CC BY
8
Теория у упругости
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНЕЧНОГО ТЕЛА С ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ
Д.Н. НИЗОМОВ*, д-р техн. наук, проф., А.А. ХОДЖИБОЕВ**, канд. техн. наук, О.А. ХОДЖИБОЕВ*, инженер
*Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан;
734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни 267, эл.-почта: tiees@mail.ru
**Таджикский технический университет имени академика М.С.Осими; 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджабовых 10, эл.-почта: hojiboev@mail.ru
В статье рассматривается решение задачи взаимодействия сооружения с основанием методом граничных уравнений.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод граничных интегральных уравнений, упругая полуплоскость, однородное тело, конечное тело, плоская деформация, решение Мелана, линия контакта, контур сооружения.
Рассматривается задача взаимодействия однородного тела (плотина, отдельно стоящее сооружение, здание и др.) с упругим полупространством в условиях плоской деформации (рис. 1). Однородное тело Q находится под действием объемных сил F и внешних воздействий P0 действующих на контуре Si.
Рис. 1. Схема взаимодействия сооружения с упругой полуплоскостью.
На рис.1 обозначены: - линия контакта сооружения с упругой полуплоскостью, - контур сооружения, 52 - поверхность полуплоскости; V, G и у0, G0 -коэффициент Пуассона и модуль сдвига сооружения и полуплоскости, Р0-внешняя нагрузка действующая на поверхность сооружения; п, s -нормаль и касательная на контур сооружения; х, у - оси координат.
Для решения этой задачи используется метод граничных интегральных уравнений. Граничные интегральные уравнения для внутренней задачи в матричной форме записывается в виде[1]:
[С]-{и} =\[и] •{ В}к - ds[Р*] •{ы}к - ds +\ [и]}• ds О (1)
s s О
здесь {u}={uv}T, {Р} = {РхРу} , ^} = {FxFy} - векторы неизвестных перемещений и напряжений подлежащих определению и заданных объемных сил;
матрицы [С ] и элементы этой матрицы c дующих выражений:
xx ' cyy ,
и cxy определяются из сле-
[С] =
*
cx
xx - c
- c
xy
yx
cyy
a
sin2 л
a
sin2 л
cxx _ + 0/1 . ' cyy '
2л 8(1-v)' yy 2л 8(1-v)'
cyx cyx
sin2 a 4л(1 -v)'
[u*], [P*] - матрицы фундаментальных решений для перемещений и напряжений. Граничные условия задачи такие, что на контуре тела 51 заданы векторы P-0 и P°, на S2 - P0 = P0 = 0, а на линии контакта ab соблюдаются условия совместности деформаций. Начальное напряжение в полуплоскости отсутствует.
Для внутренней задачи используются фундаментальные решения Кельвина [2]. Для фундаментальных перемещений:
2 "1
UkP = uhv + uu,, vhp = vhx + vu,, ukx = -a (3 - 4v)ln rpk - cos P , (2)
kp = ukx + uky, vkp = vkx + vky, ukx = -a (3 - 4v)ln rpk - cos ßi
vkx = a ■ cos ßi ■ cos ß2, v*y = -a (3 - 4v)ln rpk - cosß2 ujy = a ■ cos ßi ■ cos ß2
где a = I/ 8лG(i - v), rpk =
(x - £)2 + (y -Ц)2
расстояние между точками
k(х,у), р(В,,ц); Р\,Р2 ~ углы наклона радиус-вектора ^ к осями х и у в точке р . На основе формул (2) и с использованием формул
Рхх = °ххп1 + тух,хп2, Рух = аухп2 + тху,хп1, Рху = ахуп\ + тухп2 , Руу = °ууп2 + тху,уп1, (3)
P* = P* + P* ,
x xx xy'
P = P + P
y yx yy
где « = cos«, П2 = cos «2 - направляющие косинусы углов нормали с осями x, y, можно написать фундаментальные напряжения в виде:
P* =-b(c + 2m2 )cos у / rp , P* = -b [c(m« - m2«) + 2mm cos у ] / r^ ,
P*x = b [c(m« - m2«i) - 2mm • cosy] / r^p , B*y =-b(c + 2mf)cosy / r^p (4)
где b = 1/4^(1 -v), c = 1 -2v, mj = cosp, m2 = cosP2, cosy = cos« • cosPi + +cos «2 • cos P2, у - угол наклона между радиус - вектором r и нормалью n в точке k(x,y).
Для получения граничных интегральных уравнений плоской задачи погружая область Q + S в полуплоскость, где часть границы рассматриваемого тела совпадает с поверхностью полубесконечной плоскости (рис. 2), из теоремы взаимности работ с учётом равенство нулю фундаментальных напряжений на поверхности pX*x = рУ*х = PXy = P*y = 0 получим:
u(Р)+J P*uds = JPu ds, где S = So + Sj, P eQ . (5)
Если выполняется условие на бесконечность, будем иметь lim J ([u*]{P}-[P*]{u})dTk = 0,
Ги
Если граница £ (рис 2, а) удаляется на бесконечность, то из (5) с учетом (6), получим:
и (р) = \ РисЬ, Р е £0 + 0 (7)
Рис.2. К выводу граничных интегральных уравнений: а) часть границы рассматриваемого тела совпадает с поверхностью полубесконечной плоскости; б) схема определения
углов а и а2 для вычисления направляющих косинусов п1, п2 по формуле (3).
Задача взаимодействия сооружения с упругой полуплоскостью (рис.1) сводится к совместному решению систем интегральных уравнений (1) и (7).
Причем в (1) используются фундаментальные решения Кельвина (для внутренней задачи 2,3), а в системе уравнений получаемых на основе (7) используются фундаментальные решения Мелана.
Для численной реализации системы интегральных уравнений (1) разбиваем контур сооружения £ на щ, а линии контакта £о на п§ граничных элементов и область О на т ячеек. Система граничных интегральных уравнений (1) с внутренней областью О и контуром £ = £о + £ (рис.1) при численной реализации представляется в виде следующей системы алгебраических уравнений:
1=п1+по
I
У=1
у=п1 +по
у =п1 +по
у=п1+по
аУиУ
+ 1 Уу - 1 вгуРху - 1 ЧгуРуу =
У=1
У =п1 +1
У=п1+1
У=п1 0 У=п1 0 У=т У=т
= I У*0 + I %Руу + I вгурху + I Чуруу
(8)
У=1
У=1
у=п1+по
у=п1+по
у=п1+по
У=1
у=п1 +по
У=1
I СУиУ + I У- I Ух/- I Ьуруу
У =1 У =1 У =п1 +1 У =п1 +1
У = п1
У = п1
= I + + I /уГу + ! Уу , г = 1,-, п1 + по.
(9)
У=1 У=1 У=1 У=1
Коэффициенты в уравнениях (8), (9) определяются по следующим формулам, на основе фундаментальных решений Кельвина и представляют коэффициенты системы алгебраических уравнений заменяющих систему интегральных уравнений (1) при численном решении:
агу = Схх - Ь|(с + 2т12 ) * (cos У / гкрг1 ,
Ьу =-Сух - Ь
п2 - т2щ) - 2т1т2 * соб агу ] / Гк^. | * dsj,
ву =-а | [(3 - 4у) * 1п Грк.. - СОБ2 Д ] * dsj , дгу = а| соб Д * СОБ Р2 * dsу = /у ,
А£1
о
cij = ~cxy - b J j[c(m1n 2 -m2n1) + 2m1m2 cos Yij] / rkp„ fsj
as/ ;
dij = Cyyb J [(c + 2mf) cos Yj / rkpj. ] • dsj , h- = a J [(3 - 4v) • ln rpkj - cos ] • ds. , ^ as. где cos y = cos« cos Pi + cos«2 cos P2, Y - угол наклона между радиус-вектором r и нормалью n в точке k(x,y); b = 1/4^(1-v), c = 1- 2v, mi = cos Pi, m2 = cos P2, ni = cos«, П2 = cos «2 - направляющие косинусы углов нормали с осями x, y .
Для системы уравнений (8) и (9) куда входят коэффициенты (10) механические характеристики для однородного сооружения определяются с использованием v и G . Вторую систему уравнений, т.е. систему уравнений для полуплоскости (рис.1) получаем из уравнения (7):
л y
u(p) = J Upds, p e Sq +Q,
Sn
(11)
up - J ukxPxds + J vkxPyds = 0
s0 S0
vp - J ukyPxds - J vkyPyds = 0
sn Sr
(11')
J0 °0
Решение Мелана для полуплоскости при y = 0 и при у,- = 0 , у = п/2 имеет
вид
ukx =
1
2nGn
1 - 2(1 - Vq) • ln J х- - xl I
vkx =■
1 - 2v
0
1 - 2v
4Gn
uky =-"
0
4Gn
P2 = */2,
vkx =
1 - 2v
0
4Gn
uky =
1 -2v0 « - — - 1 -V0 • lnlx, -x|. (12)
4Gn
p2 =-n/2, v*y =
7tGn
т0
Для случая (рис. 1) при рассмотрении точек линии контакта аЬ и когда ось у находится слева от сооружения система интегральных уравнений (11) принимает следующий вид:
1
p Z I 2nG0
Sn ^
VP - J
- 2(1 - Vq) • ln x. - x \ds • Px -J
1 - 2v,
0
> • /jx •
" 1 - 2vq " ds • Px - J
_ 4Gq _ x so
1 - v0
--— • ln x j - xA
wOq 1 1
• /jx •
4Gq
Py = 0
Py = 0
up--
p 2nGn
J ds - 2(1 - Vq) • J ln xj - xA ds
• P --
1 - 2v
'0
4G,
-J
1 - 2v
0
4Gn
J ds -J -1—— J lnl x, - x,|
So 1 *G0 So |j г|
0 So
• Py = 0
(13)
(14)
J ds • Py = 0 (13 )
Систему уравнений (13) и (14) можно представить следующим образом:
j=n1+n0 , j=n1+ no ,
ui- £ eijPxj- £ 4ijPyj =0, j=n1+1 j=n1+1
(14)
0
0
1
0
0
v
0
j =n!+n0 f j=Щ +Щ }
Vi - I fjPj - I hj-Pyj = 0, i = ni + l,...,ni +n0. (16) j=ni+1 j=ni+1
1
Здесь e,-,- = -
lJ 2%G0
J dsj • 2(1 - vo) J ln I Xj - Xj I • dsj
AS,-
AS,-
=
1 - 2v0 4G
0 AS
fij =-
1 - 2v0 4Gn
1 - v0 TrGn
J ln| Xj ~ :
(17)
70 AS1
Коэффициенты (17) соответствуют фундаментальным решениям Мелана для полуплоскости.
Системы уравнений (8), (9), (15) и (16) представим в стандартном матричном виде:
(18)
где
[ A] =
[ A]{ X} = {B},
A B - E -G"
C D - F - H
E00 O -E -G
O E0 -F - H
Вектор неизвестных {X} = {и,V,Рх,Ру} состоит из четырех векторов и,V,Рх и Ру, каждый из которых имеют по «1 + По неизвестных соответственно.
Т
Например, и = {и1,и^,..,ип^ +«} , а остальные векторы имеют аналогичную структуру.
Вектор заданных нагрузок имеет следующий вид: {В} = [В0] х {Р0} , где
[ B0] =
E G E G
F H F H
O O O O
O O O O
{P0} = {P?, P0 ^x0, F0}T
В результате решения системы уравнений (8), (9), (15) и (16) получим значения напряжений и перемещения на контактной линии ab и значения перемещений на контуре сооружения. Таким образом, на основе метода граничных интегральных уравнений, разработан алгоритм расчёта зданий и сооружений с учётом их совместной работы с основанием, что позволяет исследовать напряженно- деформированное состояние объекта при различных внешних воздействиях, в том числе сейсмических.
Л и т е р а т у р а
1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000. - 282с.
2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
R e f e г e n c e s
1. Nizomov J.N. Metod granichnih uravneniy v reshenii staticheskih I dinamicheskih zadach stroi-telnoy mechaniki. - Moscow: Izd-vo ASV, 2000. - 282 p.
2. Novatskiy V. Teoriya uprugosti. - Moscow: Mir, 1975. - 872 p.
RESOLVING EQUATIONS OF THE BOUNDARY INTEGRAL APPROACH FOR THE PROBLEM OF INTERACTION OF A FINITE BODY WITH HALF-PLANE
J.N. Nizomov*, A.A. Hojiboev**, O.A. Hojiboev*
*Institut geologii, seysmostoykogo stroitelstva i seismologii AN Tadgikistana, **Tadgikskiy tehnicheskiy universitet im. akademika M.S. Osimi, Dushanbe, Tadgikistan
A problem of interactions of structure with ground by boundary integral approach is solved in present article.
KEY WORDS: boundary integral approach, elastic half-plane, homogeneous body, half-infinite plane, finite body, plane deformation, Melan solution, contact line, contour of
structure.
