Научная статья на тему 'Решение задачи взаимодействия конечного тела с полуплоскостью'

Решение задачи взаимодействия конечного тела с полуплоскостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
56
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ / BOUNDARY INTEGRAL APPROACH / УПРУГАЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ / ELASTIC HALF-PLANE / ОДНОРОДНОЕ ТЕЛО / HOMOGENEOUS BODY / КОНЕЧНОЕ ТЕЛО / FINITE BODY / ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ / PLANE DEFORMATION / РЕШЕНИЕ МЕЛАНА / ЛИНИЯ КОНТАКТА / CONTACT LINE / КОНТУР СООРУЖЕНИЯ / HALF-INFINITE PLANE / MELAN SOLUTION / CONTOUR OF STRUCTURE

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Низомов Джахонгир Низомович, Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович, Ходжибоев Орифджон Абдуазизович

В статье рассматривается решение задачи взаимодействия сооружения с основанием методом граничных уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Низомов Джахонгир Низомович, Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович, Ходжибоев Орифджон Абдуазизович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

RESOLVING EQUATIONS OF THE BOUNDARY INTEGRAL APPROACH FOR THE PROBLEM OF INTERACTION OF A FINITE BODY WITH HALF-PLANE

A problem of interactions of structure with ground by boundary integral approach is solved in present article

Текст научной работы на тему «Решение задачи взаимодействия конечного тела с полуплоскостью»

Теория у упругости

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНЕЧНОГО ТЕЛА С ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ

Д.Н. НИЗОМОВ*, д-р техн. наук, проф., А.А. ХОДЖИБОЕВ**, канд. техн. наук, О.А. ХОДЖИБОЕВ*, инженер

*Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан;

734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни 267, эл.-почта: [email protected]

**Таджикский технический университет имени академика М.С.Осими; 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджабовых 10, эл.-почта: [email protected]

В статье рассматривается решение задачи взаимодействия сооружения с основанием методом граничных уравнений.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод граничных интегральных уравнений, упругая полуплоскость, однородное тело, конечное тело, плоская деформация, решение Мелана, линия контакта, контур сооружения.

Рассматривается задача взаимодействия однородного тела (плотина, отдельно стоящее сооружение, здание и др.) с упругим полупространством в условиях плоской деформации (рис. 1). Однородное тело Q находится под действием объемных сил F и внешних воздействий P0 действующих на контуре Si.

Рис. 1. Схема взаимодействия сооружения с упругой полуплоскостью.

На рис.1 обозначены: - линия контакта сооружения с упругой полуплоскостью, - контур сооружения, 52 - поверхность полуплоскости; V, G и у0, G0 -коэффициент Пуассона и модуль сдвига сооружения и полуплоскости, Р0-внешняя нагрузка действующая на поверхность сооружения; п, s -нормаль и касательная на контур сооружения; х, у - оси координат.

Для решения этой задачи используется метод граничных интегральных уравнений. Граничные интегральные уравнения для внутренней задачи в матричной форме записывается в виде[1]:

[С]-{и} =\[и] •{ В}к - ds[Р*] •{ы}к - ds +\ [и]}• ds О (1)

s s О

здесь {u}={uv}T, {Р} = {РхРу} , ^} = {FxFy} - векторы неизвестных перемещений и напряжений подлежащих определению и заданных объемных сил;

матрицы [С ] и элементы этой матрицы c дующих выражений:

xx ' cyy ,

и cxy определяются из сле-

[С] =

*

cx

xx - c

- c

xy

yx

cyy

a

sin2 л

a

sin2 л

cxx _ + 0/1 . ' cyy '

2л 8(1-v)' yy 2л 8(1-v)'

cyx cyx

sin2 a 4л(1 -v)'

[u*], [P*] - матрицы фундаментальных решений для перемещений и напряжений. Граничные условия задачи такие, что на контуре тела 51 заданы векторы P-0 и P°, на S2 - P0 = P0 = 0, а на линии контакта ab соблюдаются условия совместности деформаций. Начальное напряжение в полуплоскости отсутствует.

Для внутренней задачи используются фундаментальные решения Кельвина [2]. Для фундаментальных перемещений:

2 "1

UkP = uhv + uu,, vhp = vhx + vu,, ukx = -a (3 - 4v)ln rpk - cos P , (2)

kp = ukx + uky, vkp = vkx + vky, ukx = -a (3 - 4v)ln rpk - cos ßi

vkx = a ■ cos ßi ■ cos ß2, v*y = -a (3 - 4v)ln rpk - cosß2 ujy = a ■ cos ßi ■ cos ß2

где a = I/ 8лG(i - v), rpk =

(x - £)2 + (y -Ц)2

расстояние между точками

k(х,у), р(В,,ц); Р\,Р2 ~ углы наклона радиус-вектора ^ к осями х и у в точке р . На основе формул (2) и с использованием формул

Рхх = °ххп1 + тух,хп2, Рух = аухп2 + тху,хп1, Рху = ахуп\ + тухп2 , Руу = °ууп2 + тху,уп1, (3)

P* = P* + P* ,

x xx xy'

P = P + P

y yx yy

где « = cos«, П2 = cos «2 - направляющие косинусы углов нормали с осями x, y, можно написать фундаментальные напряжения в виде:

P* =-b(c + 2m2 )cos у / rp , P* = -b [c(m« - m2«) + 2mm cos у ] / r^ ,

P*x = b [c(m« - m2«i) - 2mm • cosy] / r^p , B*y =-b(c + 2mf)cosy / r^p (4)

где b = 1/4^(1 -v), c = 1 -2v, mj = cosp, m2 = cosP2, cosy = cos« • cosPi + +cos «2 • cos P2, у - угол наклона между радиус - вектором r и нормалью n в точке k(x,y).

Для получения граничных интегральных уравнений плоской задачи погружая область Q + S в полуплоскость, где часть границы рассматриваемого тела совпадает с поверхностью полубесконечной плоскости (рис. 2), из теоремы взаимности работ с учётом равенство нулю фундаментальных напряжений на поверхности pX*x = рУ*х = PXy = P*y = 0 получим:

u(Р)+J P*uds = JPu ds, где S = So + Sj, P eQ . (5)

Если выполняется условие на бесконечность, будем иметь lim J ([u*]{P}-[P*]{u})dTk = 0,

Ги

Если граница £ (рис 2, а) удаляется на бесконечность, то из (5) с учетом (6), получим:

и (р) = \ РисЬ, Р е £0 + 0 (7)

Рис.2. К выводу граничных интегральных уравнений: а) часть границы рассматриваемого тела совпадает с поверхностью полубесконечной плоскости; б) схема определения

углов а и а2 для вычисления направляющих косинусов п1, п2 по формуле (3).

Задача взаимодействия сооружения с упругой полуплоскостью (рис.1) сводится к совместному решению систем интегральных уравнений (1) и (7).

Причем в (1) используются фундаментальные решения Кельвина (для внутренней задачи 2,3), а в системе уравнений получаемых на основе (7) используются фундаментальные решения Мелана.

Для численной реализации системы интегральных уравнений (1) разбиваем контур сооружения £ на щ, а линии контакта £о на п§ граничных элементов и область О на т ячеек. Система граничных интегральных уравнений (1) с внутренней областью О и контуром £ = £о + £ (рис.1) при численной реализации представляется в виде следующей системы алгебраических уравнений:

1=п1+по

I

У=1

у=п1 +по

у =п1 +по

у=п1+по

аУиУ

+ 1 Уу - 1 вгуРху - 1 ЧгуРуу =

У=1

У =п1 +1

У=п1+1

У=п1 0 У=п1 0 У=т У=т

= I У*0 + I %Руу + I вгурху + I Чуруу

(8)

У=1

У=1

у=п1+по

у=п1+по

у=п1+по

У=1

у=п1 +по

У=1

I СУиУ + I У- I Ух/- I Ьуруу

У =1 У =1 У =п1 +1 У =п1 +1

У = п1

У = п1

= I + + I /уГу + ! Уу , г = 1,-, п1 + по.

(9)

У=1 У=1 У=1 У=1

Коэффициенты в уравнениях (8), (9) определяются по следующим формулам, на основе фундаментальных решений Кельвина и представляют коэффициенты системы алгебраических уравнений заменяющих систему интегральных уравнений (1) при численном решении:

агу = Схх - Ь|(с + 2т12 ) * (cos У / гкрг1 ,

Ьу =-Сух - Ь

п2 - т2щ) - 2т1т2 * соб агу ] / Гк^. | * dsj,

ву =-а | [(3 - 4у) * 1п Грк.. - СОБ2 Д ] * dsj , дгу = а| соб Д * СОБ Р2 * dsу = /у ,

А£1

о

cij = ~cxy - b J j[c(m1n 2 -m2n1) + 2m1m2 cos Yij] / rkp„ fsj

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

as/ ;

dij = Cyyb J [(c + 2mf) cos Yj / rkpj. ] • dsj , h- = a J [(3 - 4v) • ln rpkj - cos ] • ds. , ^ as. где cos y = cos« cos Pi + cos«2 cos P2, Y - угол наклона между радиус-вектором r и нормалью n в точке k(x,y); b = 1/4^(1-v), c = 1- 2v, mi = cos Pi, m2 = cos P2, ni = cos«, П2 = cos «2 - направляющие косинусы углов нормали с осями x, y .

Для системы уравнений (8) и (9) куда входят коэффициенты (10) механические характеристики для однородного сооружения определяются с использованием v и G . Вторую систему уравнений, т.е. систему уравнений для полуплоскости (рис.1) получаем из уравнения (7):

л y

u(p) = J Upds, p e Sq +Q,

Sn

(11)

up - J ukxPxds + J vkxPyds = 0

s0 S0

vp - J ukyPxds - J vkyPyds = 0

sn Sr

(11')

J0 °0

Решение Мелана для полуплоскости при y = 0 и при у,- = 0 , у = п/2 имеет

вид

ukx =

1

2nGn

1 - 2(1 - Vq) • ln J х- - xl I

vkx =■

1 - 2v

0

1 - 2v

4Gn

uky =-"

0

4Gn

P2 = */2,

vkx =

1 - 2v

0

4Gn

uky =

1 -2v0 « - — - 1 -V0 • lnlx, -x|. (12)

4Gn

p2 =-n/2, v*y =

7tGn

т0

Для случая (рис. 1) при рассмотрении точек линии контакта аЬ и когда ось у находится слева от сооружения система интегральных уравнений (11) принимает следующий вид:

1

p Z I 2nG0

Sn ^

VP - J

- 2(1 - Vq) • ln x. - x \ds • Px -J

1 - 2v,

0

> • /jx •

" 1 - 2vq " ds • Px - J

_ 4Gq _ x so

1 - v0

--— • ln x j - xA

wOq 1 1

• /jx •

4Gq

Py = 0

Py = 0

up--

p 2nGn

J ds - 2(1 - Vq) • J ln xj - xA ds

• P --

1 - 2v

'0

4G,

-J

1 - 2v

0

4Gn

J ds -J -1—— J lnl x, - x,|

So 1 *G0 So |j г|

0 So

• Py = 0

(13)

(14)

J ds • Py = 0 (13 )

Систему уравнений (13) и (14) можно представить следующим образом:

j=n1+n0 , j=n1+ no ,

ui- £ eijPxj- £ 4ijPyj =0, j=n1+1 j=n1+1

(14)

0

0

1

0

0

v

0

j =n!+n0 f j=Щ +Щ }

Vi - I fjPj - I hj-Pyj = 0, i = ni + l,...,ni +n0. (16) j=ni+1 j=ni+1

1

Здесь e,-,- = -

lJ 2%G0

J dsj • 2(1 - vo) J ln I Xj - Xj I • dsj

AS,-

AS,-

=

1 - 2v0 4G

0 AS

fij =-

1 - 2v0 4Gn

1 - v0 TrGn

J ln| Xj ~ :

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(17)

70 AS1

Коэффициенты (17) соответствуют фундаментальным решениям Мелана для полуплоскости.

Системы уравнений (8), (9), (15) и (16) представим в стандартном матричном виде:

(18)

где

[ A] =

[ A]{ X} = {B},

A B - E -G"

C D - F - H

E00 O -E -G

O E0 -F - H

Вектор неизвестных {X} = {и,V,Рх,Ру} состоит из четырех векторов и,V,Рх и Ру, каждый из которых имеют по «1 + По неизвестных соответственно.

Т

Например, и = {и1,и^,..,ип^ +«} , а остальные векторы имеют аналогичную структуру.

Вектор заданных нагрузок имеет следующий вид: {В} = [В0] х {Р0} , где

[ B0] =

E G E G

F H F H

O O O O

O O O O

{P0} = {P?, P0 ^x0, F0}T

В результате решения системы уравнений (8), (9), (15) и (16) получим значения напряжений и перемещения на контактной линии ab и значения перемещений на контуре сооружения. Таким образом, на основе метода граничных интегральных уравнений, разработан алгоритм расчёта зданий и сооружений с учётом их совместной работы с основанием, что позволяет исследовать напряженно- деформированное состояние объекта при различных внешних воздействиях, в том числе сейсмических.

Л и т е р а т у р а

1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000. - 282с.

2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

R e f e г e n c e s

1. Nizomov J.N. Metod granichnih uravneniy v reshenii staticheskih I dinamicheskih zadach stroi-telnoy mechaniki. - Moscow: Izd-vo ASV, 2000. - 282 p.

2. Novatskiy V. Teoriya uprugosti. - Moscow: Mir, 1975. - 872 p.

RESOLVING EQUATIONS OF THE BOUNDARY INTEGRAL APPROACH FOR THE PROBLEM OF INTERACTION OF A FINITE BODY WITH HALF-PLANE

J.N. Nizomov*, A.A. Hojiboev**, O.A. Hojiboev*

*Institut geologii, seysmostoykogo stroitelstva i seismologii AN Tadgikistana, **Tadgikskiy tehnicheskiy universitet im. akademika M.S. Osimi, Dushanbe, Tadgikistan

A problem of interactions of structure with ground by boundary integral approach is solved in present article.

KEY WORDS: boundary integral approach, elastic half-plane, homogeneous body, half-infinite plane, finite body, plane deformation, Melan solution, contact line, contour of

structure.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.