3 , 1 ч 1 _ 1 _

+ — а и3(х,у, —а) - — аьи2(х,у,-а) - — а?их(х,у,-а) + — ави0(х,у, -а) =

3 3 11 1 3 11

= х3у6 +-а6х3 +— х2у5 - — а4х2у + ^ХУ9 - ^а6ху3 + ^а8*У -

11 11

--у8 Н--а4у4--а8.

280 60 7 840

5. О единственности решения задачи Дирихле

Если искать решение задачи Дирихле для полосы - а < у < а в классе функций медленного роста, то решение не единственно. К указанному в пункте 4 полиномиальному решению можно прибавить любое решение вида

(с! sin(^/2x) + c2 cos(i/k/2x))(Bi(ixky)Ai(-ixka) - Ai(/ifcy)Bi(-/ifca)), где сг, c2 — произвольные постоянные, а — любой положительный корень уравнения

Ai(—/¿a)Bi(/*a) — AiGua)Bi(—¡¿а) = 0.

Приведем несколько первых положительных корней этого уравнения при а = 1 (приближенные значения):

= 2.340667730, ¡л2 = 4.087953380, = 5.520559835, = 6.786708090,

= 7.944133587.

Можно предположить, что полиномиальное решение будет единственным в классе полиномов. Приведем основания для такого предположения.

Для доказательства единственности полиномиального решения в классе полиномов достаточно показать, что если полином удовлетворяет однородному уравнению

Трикоми

уРхх{х,у) + Руу (,Х, у) = 0 (15)

и однородным граничным условиям

Р (х, - а) = 0, Р (х, а) = 0, (16)

то он тождественно равен нулю, Р (х,у) = 0 . Учитывая граничные условия (16) будем искать полином, удовлетворяющий уравнению (15) в виде

Р(х,у) = (а2-у2Жх,у), где Q (х , у) = £U=о шк (х, у) — произвольный полином степени п; шк(х,у) = £ i+т=к аi m х 1ут — однородный полином степени к.

Для небольших п легко проверить, что подставляя полином Р(х,у) в уравнение (15) и приравнивая к нулю коэффициенты при различных мономах х 1ут, получим, что все коэффициенты полинома равны нулю и, следовательно, :

1) при п = 0

Р(х,у) = (а2 - у2)ш0(х,у) = (а2 - у2)а0,0 , уРхх + Руу = -2а0,0 = 0 => Р(х,у) = 0,

2) при п = 1

Р(х,у) = (а2 - у2)(ш0(х,у) + ш^х.у)) = (а2 - у2)(а0,0 + а1<0* + аоду), уРхх + Руу = -2а0,0 - 2ах 0х - 6а0Ду = 0 => а0,0 = а1<0 = аод = 0 => Р(х,у) ее 0.

На компьютере это утверждение проверено для полиномов до степени п = 8 0 .

Заключение

С помощью преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста получены полиномиальные решения задачи Дирихле в полосе для неоднородного уравнения Трикоми с полиномиальной правой частью и граничными условиями с полиномиальными правыми частями. Этим же методом могут быть получены полиномиальные решения и других краевых задач для уравнения Трикоми в полосе. Например, смешанной краевой задачи Дирихле — Неймана.

Список литературы

1. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine, di tipo misto// Rend. Reale Accad. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (5), 1923. Vol. 14. P. 134-247.

2. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. M.-Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.

3. Смирнов M.M. Уравнения смешанного типа. M.: Наука, 1970. 295 с.

4. Берс Л. Mатематические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. M.: Изд-во иностранной литературы, 1961. 208 с.

5. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. M.: Наука, 1973, 712 с.

6. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. M.: Наука, 1981. 448 с.

7. Бицадзе A.B. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях // Доклады Aкадемии наук. 1958. Т. 122. № 2. С. 167-170.

8. Нахушев A.fr Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190-191.

9. Хачев M.M. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998.

10. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Доклады Aкадемии наук. 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.

11. Солдатов A.fr О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Труды MHAR. 2012. Т. 278. С. 242-249.

12. Aлгазин О.Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Mатематика и математическое моделирование. 2017. № 6. С. 1-18.

DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082

13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. M.: Наука, 1979. 318 с.

14. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-Л.: Физматлит, 1963. 359 с.

15. Aбрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. M.: Наука, 1979. 832 с.

Mathematics & Mathematical Modelling

Mtptfrrtaihmefcub m ISSN 2412-5911

Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 03, pp. 1-12.

DOI: 10.24108/mathm.0318.0000120

Received: 08.05.2018

© NP "NEICON"

Dirichlet Problem Polynomial Solutions for the Tricomi Equation in a Strip

O.D. Algazin1'* 'mopiOGigyandexju

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: Tricomi equation, Dirichlet problem, Fourier transform, generalized functions of slow growth, polyno-mial solutions

In the paper we consider a Tricomi equation of mixed type. This equation is elliptic in the upper half-plane, hyperbolic in the lower half-plane and parabolically degenerate on the boundary of half-planes. Equations of mixed type are used in transonic gas dynamics. The Dirichlet problem for an equation of mixed type in a mixed domain is, in general, ill-posed. There are many papers on finding conditions to have a well-posed Dirichlet problem for a mixed-type equation in a mixed domain.

The paper objective is to find the exact polynomial solutions of the inhomogeneous Tricomi equation in a strip with a polynomial right-hand side. The Fourier transform method shows that the Dirichlet boundary value problem with polynomial boundary conditions has a polynomial solution. The paper presents an algorithm for constructing this polynomial solution and discusses examples. If the strip lies in the ellipticity region of the equation, then this solution is unique in the class of functions of polynomial growth. If the strip lies in a mixed domain, then the solution of the Dirichlet problem is not unique in the class of functions of polynomial growth, but it is unique in the class of polynomials.

References

1. Tricomi F. Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine, di tipo misto. Rend. Reale Accad. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (5), 1923, vol. 14, pp. 134-247.

2. Tricomi F. On linear partial differential equations of the second order of mixed type. Brown University, 1948.

3. Smirnov M.M. Uravneniya smeshannogo tipa [Equations of mixed type]. Moskow: Nauka, 1970. 295 p. (in Russian).

4. Bers L. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics. New York. 1958. 164 p.

5. Frankl F.I. Izbrannye trudy po gazovoj dinamike [Selected works on gas dynamics]. Moscow: Nauka, 1973, 712 p. (in Russian).

6. Bitsadze A.V. Some classes of partial differential equations. Vol. 4. CRC Press, 1988.

7. Bitsadze A.V. Nekorrektnost' zadachi Dirikhle dlya uravnenij smeshannogo tipa v sme-shannykh oblastyakh [The ill-posedness of the Dirichlet problem for equations of mixed type in mixed domains]. DAN, 1958, vol. 122, no. 2, pp. 167-170. (in Russian).

8. Nakhushev A.N. Kriterij edinstvennosti zadachi Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa v tsilindricheskoj oblasti [The uniqueness criterion for the Dirichlet problem for a mixed-type equation in a cylindrical domain]. Differentsial'nye uravneniya, 1970, vol. 6, no. 1, pp. 190-191 (in Russian).

9. Khachev M.M. Pervaya kraevaya zadacha dlya linejnykh uravnenij smeshannogo tipa [The first boundary-value problem for linear equations of mixed type]. Nhal'chik: Ehl'brus, 1998 (in Russian).

10. Sabitov K.B. Zadacha Dirikhle dlya uravnenij smeshannogo tipa v pryamougol'noj oblasti [The Dirichlet problem for equations of mixed type in a rectangular domain]. DAN, 2007, vol. 413, no. 1, pp. 23-26 (in Russian).

11. Soldatov A.P. O zadachakh tipa Dirikhle dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze [On problems of Dirichlet type for the Lavrent'ev-Bitsadze equation]. Trudy MIAN, 2012, vol. 278, pp. 242-249 (in Russian).

12. Algazin O.D. Polynomial Solutions of the Boundary Value Problems for the Poisson Equation in a Layer. Mathematics and Mathematical Modeling, 2017, no. 6, pp. 1-18. DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082 (in Russian).

13. Vladimirov V.S. Obobshhennye funktsii v matematicheskoj fizike [Generalized functions in mathematical physics] M.: Nauka, 1979. 318 p. (in Russian).

14. Lebedev N.N. Special functions and their applications. New York: Dover, 1972.

15. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of mathematical functions. New York: Dover, 1972. 886 p.