CC BY
43
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №5________________________________
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624. 042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, А.А.Ходжибоев,
О.А.Ходжибоев
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СООРУЖЕНИЯ С ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан
В статье излагается алгоритм решения задачи по расчету сооружения, взаимодействующего с упругим полупространством, в условиях плоской деформации.
Ключевые слова: плоская деформация - решение Кельвина - решение Мелана - контактная граница - граничные элементы.
Рассмотрим статическую задачу взаимодействия сооружения ^ + £ с упругим полупространством О* + , ослабленным полостью £2 (рис.1). Для решения задачи используется метод
граничных интегральных уравнений [1]. Граничные условия задачи такие, что на поверхности сооружения заданы напряжения, на контактной границе выполняется условие непрерывности, на контуре отверстия могут быть задана нагрузка, а полупространство может находиться в начальном напряженном состоянии.
Рис. 1. Контактная задача.
Решение этой задачи сводится к совместному рассмотрению трех интегральных уравнений, одно из которых относится к сооружению, а два других - к полуплоскости с отверстием. Первое интегральное уравнение, соответствующее внутренней задаче, представляется в виде
€„V, (£)+| Р‘(Ц, х)Ш, (х)А( х) -1 Ш‘(£, х) Р, (х)Ж( х) = | Ш‘(£, у)Г, (у)с1О( у), (1)
5 5 О
Адрес корреспонденции: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 121, Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: hojiboev@mail.ru
где Жу (£, X), Р^ (£, X) - перемещения и напряжения, возникающие в точке X по направлению оси X от действия единичной силы, приложенной в точке £ и направленной по оси X.. В уравнении (1) используются фундаментальные решения Кельвина [2] и неизвестными являются перемещения Ж-(х) на контуре 80 + Я и напряжения Р (X) на контактной границе.
Второе граничное интегральное уравнение мы получим из рассмотрения полуплоскости, когда точка
сЖ (0 + | Р*(£, x)WJ(х№(х) - | Ж*(£, х)р (x)ds2 (^ =| Ж*(£, х)р (x)dsl (х), (2)
^2 Я» ^
г,у = 1,2, X е 8,
где неизвестными являются перемещения на контуре $2 и напряжения на контактной границе £0.
Третье уравнение можно получить из (2) при условии, что точка ^ находится на контактной границе £0. В этом случае граничное уравнение приобретает вид
Ж(£) + \ р;(£, *)Ж] -\ X)Р](X)!ОД = \ Ж*(£, X)Р](x)dП(x), (3)
^2 Я» 82
К] = 1,2, 80, x е 8 ,
где неизвестными являются перемещения на контуре ^ , 82 и напряжения на 80. В граничных урав-
нениях (2) и (3) используются фундаментальные решения Мелана [3]. Представленные граничные интегральные уравнения позволяют сформировать замкнутую систему разрешающих уравнений.
Из совместного решения (1) - (3) мы получим перемещения на контурах 8 = 80 + 8, 82 и
напряжения на контактной границе 80.
С целью численной реализации метода разбиваем контуры системы на постоянные граничные элементы: Я на п элементов, контур отверстия £2 на п2 элементов, 80 на п0 элементов и область
П на т ячеек (рис. 2). При такой разбивке интегральное уравнение (1) преобразуется в следующую систему алгебраических уравнений
п\ п1 ]=п1+П> ]=п +по п1 +по у=п1+по
У а .и + У Ъу + У а и + У Ъу - Т е Р - У г Р =
Аи у ] Аи у ] Аи у ] Аи у ] Аи у X] Аи °у уу
у=1 у=1 у=п+1 у=п+1 у=п +1 ]=п\ +1
у=п1 у=п т т
= УеР + УгР + У е^, +2;г,¥], (4)
У=1 ]=1 У=п1+1 ]=1
у=П у=п у=п1+п» у=п1+по у=п1 +по у=п1+по
У с и +У й*у + У с и - У d v - У 1Р - У И Р =
У у у У у у У у у У у у У “'у X У у у]
]=1 у=1 у=п+1 у=п +1 ]=П1 +1 у=П1 +1
]=п у=п т1 т1
= У /Р + У +У /Л +У уу
]=1 ]=1 ]=1 у=1
1 = 1,...,п + п, а*у = ау +8у/2, +81}/2,
где I - номер фиксированного элемента, у - номер элемента, в котором производится интегрирование.
Рис. 2. Дискретизация границ областей.
Коэффициенты системы уравнений (4), соответствующие решению Кельвина, определяются по следующим формулам:
а у = | Р*(1,у)Ж] =-Ъ | (с + 2*){соъуу /Гу )• 2 ,
Д57 ]у
Ьу =| Р2(1, =-Ъ | {[ с(т1п2 - т2п1) - 2т1пгС°Ъ7у ] / Гу } 2] ,
Щ Asj
с у = | Р21(1,у)Жу =-ъ | {[с(тп2-тп)-2тпгс°^7у]/гу}^у,
АЯ] ]у
! у = | Р22(К*у = -Ь | [(с + 2т2)• тобг,у /Гу ]2 ,
Ь8у ]у
е у = | ЖП(1,у)^у =-а | [(3 - 4У) Гу - СО$2 РА • 2у ,
АЯ] ]у
g a =j W2*i(i,j)dsj = -a J cos Д • cosД • ds} , (5)
АSj
fj = f Wl20,j)dsj = a j C0S Д1 • C0S Д2 • dsj ,
ASj ASj
hj = j Kli* *)*а = -a j [(3 - 4v) * r* - C0S Pl\ • (tej •
A5f
A5f
здесь n = cos a, n = cosa2, щ = cos Д , щ = sin Д, a = 1/8kG(1-v), b = И4ж(1 -v),
Г 2 2~|1/2
r =1 (x -x) + (у -у) , c = i-2v, cosyp = nm + nm, sm^ = щп. -mn, a1 - угол меж-
ду осью x и нормалью к границе конечной области, а2 - угол между осью у и нормалью к границе конечной области.
Вторую систему алгебраических уравнений получаем из интегрального уравнения (2). Так как полуплоскость находится в начальном напряженном состоянии а0, то из условий равенства нулю
суммы начальных и дополнительных напряжений получим P = -а° cos a . Тогда дискретное пред-
ставление (2) записывается в виде:
j=n +4) + «2 j = n+n0 + п2
j=n1 + П)
j=n1 +П)
У a*u. + У bv - У e P - У g P =-а0 У e cosa,
У V j У j j У j x У 6 У у x У у a
j=n+n) +1 j=n\ + n0 + n2
j=n+n)+1 j=n1 + n) + n2
j=n1 +1
j=n+no
j=n1 +1
j=n+no
j=n+«o+1 j = n1 + no + n2
У CjUj + У j - У fpj - У hjpyj =-а У fj cosa1 j,
j=n+no+1
j=n+no+1
j=n +
j=n +
j=n1 +«o +1
(6)
I = п + п0 + 1,..., п + п0 + п2 .
Коэффициенты системы уравнений (6) определяются на основе фундаментальных решений Мелана [4].
>
Пусть в точке p(^,rf) = i( xi, y) полуплоскости действуют единичные силы ех, еу. (рис.3). От действия единичных сил в точке k(x, y) = j(x. , У;) возникают перемещения, которые можно представить в виде
* * * * * *
Ukp = Ukx + Uky , vkp = Vkx + vky • (7)
Компоненты перемещений в (7) являются фундаментальными решениями Мелана, которые состоят из суммы решения Кельвина и дополнительных решений:
икх = a[-(3 - 4j)ln r a + cos2 Д + (3 -4j)\nRaj -8(1 - jli)2 InRaj +
+ (3 - 4j)sin2 6 + ^УУ^ - 4УУ^sin2 6],
І
vkx = a [cos Д • cos Д + (З — 4л) • cosв• sin в —-------------------------• cosв• sin в — (S)
R,-,-
+ 4(1 — л)(1 — 2л)в\;
u*ty = a [cos Д • cos Д + (З — 4л) • cos в • sin в —УУ- • cos в • sin в — 4(1 — л)(1 — 2л)в].
Rj
vyy = a[—(З — 4л)1п r^ + cos2 Д + (З — 4л)1п R — 8(1 — л)2 ln R +
/0,4 2 л 2УгУ] 4 У'У] 2Л!
+ (З — 4л) cos в — —^ ^ cos в],
І
где j - коэффициент Пуассона, G - модуль сдвига,
1 X - X (xi -X) У,- - У,-
a = ----Г; 6 = arctg \~------------------------1; cos Д = —-; cos pi = y— •
8ЖG(1 -JJ |У + Уу| rij rij
Решения (8) содержат сингулярности того же порядка, что и соответствующее решение Кельвина. Напряжения, соответствующие действующим внутри полуплоскости единичным силам, могут быть получены с учетом зависимостей
PXx = а« cosa1 + Kxx cosa2 ’ PXy =а*у cosa1 + T*yx,у cosa2 ,
7~» * * * т~ч* * * s r\\
Pyx = ayX cosa2 + cosa1 ’ Pyy = ауу cosa2 + Ty,у cos a1 • (9)
Исходя из закона Гука и уравнения Коши с учетом (9) можно получить напряжения на наклонной плоскости, соответствующие фундаментальным решениям (8).
Зб8
Следующую систему алгебраических уравнений получим из (3):
1=п1+П0+П2 1=п +П0+П2 1=п+П0 1=п+П0 1=П+П0+П2
апи1 + Ё ъау1 - Ё ер - Ё зЛ = -< Ё е ,
и + Ё
]=п+Щ+1 1 = п1 + п0 + п2
1=п+П0 +1 1=п1+п0+п2
1=п1+1 ] = п1 +п0
1 =п1 +1 1=п1+п0
1 =щ+щ +1 ] =п + п0 + п2
у + Е си + Ё йу - Ё 1Р - Ё ЬР =-о° Ё I
1 ^ 1 1 Аши 1 1 Аши ^ 1 ХА-и 1 У х ^ Уу
1=п+Щ+1 1=п+Щ +1 1=^ +1 у=п +1 у=п+п +1
11 ^ац,
(10)
здесь 1 = п +1,.., П + П отсчитывает номера узлов только на линии контакта; ] — номер элементов,
в которых производится интегрирование. Коэффициенты системы уравнений (10) определяются на основе фундаментальных решений Мелана.
Представим систему разрешающих уравнений в стандартной матричной форме:
[ А] • } = {В}, (11)
где [А] — матрица коэффициентов, {Х} — вектор неизвестных, {В} = В° х Р° — матрица свободных членов, которые имеют следующие структуры:
А =
Ащ в. Ап0 в, - Е п0 О 0 0
С! с п 0 к - Г«о - Нпв 0 0
0 0 0 0 - Епй О А2 вп2
0 0 0 0 - К - Н0 С,
0 0 Е0 0 - Епй О А2 вп2
0 0 0 Е0 - К - Н0 Сп 2
{х} = {ип , и0, у0, ' РХ0 , РУ0 РУЩ , ип2 , Упг У >
{В} = ^В° ^ х {р° | - вектор заданных нагрузок, {р°} = {ро ро р 0 р оао }г,
(. ) ( X у X у X ) ’
[ В0] =
Е О Е О 0
р1 н К н 0
0 0 0 0 - Ес
0 0 0 0 - рс
0 0 0 0 -Ес
0 0 0 0 - рс
где Рс, Е — матрицы правой части, имеющие вид:
>
І=Щ+п0+п І=щ+п0+п г г
Ес =- Ё Л ^ а11 ’ Ес = Ё е 1 ^ а11 ’ Ег =-Ё Ї ^ а11 ’ Ег =-Ё е11 ^ а11 ’
і=п1+п,+1 1=п1+п0+1
Е0 - единичная матрица, К, Е - матрица свободных членов от заданных объемных сил, Р° = {Р° Р°' К К у -^хУ - транспонированный вектор заданных сил.
В результате совместного решения системы уравнений (11) определяются искомые перемещения и напряжения на линии контакта сооружения с полуплоскостью. После определения перемещений на контуре сооружения ^ , линии контакта и на контуре отверстия вычисляем деформации и по ним соответствующие напряжения. Таким образом, определим напряженно-деформированное состояние взаимодействия сооружение - полуплоскость по линиям наибольших напряжений и деформаций, что достаточно для инженерных расчетов и оценки безопасности объекта.
На основе изложенного можно сделать следующий вывод. Разработан алгоритм решения статической задачи взаимодействия сооружения с упругим полупространством на основе метода граничных уравнений, который позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние системы «грунт-сооружение» при различных воздействиях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с.
2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975, 872 с.
3. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных уравнений. - М.: Мир, 1987, 524 с.
4. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.: Стройиздат, 1987, 160 с.
Ч,.Н.Низомов, А.АДочибоев, О.АДочибоев
АЛГОРИТМИ ХДСОБИ КОРИ ЯКЦОЯИ ИНШООТ ВА НИМФАЗО ДАР ДОЛАТИ ДЕФОРМАТСИЯИ ^АМВОР
Институти сохтмони ба заминчунби тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола муодилахои халлии методхои элементной худуди барои халли масъалаи кори якчояи иншоот ва нимхамвории чандирии бо истихроч кохишдодашуда бароварда шудаанд. Алгоритм дар намуди матритса, формулахо барои ёфтани чойивазкунй ва шиддат дар худуди мавзеъ оварда шудаанд.
Цалима^ои калиди: шакливазкунии уамвор - уалли Келвин - уалли Мелан - уудуди расиш -элементной уудуди.
J.N.Nizomov, A.A.Hojiboev, O.A.Hojiboev THE ALGORITHM OF INTERACTION’S STRUCTURE WITH HALF-SPACE IN CONDITIONS OF FLAT DEFORMATION
Institute of Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The algorithm and the formula for determining the displacements and stresses on the boundaries of the region in matrix form are shown in the article.
Key words: plane strain - Kelvin solution - Melan solution - contact interface - boundary elements.
