CC BY
49
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №9_
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624.042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СООРУЖЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ
Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
Исследуется напряженно-деформированное состояние сооружения, взаимодействующего с упругим полупространством в условиях плоской деформации. Разработанная математическая модель расчёта реализована на примере тестовой задачи. Показано, что податливость основания в значительной степени влияет на деформированное состояние сооружения.
Ключевые слова: основание-сооружение - математическая модель - граничные уравнения - плоская деформация - контактная граница.
Сооружение и основание образуют связанную динамическую систему, в которой параметры сооружения влияют на характеристики сейсмического воздействия, наблюдаемого на уровне основания здания, и поэтому физические свойства грунта основания оказывают влияние на реакции сооружения. Математическое моделирование и исследование напряженно-деформированного состояния взаимодействия сооружений с основанием является актуальной проблемой. Исследуется задача взаимодействия в системе «основание-сооружение» на основе модели однородного линейно-упругого полупространства с применением метода граничных интегральных уравнений [1].
Решение задачи рассмотрим на примере статического взаимодействия сооружения с полупространством в условиях плоской деформации. Предполагается, что конечная однородная область с контактной границей ¿12 взаимодействует с полубесконечной областью О2 + ¿2 . На контактной границе между подобластями выполняются условия совместности, согласно которым перемещения на границе раздела между областями должны быть равны, и равновесия, в соответствии с которыми сумма напряжений на границе раздела между областями должна равняться нулю:
^12 = ^ Р ="Р21 , (1)
где ии, Р12 - значение перемещений и напряжений на контактной границе ¿12 со стороны подобласти О ; ЦУ21, Р21 - значение перемещений и напряжений на контактной границе $21 со стороны подобласти О 2, = $п + ¿12
— поверхность сооружения, ¿2 = ¿22 ^ ¿21 — поверхность полуплоскости
(рис. 1).
Адрес для корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович. Республика Таджикистан, 734024, г.Душанбе, ул.Айни, 121. Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АНРТ. E-mail: tiees@mail.ru
Сингулярное граничное интегральное уравнение, полученное на основе теоремы взаимности работ, соответствующее точкам и x(x13x2) в подобласти Q + S1, представляется в виде
¥ц (£)uj (£) + J Pi(4, x)uj(x)ds(x) - J uj (4,x)Pj(x)ds(x) =
Sj Sj2
= J uij x)4j(x)ds(x) + J ul x)Pjfj(x)dл (x), (i,j =1,2), (2)
здесь u - компоненты искомых перемещений на контуре S , p - компоненты искомых напряжений на контактной границе, f - сила, отнесённая к единице массы, рf - компоненты объемных напряжений, рх=у / g - плотность, g - гравитационная постоянная, у - удельный вес, q. - компоненты заданных напряжений на контуре S i •
Фундаментальные решения Кельвина, входящие в (2) и соответствующие двумерной области, записываются в виде
uij x) = -a [(3 - ) In rSjj - mm ] , (3)
p* (£, x) = b [c(mjnj - mn ) - еёу cos у - 2mm/ cos У ], (4)
a = 1/8ж(1 -ц, b = 1/4ж(1 -ц), c = 1 -2ц,
здесь n, m - направляющие косинусы углов нормали n и радиус-вектора r с осями глобальной системы координат, у - угол наклона между радиус-вектором r и нормалью n, , v1 - модуль
сдвига и коэффициент Пуассона.
Первый интеграл в левой части (2) понимается в смысле главного значения (остальные интегралы в обычном смысле), а функции у (£), соответствующие фундаментальному решению Кельвина, записываются так:
у/и = 1 -ф /2ж-sin2y / 8ж(\ -ц) у22 = 1 -ф /2ж-sin2y / 8ж(\ -ц) У 12 = У21 = sin2 ф/4^(1-ц), (5)
где ф - телесный угол точки £, v1 - коэффициент Пуассона.
Рис. 1. Модель системы, состоящей из двух однородных подобластей. Учёт объёмных сил. Для замкнутой области ^ + 5 введём непрерывную функцию
** = а • г21п(1 / г )£,
которая связана с фундаментальным решением Кельвина [2] следующим соотношением
* *
Щ ] = ] - <
к = -а [(3 - 40 1п г5; - т1т] + с^ ] , (/, ] = ^ 2),
ип = -а ^ (3 - 4у) 1п г - т^ + с2 ^ ,
* * Щ12 = Щ12 =
ащт2, и22 = -а ^ (3 - 4у) 1п г - + с2 ],
(6)
(7)
здесь а = 1/8ж// , а = 1/8п/(1 ), с = 1/2(1 ), с2 = (7 -8^)/2, г = г(£, х) - расстояние
между точкой ^, к которой прикладывается нагрузка, и произвольной точкой х пространства,
щ, т. - направляющие косинусы радиус-вектора г, / - модуль сдвига, 5у - символ Кронекера.
Тогда, исходя из формулы Остроградского-Гаусса [3], где интеграл от дивергенции векторного поля, распространённый по некоторому объёму, равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объём, интеграл от объёмных сил по области можно преобразовать в граничный интеграл [4]
| и1]р1/]йф = Р1/} | (] - ) й® = Р1/} | (
*],к - с1™ к] ) пк
) пйУ, (к = 1, 2) .
(8)
О1
О1
здесь пк - направляющие косинусы углов внешней нормали к поверхности. На тело сооружения, находящегося в гравитационном поле (поле тяготение), действуют массовые силы £ = 0, /2 = -g .
Для плоского деформированного состояния подынтегральная функция в граничном интеграле (8) с учётом (6) представляется в виде
Ь = Р1£] (- ) = Р1£] (^ / дХк - с1д*1 / дХ] ) = =а {(21пг-1 -1) [( пщ+п2т2) & - с (+ &2т2) п ]},
ж
ж
здесь gi = р1 f , n = cosa1;, m = cos ß, откуда получаем
b = a 2 in r1 -1) cmn, b = -a Y\ {(2 in r-1 -1) [(nm + nm)- cm2n2 ]} • (9)
Таким образом, интегральное уравнение (2) с учётом (7) и (8) приобретает вид
¥ц (4)uj (4) + J Pl (4, x)uj (x)ds(x) - J uj (4,x)Pj (x)ds(x) =
S1 $12
= j u* (4, x)qj (x)ds(x) + J b,ds(x) , (i,j = 1, 2) • (10)
Sn S!
Следует отметить, что при подстановке (6) в (7) получаем выражение j(4, x) = -a [(3 - 4v1) ln r5j - mtmj + с2Stj ]
*
которое отличается от (3) постоянным слагаемым для фундаментальных перемещений. При этом фундаментальные напряжения (4) остаются без изменения.
Второе интегральное уравнение, соответствующее основанию сооружения, получаем из рассмотрения конечной области 02 + $2, которая погружена в полуплоскость и часть её поверхности
$21 совпадает с поверхностью полубесконечной плоскости. Исходя из теоремы взаимности работ и с
учётом того, что на поверхности полуплоскости значения фундаментальных напряжений равны нулю, получаем
и, (4) + | р1 (4, х)и, (Х)Ж(х) -1 и1 (4,х)Р, (Х)Ж(х) = 0 • (11)
$22 $ 2
Если контур удаляется на бесконечность, то выполняется условие
& I (и,Р, - Р"чи1 = 0 ' (12)
где каждый интеграл может стремиться к нулю только в том случае, когда перемещения и и напряжения р. поведут себя соответственно, как 0(Я и 0(Я 2) . Если полагать, что перемещения поведут себя как фундаментальное решение с логарифмической особенностью (3), тогда оба слагаемые соотношения (12) не стремятся к нулю независимо друг от друга, а взаимно уничтожаются при Я ^ да. В результате выполнения условия (12) интегральное уравнение (11) приобретает вид
и,(4)-I и,(4,х)Р,(х)^(х) = 0, (13)
где неизвестными являются перемещения и напряжения на контактной границе $21. Это уравнение не имеет сингулярностей и интеграл понимается в обычном смысле, так как при 4 ^ х и ^ = ейа
lim р. \uHsda
S^0 1 J j
= 0
Таким образом, задача взаимодействия сооружения с основанием сводится к совместному рассмотрению интегральных уравнений (10) и (13) с учётом (1). В результате решения этой системы уравнений получаем напряжения и перемещения на контактной границе 521 и перемещения на контуре 51. С целью численного решения системы граничных интегральных уравнений можно использовать либо сплайновую аппроксимацию, либо аппроксимацию граничными элементами. Разбивая контуры = 52! и на постоянные граничные элементы, уравнения (13) и (10) преобразуем в следующие системы уравнений:
-Е ер* -Е fjPyi=0,
N 2i N21
-Е gjPi -Е hiPyj =0,
uy,
N„ N
(14)
(i = 1,2,—, N21 ),
Е a*juxi +Е bu -Е eiP -Е füPyi +Е au +Е bjuj = Е eïP° +Е -Zii-pyi +Е ^,
N12 N12 N12 N12 N11 N11 N, n9 N1
Ecu +Е d.2u - Е g p -S hp +Е c u +Е d u = S g ..p0 + S h p0 + S k ,
il X ¿—i il yi il rxj ij^yj ij xj Z—l il yi il rxj ij^yj 2,i/'
N N N N N N N N N
(15)
(г = Л21 +1,---, N; N = ^ + N),
здесь Ж12 = Ж21 - число элементов на контурах контакта с двух сторон, Ыи - число элементов на внешней поверхности сооружения, N = N2 + N1 - общее число элементов на поверхности сооружения, N - число элементов, принадлежащих контуру сооружения, на которых действует внешняя нагрузка. Коэффициенты уравнений (14) и (15)
а; = | Р*1(г,])йл, Ъу = | Р*2(1,])й , с; = | Р*1(г,])йл , =| Р*2(г,])йл ,
Д ( Д-; Ал; Ал;
= Г и* (г, ])йл , = Г и* (г, ] )йл, К = Г и*
el = J l)ds ' f = J u*^2(i,j)ds ' gj = J u*21(iJ)ds ' hl = J u22(i,J)ds ' (16)
ASj Asj Asj Asj
hj = J b1(i,j)ds ' hj = J b2(i,j)ds
As; As;
вычисляются квадратурной формулой Гаусса с восемью узлами. Системы уравнений (14), (15) можно записать в матричной форме
s
>
>
А>1 0 Е21 -Р21 0 0
0 А1 Н21 0 0
А12 В12 Е Е12 Ац В11
с с12 Д2 ^12 Н12 с11 А
и
Р
21
и
(17)
и21 =(их,21 и у,21 ) , Р21 =(Рх21 Ру 21 ), ии =(ихи иуп ) ,
где и, Р - векторы перемещений и напряжений, Р®, р - векторы заданных поверхностных напряжений, К, К - векторы объёмных сил. Матрица коэффициентов в системе уравнений (17) имеет порядок 2• (2Ы21 + Ы11) .
Примеры расчёта. В качестве первого примера рассмотрим тестовую задачу расчёта клина высотой Ь , шириной основания 2а, жёстко защемлённого в основании, под действием горизонтальной силы Р , приложенной в его вершине (рис.2,а). Точные решения [5] в случае изгиба бесконечного клина для нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении, параллельном оси X выражаются формулами
Р (х-а) • (Ь-у)2
°У =-:-
а - 0,5 бш 2а
Р
ух а-0,5Бт2а
[ (х-а)2 + (Ь-у)2 ]2' (х-а)2 • (Ь-у)
(18)
[ (х-а)2 + (Ь-у)2 ] 0 < х < 2 а, 0 < у < Ь,
откуда при у = 0 получаем распределение напряжений на линии защемлённого края. Изложенный алгоритм численного решения был реализован для тестовой задачи при следующих данных:
Ь = 2а, а = атеЩ(а / Ь) = 26,5°, д / д = 10-6, ц = ц = 0,25 .
Численные результаты получены при дискретном представлении каждой грани на 31 постоянном граничном элементе.
а)
б)
Рис. 2. Изгиб жёстко защемлённого клина.
На рис. 2 б результаты численного решения, полученные без учёта объёмных сил, сопоставляются с точным решением. Сравнение распределения нормальных напряжений показывает, что наибольшее отклонение от точного решения наблюдается в угловых зонах. Это объясняется особенностью угловых точек М1 и М2, где напряжения терпят разрыв, что не учитывается в решении (18). В промежуточных узлах численное и аналитическое решения практически совпадают.
а) б)
Рис. 3. Плотина треугольного профиля и распределение контактных напряжений на её подошве.
В следующем примере исследуется напряжённо-деформированное состояние модели плотины треугольного профиля высотой 60 м с вертикальной напорной гранью и с низовой гранью, имеющей наклон т = Ща = 0,73 [6] с учётом податливости основания (рис. 3 а). Получены результаты расчёта плотины от действия её собственного веса и гидростатического давления при различных соотношениях модуля упругости плотины и модуля деформации основания к = Е1 / Е2. Распределение напряжений на контактной границе подошвы (рис. 3 б) показывает, что с увеличением к, то есть с уменьшением жёсткости основания, нормальные напряжения (<у ) уменьшаются, а касательные напряжения (г ) наоборот возрастают. На рис. 4 показаны графики распределения горизонтальных и вертикальных перемещений вдоль подошвы и граней плотины при Е1 = 2 • 104 МПа (2 -106 тс/м2),
ух = 2,3• 104Н/м3 (2,3 тс/м3), у0 = 104Н/м3 (1 тс/м3), УХ=Ц = 0,17 и различных значениях к . Видно, что с уменьшением модуля деформации основания горизонтальные и вертикальные перемещения плотины увеличиваются, а при к ^ 0 перемещения подошвы также стремятся к нулю. Следует отметить, что полученные результаты численного решения по горизонтальным смещениям хорошо согласуются с аналитическими решениями, полученными Toelke [6] на основе теории клина. Например, горизонтальное смещение гребня плотины в случае наполненного водохранилища получается равным 6.47 мм, а численное решение при к = 0 дает результат 6.16 мм.
12 I 10
X
Ol
а) 4 Ъ
I 2
о О
S
£ 2
-4
0
а) б)
Рис.4. Распределение перемещений на контуре подошвы и граней плотины: а - горизонтальных; б - вертикальных.
На основе полученных результатов следует вывод о том, что разработанная математическая модель может быть использована для решения практических задач с целью исследования и оценки напряженного и деформированного состояния сооружения, взаимодействующего с упругим основанием.
Достоверность результатов подтверждена на примерах тестовых задач, а также исследованием сходимости и точности алгоритма численного решения.
Поступило 28.02.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: АСВ, 2000, 282 с.
2. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987, 524 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968, 720 с.
4. Danson D.J. - Boundary Element Methods, 1981, pp. 105-122, Berlin, Springer - Verlag.
5. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990, 400 с.
6. Гришин М.М. и др. Бетонные плотины (на скальных основаниях). - М.: Стройиздат, 1975, 352 с.
Ч,.Низомов
МОДЕЛИ АДАДИИ ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ ^АМТАЪСИРИИ ИНШООТ БО
АСОС
Институти геология, сохтмони ба заминцунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Х,олати шиддатноки ва деформатсияшавии иншоот, ки бо асоси нимфазои пайваст ме-бошад, тадки; карда шуда, модели математикии он дар мисолх,ои тестй тадби; карда шудааст. Нишон дода шудааст, ки нармии осос ба полати деформатсияшавии иншоот таъсири зиёд мера-сонад.
Калима^ои калиди: асос-иншоот - модели матаматики - муодилауои канори - деформатсияи сатхи - саруади уампайвастагй.
J.Nizomov
NUMERICAL MODELING OF THE INTERACTION OF STRUCTURES
WITH BASE
Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan We investigate the stress-strain state of structures interacting with an elastic half-space under plane strain conditions. The mathematical model is implemented as an example the calculation of the test problem. It is shown that the compliance of the base has a significant impact on the strain state of structures. Key words: base-building - a mathematical model - the boundary of the equation - plane strain - contact interface.
