Концентрация напряжений вокруг отверстия в полуплоскости растягиваемой на бесконечность Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ РАСТЯГИВАЕМОЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТЬ

STRESS CONCENTRATION AROUND THE HOLES IN THE HALFPLANE STRETCHED TO INFINITY

Д.Н.Низомов, А.А.Ходжибоев, O.A. Ходжибоев J.N.Nizomov, A.A.Hojiboev, O.A.Hojiboev

ТТУ им. акад. М.С.Осими

В статье решается задача упругого полупространства, находящегося в плоском деформированном состоянии.

In this article we solve the problem an elastic half-space in the plane strain condition.

Использование модели упругого полупространства для анализа проблемы взаимодействия сооружения с грунтом приводит к математической модели, где требуются фундаментальные решения для полупространства. Решение задачи от действия единичных сосредоточенных сил, приложенных внутри изотропной среды для случая плоского деформированного состояния, получено Меланом [2].

Пусть в точке p(^, if) — i(xi, yi) полуплоскости действуют единичные силы ex,

ey (рис.1). От действия единичных сил в точке k(x, y) = j(Xj, yj) возникают перемещения, которых можно представить в виде

(1)

* * * ukp = ukx + uky ,

vkp = vkx + vky .

Компоненты перемещений в (1) являются фундаментальными решениями Мелана, которые состоят из суммы решения Кельвина и дополнительных решений:

и1 = а [-(3 - 4^)1п к + cos2 Д + (3 - 4^) 1п Щ - 8(1 - 1п Щ +

+(3 - 4^>т2 в +

2УгУ/ 4УгУ/

щ ц

sin2 в] ,

у^ = а [cos Д • cos Д, + (3 - 4^) • cos в- sin в -

+4(1 - 2^)0];

4 УгУ/

щ2

cos в- sin в -

(2)

и*кУ = а [cos Д ■ cos Д, + (3 - 4^) • cos в ■ sin в —ЩУ- ■ cos в- sin в -

Щ;

-4(1 " 2^], у* = а[-(3 - 4^)1п т. + cos2 Д + (3 - 4р) 1п Щ. - 8(1 - ^)21п Щ +

. /"> л \ 2 П 2УгУ/ , 4УгУ] 2 +(3-4^)cos в- ~~~

гУ / У гУ / 2

н--И- ^ в] .

где ^ — коэффициент Пуассона, О — модуль сдвига,

1

а = ■

■; б? = ат^у1-1-; cosД = —-—; cosД2 = У——

X - X ■

] г

(х/ - х)

т

г/

т

/

8лв(1 -М) |У, + У,

Решения (2) содержат сингулярности того же порядка, что и соответствующее решение Кельвина. Напряжения, соответствующие действующим внутри полуплоскости единичным силам, могут быть получены с учетом зависимостей

РХх = ^ «1 + Vх C0s ^ К = C0s «1 + VУ C0s «2 ,

РУУ =°УУ С0^2 + У С0^Г

Исходя из закона Гука и уравнения Коши с учетом (3) можно получит напряжения на наклонной плоскости, соответствующие фундаментальным решениям (2):

Рх =-Ъ ^[(1 ~2ц) + 2ш2]-^ + 3(1 -2ц)—- «1 +

т.- Щ

+2

sin2 0-

4УгУ/ 2 У

У

2 2 -2(1 -2д) —cosв

Щ Щ Ч _

Щ

-п1 +

cos2 „ зУ/ + Уг + 16 УгУ,----«1 + (1 - 2^)-—-«2 +

Щ3

Щ2

BECTHMK 7/2011

cos# 2sin é?cos0

+4 y^i-^T n2 +-R-n2 -

Rj Rj

y. cos2 0 16yy, cos^sin2 0 .

-4(1-n2--3-n2\; (4)

RR

p = -„\2,ntnh^-(i-2^+0+2MA -

1 r.. r.. R

i i i

-2

y2 y, 6yy y, cos^

R R R Rj .

sin3 0 „ 3yj + y,.

sin#

r

-n2 +

+16y.yj n2 + (1 " 2^) jp2 ' ni + R Rj

cos# 2sin2 0 cosO

+4 yy -R^ n1 +-R-n1

Ry Ry

AS, o xy¡ cos2 o cos^sin2 0 ,

"4(1"2^) j P2 n1 - 16y'.yj---n1 \; (5)

Rj Rj

cosf sin^

xy --b 12n!n2-+ (1 "2^)-+ (1 "2^)-

r r R

ij ij ij

cos d • sin2 e 2 y' cos d 2 y. sin2 6> „ .2 y7 sin2 <9

+2[ r + ---R—+(1" ^-j^"1"'

j j j j

16y,y cos 0 sin2 0 sin 0 « s sin 0 cos2 0

+-^3-n1"(1" n2 +16 y.yj-^3-n2 +

Ry Rij Rij

+2[y2 -2yy -yf + 2(1-2^)yj(y,. + y}\; (6)

j

P*y =-b \ [(1 - 2^) + 2n2 ] ^ + (1 -2^) n +

rií y

^ 2cos3 0 ^ 4y,y cos^ yjsin2 0

+---n2 +--3-n2 - 4(1 - 2^)-~2-n2 -

Rj Rj Rj

costfsin2 $ „ xsin0

"16ytyj-^-n2 -(1 - n1 +

Rij Ktj

+2[yj -2уу - y2 + 2(1 - 2v)y (y + y +

R,,

+16 yy

sinocos2 в

(7)

где n1 - cos ax; n2 - cos tt2; m1 - cos Д ; m2 - cos Д;

cos у - n1m1 + n2m2; sin y - mxn2 - m2n1,

Рассмотрим задачу, которая представляет собой полуплоскость с отверстием при действии растягивающих напряжений (рис. 2). При этом считается, что поверхность полуплоскости S2 свободна от нагрузки. В этом случае интегральное уравнение записывается в виде

{U(p)} + j[P*]{U}ds = j[U']{P}ds, p eQ, (8)

S S

где {U} — вектор искомых перемещений, {P} — вектор заданных напряжений, [U ],[P ] — матрицы фундаментальных решений (2)-(7).

о

У,

е

Ро

СГ.г-

ХУ

_ Т_ — (Ух

Рис 2. Полуплоскость, ослабленная отверстием Когда точка р е 5, то интеграл в левой части (8) понимается в смысле главного значения и система граничных уравнений для « узлов сплайна записывается в виде [1]

Z cC4ui+Z b-jvj=~а<0 Z cos ау,

n __n

Z cjuj+Z j=Z fcos ^.

(9)

В случае, когда на участке аЪ поверхности полуплоскости действует внешняя нагрузка, то интегральное уравнение приобретает следующий вид

[С] и {I)} + |[Р* = |[и ]{Р№ + |[и ]{р,}л,

(10)

где значения коэффициентов матрицы [С] зависят от местоположения точки I. При расположении точки I на поверхности $2 [С] есть единичная матрица второго порядка. Таблица 1. Сравнение результатов при различных разбиениях контура и Н0 = 1,5Я0

Перемещения и напряжения № Контрольные узлы

1 2 3 4 5

8 -1.6832 -0.7916 -0.2745 -0.3179 -0.4389

ип 16 -1.8005 -0.7793 -0.2538 -0.3143 -0.4422

32 -1.8175 -0.7562 -0.2350 -0.3052 -0.4379

64 -1.8155 -0.7436 -0.2253 -0.2999 -0.4349

128 -1.8112 -0.7371 -0.2204 -0.2970 -0.4332

8 1.9989 3.2967 2.7343 1.8916 2.6042

ст5 16 2.4257 3.3346 2.2163 1.7522 2.5778

32 3.8875 3.0459 2.0572 1.6912 2.5515

64 4.1292 2.9156 2.0028 1.6644 2.5335

128 4.2296 2.8621 1.9816 1.6516 2.5225

В качестве примера рассмотрим одноосное растяжение полуплоскости, в условиях плоской деформации, с круговым отверстием (рис. 3). Результаты получены при следующих данных: Н0 = 1,5Я , Я0 — 1, С = 1, ст° = 1, V = 0.25. В табл. 1 приведены результаты численного решения задачи при различных разбиениях контура отверстия на граничные элементы нулевого порядка. Сравнение результатов по нормальным перемещениям и тангенциальным напряжениям в контрольных узлах показывает, что имеется сходимость численного решения. На рис. 4 показаны распределения нормальных перемещений и тангенциальных напряжений на контуре отверстия при Н0 = 1,5Я0 и разбивке контура на 128 элементов. Получены также результаты при одновременном действии распределенной нагрузки на участке поверхности полуплоскости и растягивающего напряжения в бесконечности. Исследовано влияние глубины заложения отверстия на напряженно-деформированное состояние контура отверстия.

и

Рис. 3. К решению примера.

7/2011

ВЕСТНИК

о

H0=1.5R&

о

СГг^

(Ух

о

L

J

Рис. 4. Эпюры Н„Н СГ, при iT0 = 1,57?,

о

Таким образом, на основе метода граничных интегральных уравнений разработан алгоритм и предлагается математическая модель решения задач полуплоскости, ослабленной отверстием произвольной формы в условиях плоской деформации при различных воздействиях. Предлагаемая методика может быть использована для решения сложных задач взаимодействия надземных и подземных сооружений.

Литература

1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2000.-282 с.

2. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.: Стройиздат, 1987.-160 с.

1. Nizomov D.N. Metod granichnyh uravnenii v reshenii staticheskih i dinamicheskih zadach stroitel'noi mehaniki. - M.: Izd-vo Associacii stroitel'nyh vuzov, 2000.-282 s.

2. Teiles D.K.F. Primenenie metoda granichnyh elementov dlya resheniya neuprugih zadach. -M.: Stroiizdat, 1987.-160 s.

Ключевые слова: - полуплоскость - полупространство - решение Кельвина - решение Ме-лана - закон Гука - уравнение Коши - отверстие - изотропная среда.

Key words: - half-plane - half-space - Kelvin solution - Melan solution - Hooke's law - Cauchy equation - hole - isotropic medium.

Рецензент: директор научно - исследовательского института строительства и архитектуры Агентства по Строительству и Архитектуре при правительстве Республики Таджикистан,

к.т.н., доцент Фазылов А.Р.

Literature

Республика Таджикистан г.Душанбе ул. акад. Раджабовых 10а 734042.

Телефон/факс: (+992 37) 2255916, (+992 37) 2254478 E-mail: [email protected].