Алгоритм расчета взаимодействия сооружения с полупространством, ослабленном выработкой в условиях плоской деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СООРУЖЕНИЯ С ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ, ОСЛАБЛЕННОМ ВЫРАБОТКОЙ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

1 1 Д.Н. Низомов , А.А. Ходжибоев ,

О.А. Ходжибоев1

1Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан ул. Айни 267, Душанбе, Республика Таджикистан, 734029

2

Таджикский технический университет им. академика М.С. Осими

Пр. академиков Раджабовых, 10, Душанбе, Республика Таджикистан 10734042

В статье излагается алгоритм численного решения задачи по расчету сооружения, взаимодействующего с упругим полупространством в условиях плоской деформации.

Ключевые слова: метод граничных интегральных уравнений, плоская задача, упругое полупространство, полуплоскость с отверстием, решение Мелана, решение Кельвина, уравнение Коши, сооружение-полуплоскость, грунт-сооружение.

Исследуется статическая задача взаимодействия сооружения ^ + S с упругим полупространством П* + S^, ослабленным полостью ^ + S2 (рис. 1). Для

решения задачи используется метод граничных интегральных уравнений [2]. Граничные условия задачи такие, что на поверхности сооружения заданы напряжения, на контактной границе выполняется условие непрерывности, на контуре S2 отверстия могут быть заданы нагрузки, а полупространство может находится в начальном напряженном состоянии.

/S1

Q1

1 s2 n* |

! Sy .

Рис. 1. Контактная задача

Решение этой задачи сводится к совместному рассмотрению трех интегральных уравнений, одно из которых относится к сооружению, а два других к полу-

плоскости с отверстием. Первое интегральное уравнение, соответствующее внутренней задаче, представляется в виде

СЩ^ (5) +1 Р*( 5, л Щ (л ж л) - {^*(5,л) Pj (л )ds( *) =

= {^*(5,у) ^ (у№( у), (1)

п

где ^*(5, л), Р* (5, л) — перемещения и напряжения, возникающие в точке л по направлению оси лг от действия единичной силе, приложенной в точке 5 и направленной по оси л*.

В уравнении (1) используются фундаментальные решения Кельвина [3], неизвестными являются перемещения Ж*(л) на контуре 50 + 51 и напряжения Р*(л) на контактной границе.

Второе граничное интегральное уравнение мы получим из рассмотрения полуплоскости, когда точка 5 е П*:

(5) + | Р*(5,л)Щ(л)ds(л)- | ^*(5,л)Р*(л^(л) =

52 г * - 50 (2) = | Ж* (5,л)Р*(лл),

52

г, * = 1,2, 5, л е 5,

где неизвестными являются перемещения на контуре 51 и напряжения на контактной границе 50.

Третье уравнение можно получить из (2) при условии, что точка 5 находится на контактной границе 50. В этом случае граничное уравнение приобретает вид

Ж, (5) + { р;(5, л(лЖл) - { ^*(5,л)Р) (л)dП(л) =

52 г * 50 (3)

= { Щ(5, л) Р* (л у П( л),

52

г, * = 1,2, 5е 50, л е 5,

где неизвестными являются перемещения на контуре 50, 52 и напряжения на 50.

В граничных уравнениях (2) и (3) используются фундаментальные решения Мелана [1]. Представленные граничные интегральные уравнения позволяют сформировать замкнутую систему разрешающих уравнений.

Из совместного решения (1) — (3) мы получим перемещения на контурах 5 = = 50 + 51, 52 и напряжения на контактной границе 50.

С целью численной реализации метода разбиваем контуры системы на постоянные граничные элементы: 51 на п1 элементов, контур отверстия 52 на п2 элементов, 50 на п0 элементов и область П1 на т1 ячеек (рис. 2). При такой раз-

бивке интегральное уравнение (1) преобразуется в следующую систему алгебраических уравнений

«1 «1 } =П1 +По Ч =П1 +По П1 +По Ч =П1 +По

Еа*-и■ + V Ъ-\ ■ + V а-ы- + V \ ■ - V е Р - V г Р =

Ч } ¿—! I) } Ч Ч 4 )1—! Ч Щ &1] у

Ч =1 Ч=1 Ч=«1 +1 Ч=«1 +1

Ч=«1 Ч=«1 т1

Ч=«1 +1 Ч=«1 +1

И1

= V ер + V гр + V е^Ч + V Е^УЧ; Ч=1 }=1 Ч=«1+1 Ч=1 Ч=«1 Ч=«1 Ч=«1+«о Ч=«1+«о Ч=«1 +«о Ч=«1 +«о

Ее и- + V ё*V ■ + V с и ■ - V ■ - V [Р - V НР =

Ч Ч ¿—! Ч Ч ¿—! Ч Ч ¿—! Ч Ч ¿—! ->4 Ч ¿—! Ч У

Ч=1 Ч=1 Ч=«1 +1 Ч=«1 +1 Ч=«1 +1 Ч=«1 +1

(4)

Ч =«1

Ч=«1

= V [р + V НР + V ЧЧ + V НЧру;

Ч=1 Ч=1 Ч=1 Ч=1

1= и..,«1 + «о, 4 = аЧ + 5//2, ё* = +5Ч/2,

где г — номер фиксированного элемента, Ч — номер элемента, в котором производится интегрирование.

Рис. 2. Дискретизация границ областей

Коэффициенты системы уравнений (4), соответствующие решению Кельвина, определяются по следующим формулам:

аЧ = | PЦ(i, Ч )ЛЧ =-Ъ | (с + 2т12) ( Уд / ГЧ )• ^Ч,

Д5,-

Д5,-

Ъ1Ч = | Р\2 ( г , Ч№ч =-Ъ | |[с(т1«2 - т2«1) - 2т1«2С08 Уц ] / ГЧ } ^ ,

Д5Ч- Д5Ч-

СЧ = I Р21( ^ Ч^Ч =-Ъ | |[с(т1«2 - т2«1) - 2т1«2 С0^ Ту ] / } ^Ч ,

Д5;

Д5;

dSj,

dij = J j)dsj =-b J [(c + 2w22)•cosYj /ri

ASj ASj

eij = J Wn(i,j)dsj = -a J [(3-4v)lnry -cos2ß1]• dsj,

ASj ASj

gj = J W*i(i, j)dsj = -a J cos ßi • cos ß2 • dsj,

ASj ASj

fj = J Wl2(i, j)dsj = a J cos ßi • cos ß2 • dsj,

ASj ASj

hj = J W22(i, j)dsj = -a J [(3 - 4v)ln ry - cos ß2] • dsj,

(5)

где nx = cos a^ n2 = cos a2; mx = cos P^ W2 = cos P2; a = 1/8rcG(1 - v); b = 1/4n(1 - v);

Г 2 2~|1/2

rij = |_(Xj - Xi) + (yj - yi) J ; c = 1 - 2v; cos Yij = n1m1 + n2m2; sm Yij = m1n2 - m2n1; a1 —

угол между осью x и нормалью к границе конечной области; a2 — угол между осью y и нормалью к границе конечной области.

Вторую систему алгебраических уравнений получаем из интегрального уравнения (2). Так как полуплоскость находится в начальном напряженном состоянии о0, то из условий равенства нулю суммы начальных и дополнительных напряжений, получим P. = -о0 cos a1 ■. Тогда дискретное представление (2) записыва-

ется в виде

j =ni + я0 + «2 j=«i +я0 +П2 j =«i + я0

Za-u ■ + £ bv ■ - £ e P -

У j La 4 j La Ij xj

j =«i +«0 +i j=«i + «0 +i j=«i +i

j=«i +«0

j=«i +«0 +«2

■ £ gjpyj=-a° £ ejcos au,

j=«i +i j=«i +«0 +i

j =«i + «0 + «2

j=«i + «0 + «2

j=«i +«0

£ cu • + £ dV - £ f.p.

La ij j La j j La J4 xj

j=«i +«0 +i j=«i +«0 +i j=«i +i

(6)

] =« +Я0 7 =« + Я0 +Я2

- £ =-а0 £ лсо8 %,

7 =«1 +1 7 =«1 +«о +1

г = п1 + п0 +1,п1 + п0 + п2.

Коэффициенты системы уравнений (6) определяются на основе фундаментальных решений Мелана [4].

Пусть в точке п) = г( хг, уг) полуплоскости действуют единичные силы ех,

еу (рис. 3). От действия единичных сил в точке к(х,у) = -(х-,у-) возникают перемещения, которых можно представить в виде

икр = и*х + ику , ^кр = + . (7)

Рис. 3. Напряженное состояние полуплоскости от действия единичных сил

Компоненты перемещений в (7) являются фундаментальными решениями Мелана, которые состоят из суммы решения Кельвина и дополнительных решений:

ulx = а[-(3 - 4ц) 1пГу + соя2 р + (3 - 4ц) 1п Ч - 8(1 - ц)21п Ч +

+(3 - 4ц) я1п2 е +

2 У/Уу 4 УгУ1 .

^ и

ят2 е],

4 У1У.

Vfa = а[соя в1 • соя в2 + (3 - 4ц) • соя е-я1п е—' соя е-я1п е-

(8)

- 4(1 -ц)(1 - 2ц)е]; и*у = а[соя Р1 • соя Р2 + (3 - 4ц) • соя е- я1п е- 4(1 - ц)(1 - 2ц)е], V; = а [-(3 - 4ц)1п гу + соя2 Р2 + (3 - 4ц)1п Щ - 8(1 - ц)21п Щ +

4 У1Уи е . е

—ТТ--соя е- ят е-

+(3 - 4ц)соя2 е-

^ 2У/Уу + 4У/Уу 2 е

—^-соя е].

V и

где ц — коэффициент Пуассона; О — модуль сдвига; 1 . X- X ~ (X- X)

а =

8п О(1 -ц)

; 0 = агс1§-

\У/ + У

Ч

ль

р ¿и

; соя Р1 =

; соя Р2 =

У и - У/

_ уи

Решения (8) содержат сингулярности того же порядка, что и соответствующее решение Кельвина. Напряжения, соответствующие действующим внутри полуплоскости единичным силам, могут быть получены с учетом зависимостей

РХх = °Хг соя а1 + т*х;х с°я a2, рХу =о*ху соя а1 + х*ух,У шя a2,

Рух =°ух соя а2 + Тху,х соя al, РУ = °уу соя а2 + Тху,у с°йа1.

(9)

Исходя из закона Гука и уравнения Коши с учетом (9) можно получить напряжения на наклонной плоскости, соответствующие фундаментальным решениям (8).

Следующую систему алгебраических уравнений получим из (3):

7=«1 +«0 +«2 7 =«1 +«0 +«2 7=«1+«0

и + £ аии7 + £ ^- £ еирх7 -

7=«1+«0 +1 7=«1 +«0 +1 7 =«1 +1

] =«1 + «0 7 =«1 +«0 +«2

- £ =-°х £ е7со8 а7,

7 =«1 +1

j=«i+п0 +1

j=«i + п0 + «2 j=«i +п0 +«2 j=«i +п0

V- + V С--И- + V dv. - V Г Р -

i La 4 7 La tJ J La Ji] xj

j=«i +«o +1 j=«i +«o +1 j=«i +1

j=«i + «o

j=«i +«o +«2

V hjPj =-o; V f-

со8 а

i у

j=«i +1

j=«i +«o +1

(10)

где г = « +1,..., « + «0 отсчитывает номера узлов только на линии контакта; 7 — номер элементов, в которых производится интегрирование.

Коэффициенты системы уравнений (10) определяются на основе фундаментальных решений Мелана по следующим формулам:

aij =1 - b

r 0 cos Y,, г тл

j (c + 2m2)--— ds + 3c j n1ds + 2

rij As,- R/'

As

j m±«ds - 4 j

R

R3

-2 j ym.jL «ids - 2c j ds

R3

R2

+

r m4 m5 r 3 уj + У

16 j yiyj- 3 5 «1ds + c j —^— «ds +

j R

As/ ^ij

R2

2 "2

+4 j У{У/ -т5«2ds + 2 j m4m5 «2ds - 4c j У-' 25 «2ds -16 j У'У-' 35 4 «2ds,

P R/ As.- R/ As,- R/

У/У /m5m4

R

Asj ij

As, 4/'

As, ^7

As, ^j

2 j m1

cos Yi/

As,

Г-

V

m2-- ds -c j-— ds + c j m±«2 ds -2 j У' m4 « ds -

R3 ^

r У; m4, r c2m4 „ r У;m5m4

- j 34 2 ds + 6 j «2ds - 2c j 7 5 4 «ds

А 3

УкУ-Щ

R

f (3У + У-) +c j —«1

As- Rj

R

2 2

+

16 j

J

R

3 "2

«-.ds +

У /m5

R2

. r m5 f m4m5 „ r ^ ,■■ -5

ds + 4 j У;У-—5«1ds + 2 j 45 «1ds-4c j 2 «1ds-

R3 As,' Rj

R2

r m5 m4 16 j «ids

As,

(11)

еЧ = а

ЕгЧ = а

■ | с31п Гуёэ + | т2ёэ + | с31п- 8 | с21пЩёэ +

ДЕу ДЕу ДЕу

+ 2 | с2ёэ - 4 | с2т^ёэ

ДЕу ДЕу

| т1т 2 Л + | т2т 4 т 5ёэ - 4 | с2т 4 т 5Л + 4 | сс19ёэ

ДЕ,-

ДЕ,-

ДЕ,-

ДЕ,-

сЧ = Ъ

л г С08у, г бшу г 3У + уЧ , л Г т5т4 2 | т1т2-йй + с | -аэ + с | -щаэ + 2 | -«о +

ДЕ,-

г

ДЕу 'у

+ | щОк-2 I «+ с I

де, Щ де, Щ

2 Уут4

Я,2

«1йэ

ДЕу Щ у

г У/У/т5т4«1 +16 | 53 4 1 ^

Я

Г т4 «2 , ^ г т4 т5 «2 , | -Я^- Ж +16 | уу), 4 5 2 ёэ + 2

т4 т5 «2

де, Щ

) Я

ДЕ, (Ч

Г 2 т4 «2 л л Г т4«2 Л

| Уу-432^ - 2 I УгУ) : Щ л. Щ

ДЕУ У

Í^ т4 «2 , „ г . т4 «2 ,

Уу-Щ«2 + 2с I У] (у + Уу) -Щ2 <Ъ

Щ до Щ

ДЕ,-

ё * =

Ч

1 - Ъ

| (с + 2т2)С0Й ^ ёэ + с | У]п2 У «2ёэ +

ДЕ,-

г

Ч

Я

+ I ^ «2 & + 4 I ^ «2& - 4с I У^ гф.

Щ

Я2

, ^ г т5т4 г т4 , „ г 2 т4«1 , г т4«1 .

-16 I УуУ ""¿Г" «2- с I -¡Т + 2 I Уу-Щ- - 2 I УуУг — -

ДЕ,- Щ Д Щ

Я

ДЕ, г)

г 2 т4 «1 , „ г . т4 «1 , ^ г т4 т5

- I Уу-^+ 2с I У)(У + Уу^+16 I УуУг^«^

/у = а

НЧ = а

I тт^ + I с3т4т5ёэ - 4 I с2т4m5аs + 4с I с^О'

ДЕу ДЕу ДЕЧ

- I с31п Гцёэ + I т^ёэ + I с31п Щуёэ - 8 I с21пЯцОэ + I с3т^ёэ --2 I с2 ёэ + 4 I с—5 ёэ >.

xi - xi

где a = 1/8nG(1 -v); 0 = arctg-; щ = cos ß1 =

xj - xi

У i + yf

m2 = cos ß2 =

У; - У ru

c3 = (3 - 4v); c1 = (1 - v); c = (1 - 2v); m4 = sin 0; m5 = cos 0; c2 =

= yyj. u =

R2

b = 1/4n(1 - v);

Rij =yj(xj - Xi)2 + (y¡ + yj )2; Гу (Xj - Xi )2 + (yj - y¡ )2; nx = cos cq; n2 = cos a2; cos Yj = n1m1 + n2 m2; sin у- = mln2 - m2 n1; a1 — угол между нормалью n к контуру линии сооружения и осью x; a2—угол между нормалью n к контуру линии сооружения и осью y.

Представим систему разрешающих уравнений в стандартной матричной форме:

[A]-{X} = {B}, (12)

где [A] — матрица коэффициентов; {X} — вектор неизвестных; {B} = B° X P° — матрица свободных членов, которые имеют следующие структуры:

где Fc, Ec

A =

Л Bn, An n0 Bn0 En0 -Gn0 0 0

^ D1 Cn 0 Dn0 - Fn0 - ЯП0 0 0

0 0 0 0 En0 -Gn0 An2 ВП2

0 0 0 0 - F n0 - Hn0 СП2 Dn2

0 0 E0 0 En0 -Gn0 An2 ВП2

0 0 0 E0 - F n0 - Hn0 Cn 2 Dn2

{X} = {V \ , u0, Px0 , Py0 Pyn0 , Un2, Vn2 }T ,

{B} = B° j x{ P °} — вектор заданных нагрузок,

{ P • }={ Px° P0 F0 a0 }T,

[ B0] =

E G E G 0

H F H 0

0 0 0 0 - Ec

0 0 0 0 - Fc

0 0 0 0 -Ec

0 0 0 0 - Fc

матрицы правой части, имеющие вид:

j=n +no +n2 j =n +no +n2

Fc =- Z fj- COs a1 j , Ec = Z ^ COs a1 j ,

j=n1 +no +1 j =n1 +no +1

Ft = -Z fucos a1 у, Et =-Zcos a1 у,

где E0 — единичная матрица; Ft, Et — матрицы свободных членов от заданных объемных сил; P° = ^° P°)т ¥х¥у }Г — транспонированный вектор заданных сил.

В результате совместного решения системы уравнений (12) определяются искомые перемещения и напряжения на линии контакта сооружения с полуплоскостью. После определения перемещений на контуре сооружения S1, линии контакта S0 и на контуре отверстия S2 вычисляем деформации и по ним соответствующие напряжения. Таким образом, определяется напряженно-деформированное состояние взаимодействия сооружение — полуплоскость по линиям наибольших напряжений и деформаций, что достаточно для проведения инженерных расчетов и оценки безопасности объекта.

***

Разработан алгоритм решения статической задачи взаимодействия сооружения с упругим полупространством на основе метода граничных уравнений, который позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние системы «грунт—сооружение» при различных воздействиях.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных уравнений. — М.: Мир, 1987.

[2] Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. — М.: Изд-во АСВ, 2000.

[3] Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975.

[4] ТеллесД.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. — М.: Стройиздат, 1987.

THE ALGORITHM OF INTERACTION'S STRUCTURE WITH WEAKENED BY HOLE THE HALF-SPACE, IN CONDITIONS OF FLAT DEFORMATION

J.N. Nizomov1, A.A. Hojiboev2, O.A. Hojiboev1

institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

Ayni, 267, Dushanbe, Republic of Tajikistan, 734029

2Tajik Technical University after academician M. Osimi Radzhabovykh 10, Dushanbe, Republic of Tajikistan, 10734042

The algorithm of problem numerical solution for design and calculation of structures, which are interacting with an elastic half-space in terms of flat deformation are presented in the article.

Key words: boundary integral approach, plane problem, elastic half-space, half plane with openings, Melan solution, Kelvin solution, Cauchy equation, structure-halfplane, ground-structure.