Численное решение пространственной внешней задачи теории упругости методом граничных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №7_

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

УДК 624.042

А.А.Ходжибоев , член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов,

О.А.Ходжибоев

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан, Таджикский технический университет им. академика М.С.Осими

Разработан алгоритм численного решения пространственных задач теории упругости на основе метода граничных уравнений. Алгоритм реализован на примере кубической полости, находящейся в равномерно растягиваемом неограниченном пространстве.

Ключевые слова: численное решение - пространственная задача - внешняя задача - метод граничных уравнений - граничные элементы - трёхмерная область - граничные интегральные уравнения -начальное напряжённое состояние - дополнительное состояние.

Рассмотрим трёхмерное тело V с полостью V, которая имеет граничную поверхность О. Пусть V , при отсутствии + , находится в начальном напряжённом состоянии с°.. Тогда по известным компонентам напряжённого состояния о° можно вычислить вектор напряжений в произвольной точке £ пространства. Компоненты этого вектора, полученные из рассмотрения тетраэдра, записываются в виде

Р; (х, t) = &; (t)nJ (х) , г= 1,2,3 , х е V, (1)

где п . — направляющие косинусы нормали п к наклонной площадке dО. Начальное напряжённое

состояние среды нарушается, после того как мы удаляем из V тело V , в результате чего в бесконечной среде с полостью возникают дополнительные перемещения и напряжения. Окончательные значения напряжений и перемещений в произвольной точке £ определяются в результате суммирования начального и дополнительного состояний. Если на граничную поверхность О действует вектор внешних сил с компонентами qi (х, t), то можно записать

ро(х, ^ + Р(х, г) = дг(х, 0, (2)

где р (х, () — искомые компоненты дополнительных напряжений, Р° (х, {) -компоненты начальных

напряжений (1). Из (2) следует, что компоненты напряжений в дополнительном состоянии выражаются

Адрес для корреспонденции: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. академиков Раджабовых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: hojiboev@mail.ru

Р(х, г) = д, (X, г) — Р°°х, г) = дг (х, г)-оОп,.

(3)

В частном случае, если контур полости остаётся свободным от внешнего воздействия, то правая часть в (2) равняется нулю и дополнительные напряжения на контуре записываются в виде

р (х, г) = —Р° (х, г) = —а° (г)п, (х).

(4)

Если пренебречь начальными перемещениями в бесконечной среде без полости, то окончательные перемещения будут равняться перемещениям дополнительного состояния.

Таким образом, для внешней задачи с заданными на бесконечности напряжениями граничные уравнения составляются относительно дополнительных перемещений и напряжений. Граничное интегральное уравнение для внешней задачи приобретает вид [1]

(Л г) + {(Л, х)Щ (х, г)^О(х) = {Щ(Л, х)р (х, г)^О(х), и = 1,2,3 Л, х еО, г > 0, (5)

где чёрточками обозначены компоненты перемещения и напряжения дополнительного состояния. С целью численного решения (5) граничную поверхность О разбиваем на граничные элементы, в пределах которых искомые величины считаются постоянными, и получим следующую систему алгебраических уравнений

(6)

кз * кз *

здесь элементы матриц (6) вычисляются по формулам ау = I Рь(г,О ., Ьк = I Щ*(/,7)^О

А„ А12 А13 щ Ви В12 В13 Р

Аи А22 ^23 ■ Щ • = + В21 В22 В23 ■ Р2

А31 А32 А33 _ Щ3 } _ В31 В32 В33 _ Р3.

ДО;

ДО,

,, ' = 1,2,..., N, к, ^ = 1,2,3.

Векторы р (х, г) в (6) будут заданы как (3) или (4).

Векторы искомых перемещений Щ = [Жк1 Щк2..Жт}Т, (к = 1,2,3) в (6) имеют N элементов. Элементы векторов внешних сил Р = (Р: Рк2 ...Рш }Т с учётом (4) представляются в виде

Р = —(°>'+°>г] +^>3' ) =-<П , к = 1,2,3 , ' = 1,2,..., N

(7)

В (7) сг°к — заданные на бесконечность напряжения, п^ — направляющие косинусы, соответствующие ' — му элементу. Если среда находится в начальном напряжённом состоянии от действия

только ст°3, то векторы Р и Р будут нулевыми, а элементы вектора Р представляется в виде

Р3,=—*>3,, 7 = 1,2,...,N.

(8)

Таким образом, элементы векторов внешних сил при трёхосном напряжённом состоянии определяются по (7), а при одноосном по (8).

Из решения системы уравнений (6) получаем значения вектора дополнительных перемещений. Найденные перемещения позволяют определить компоненты деформаций, а затем вычислить компоненты тензора напряжений, соответствующие дополнительному состоянию. Окончательные напряжения мы получаем суммированием начальных и дополнительных значений для каждого граничного элемента. Суммируя начальные и дополнительные напряжения, получаем полные напряжения в ] — м элементе

V

<7 = 2С(е н--8 а,,) + <7..

V к V '■' '■'

Рис. 1. Начальное напряженное состояние

Для определения напряжений, возникающих на наклонной плоскости в начальном напряжённом состоянии, рассмотрим равновесие трёхмерного элемента (рис. 1, а) и получим

1\ = ап cosa, + сг2| cos<x,, 1\ = <т12 cosa, + &22 cosa2, (9)

<jm = Р cosO - ах) = Р cos (р cosíZj + Р sin ср sin ах = = P¡ cos ах + Р° sin ах,

<хж = -Р sin((3 - ах) = -Р sin ср cos ах + Р cos ср sin ах = = P¡ cos ах - Р° cos ах. (10)

Внося (9) в правые части (10), получим величины нормальных и касательных напряжений на произвольной наклонной плоскости через нормальные и касательные напряжения, возникающие в начальном состоянии среды:

<тт = <xn cos2 ал + су22 cos2 а2 + 2<х12 cosa, cosa2

<гт = (<xn - a22) cos щ cos a2 - cr|2(cos2 щ - cos2 a2).

(11)

Если вместо угла а^ в выражения (11) подставить /2, то получим выражения для на-

пряжений <тлл и <тот . Эти выражения с учётом соз(а:1 + п /2) = — этс^, этСс^ + п /2) = соэа^ приобретают вид

о-; = <xn sin ал + о22 cos ал - 2<х12 sin a, cosa,.

ат = ~(а°11 ~~ а22) sin aicos ai + а12 (cos2 а1 - sin2 а1) (12)

Из сопоставления (12) и (11) следует, что сумма нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных плоскостях постоянна, а касательные напряжения равны по величине, но противоположны по знаку. Нормальные напряжения на контуре отверстия в дополнительном состоянии в соответствии с формулой опп + опп = qn выражаются так:

= ~&пп + Чп= "«„ cos2 at + о-;2 cos2 а2 ) - 2a¡2 cosa1 • cosa2 + qn, (13)

где (7°, qn - заданные напряжения на бесконечности и нагрузка на контуре.

В соответствии с законом Гука нормальные и тангенциальные напряжения на контуре полости в дополнительном состоянии представляются в виде

2G 2G

Г(1 - v)s + vs 1; а =-\vs + (1 - v)S 1. (14)

|_V y ss nn J ' nn 1 r-s L ss V J nn J V '

а = •

I 4 ' пп I ' ПП 1

- 2v I - 2V

Из второго уравнения (14) определим епп и, подставив полученное выражение в первое уравнение, находим

- 20 _ V _

а =-е н--а . (15)

1 - V 1 - V

Таким образом, полные значения тангенциальных напряжений на контуре полости с учетом (13), (12) и (15) записываются в виде

а = а +а0 =

ss ss ss

- v

—— Í2G ■ £ss - ver,, cos2 aí - va°22 sin2 ai - 2va[2 cos«, • sinai + vqn) + 1 - v v '

+<tu sin2 ал + <j"22 cos2 ал - 2<ju sin ал ■ cos ал. (16)

где s = SWs / SS - деформация контура. Также можно записать полные значения нормальных напряжений на контуре

= °пп + <г°т = (сгп cos2at + о-;2 sin2 at)-2аи cosa1 • sin«, +

+q„+ <Jn cos2 a1 + &22 sin2 a1 + 2cru cos a1 ■ sin a1 = qn. (17)

Из (17) следует, что если контур полости не загружен, то нормальные напряжения равны нулю. Следовательно, на контуре полости определяющими являются тангенциальные напряжения, которые вычисляются по формуле (16).

В случае пространственной статической задачи для каждой из трёх компонент перемещения в точке £ (рис. 2) можно использовать уравнение (5), которое в матричной форме представлено в (6), а в развёрнутом алгебраическом виде записывается следующим образом:

n n n n n n

E a*U + E bV+E cW=Ea- cosa- - " E дcos A - a0 Ey-cos y-;

j=i

j=i j=i

j=i

j=i

__n

E dU,+E+E fW=E¿j-cos A- " E^ cosa-- " E% cos y-;

j=i j=i J=I

j=i

n

_ov ^

(18)

j=i

+E hV

j=i J=I ,=i

j=i

__n _

E gU + E hV +E = ~*0 Etj cosa,EZj cos A E\ cosy

J=i

J=i

J=i

.o"

•' z E"y ' J

J=1

где a* = a +0,5 , by = { P*dQ = -2Gb J J -2Gb

AQf

AQf

cosy 1 - 2v, ч

3m m-;--1--;—( nm2 - mn2 )

4'"2 2 2

r r

>d Q

a ij=-

2Gb J j [(1 - 2v) + 3m2 ] dQ, Д = J W*dQ = a J dQ ,

AQ Д Г J AQ AQ r-

^^^ = J w'jdQj = J [(3 - 4v) + m2]~dQ = a J [(3 - 4v) + mf ]—dQ,

1 r

ij

cos(a+л /2) = - sin a, n = cosa, щ = cosa, m=сод, m2 = cosA, m = cosA,

cosy = ЩШх + n2m2 + nm , a , a , a - углы между нормалью и осями x, y, z соответственно, Д , Д , Д - углы между радиус-вектором r и осями x, y, z соответственно, G - модуль сдвига, b = 1/16^G(1 — v) , v - коэффициент Пуассона.

Рис.2. Полость в виде куба в теле неограниченного пространства равномерно растягиваемая в бесконечности

Остальные коэффициенты системы уравнений (18) имеют аналогичную структуру. Рассмотрим свободную от материала полость в виде куба (рис.2) со сторонами а, Ь, с, находящегося в неограниченном пространстве под действием приложенных в бесконечности напряжений

„-0 О О

Г ,Г , Г .

х? у? 2

Каждую грань куба представляем в виде прямоугольного граничного элемента с длиною сторон, равной единице. Тогда первое уравнение из системы (18) можно записать в виде

n

n

n

n

n

n

n

n

n

апи +... + а1биб + ВД +... + Ь16Г6 + спЩ +... + с16Ж6 = = —сЧвд +...+аып6)-°у(,ьпт1+...+Ь16т6)—сЧМ+...+/А), (19)

здесь и, V, Ж - искомые перемещения центров граничных элементов; п, т , I - направляющие косинусы.

Коэффициент а (19) численным интегрированием согласно формуле Гаусса [2] для нашего

К к 2 2

случая определяется так: а = —20Ъ---^ ^ ЛкЛт¥(к, т) , где длина сторон граничного элемен-

2 2 к =1 т=1

та к =1, к =1; весовые коэффициенты Лк =1, Лт=1; ¥ (к, т) - функция, вычисляемая для относительных координат (рис.3).

Рис.3. Граничный элемент в виде прямоугольника: 1-номер граничного элемента; 1,2,3,4 - точки Гаусса

Остальные коэффициенты уравнений (18) вычисляются аналогичным образом.

Из решения уравнений (18) при а = Ъ = с = 1, сС = с0 = С = с = 1 для нашего случая получаем и = —0.1368 са / G . Таким образом, при самой грубой разбивке нормальные перемещения центров граничных элементов, которые совпадают с гранями свободного куба, расположенного в неограниченном всесторонне растягиваемом пространстве, численным решением граничных интегральных уравнений получаем и = —0,1368са / G. В литературе [3] имеется аналитическое решение для круглого отверстия, находящегося в неограниченной равномерно растянутой пластине в условиях плоской деформации: и = — 0.5 са / G, здесь а - диаметр отверстия.

Таким образом, разработан алгоритм численного решения трёхмерных задач теории упругости на основе метода граничных уравнений, который реализован на примере кубической полости в упругой среде.

Поступило 14.03.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с.

2. Демидов Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Госиздат.физ.-мат.литературы, 1960, 660 с.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1979, 560 с.

А.АДочибоев*, Ч,.Н.Низомов, О.АДочибоев

ХДЛЛИ АДАДИИ МАСАЪАЛАИ ФАЗОГИИ БЕРУНАИ НАЗАРИЯИ ЧАНДИРИ БО МЕТОДИ МУОДИЛА^ОИ КАНОРЙ

Институти геология, сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишго%и техникии Тоцикистон ба номи академик М.С.Осими

Дар макола алгоритми халли ададии масъалаи фазогии назарияи чандирй дар асоси муодилахои канорй коркард шудааст. Алгоритм дар мисоли куби дарунхолии дар фазои номахдуди мунтазам дар хдма самтхо кашидашаванда чойгиршуда амалй карда шудааст.

Калима^ои калиди: уалли ададй -масъалаи фазогй -масъалаи берунй -усули муодилауои канорй

- цузъуои канорй - уудуди сеченака - муодилауои интегралии канорй - уолати шиддатнокии ав-вала - уолати иловагй.

A.A.Hojiboev*, J.N.Nizomov, O.A.Hojiboev NUMERICAL SOLUTION OF THREE-DIMENSIONAL OUTER PROBLEM OF ELASTICITY THEORY BY BOUNDARY EQUATION METHOD

Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, M.Osimi Tajik Technical Univercity

In this article the algorithm of numerical solution of three-dimensional problem of theory of elasticity by boundary equation method is developed. The algorithm is used on example of cube cavity under the even tension of infinite space.

Key words: numerical solution - three-dimensional problem - outer problem - method of boundary equation

- boundary elements - three-dimensional space - direction cosines - boundary integral equation - stress vector - initial stress state - additional condition - Gauss formula - weighting coefficient.