CC BY
43
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №11-12_
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624.04
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, О.А.Ходжибоев, А.А.Ходжибоев ГРАНИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
На основе численного преобразования получены граничные интегральные уравнения, которые применяются для решения различных краевых задач теории упругости. Численная реализация этих уравнений позволяет исследовать динамическое поведение систем, как для внешней задачи, так и для внутренней.
Ключевые слова: уравнение движения - граничное уравнение - преобразование Лапласа - численное преобразование - фундаментальное решение - бесконечная область.
Рассматривается тело, занимающее область V + 0, где О — поверхность, V — внутренняя область, и находящееся в состоянии равновесия при действии некоторых заданных нагрузок и перемещениях. Компонент перемещения точки х е V + О с координатами хг обозначим Щ (х, 0 . Пусть на тело с плотностью р действуют массовые силы £, а на поверхности О, состоящей из и 0р ,
заданы соответственно перемещения Щ и нагрузка р .
Уравнение движения в перемещениях упругого тела при указанных предположениях представляется в виде [1,2]
^гЛ + (Я + М>кМ + / = /Ч<Х0 > (!)
где запятые обозначают производные по пространственным координатам (после запятой производится дифференцирование и суммирование по повторяющемуся индексу к), а точки - производные по времени; X, / — постоянные Ламе:
Х = уЕ/[(1 + у)(1 — 2у)] , / = О = Е/[2(1 + у)],
Е — модуль упругости, О — модуль сдвига, V — коэффициент Пуассона.
Граничные и начальные условия, которые должны удовлетворяться при решении динамических задач теории упругости, записываются в виде:
Щ (х, г) = Щ (х, г), х еОщ, р,(х г) = а (x, Х)п} (х) = рг (х г) , х еПр, (2)
Адрес для корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович. 74029, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 267, Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: [email protected], [email protected]
г = О, м>г(х,0) = мл0О) , млО,0) = мл0О) , хеК.
(3)
где wi 0(л'), й'; 0(л") — заданные функции начальных перемещений и скоростей.
Разделив обе части (1) на р, уравнение движения в перемещениях можно записать в виде
[2,3]
(с12" + с>. й+/.1Р = ъ. о, о,
с1 = ^(Я + 2^)/р , с2 = ^/р,
(4)
где с, с2 — скорости распространения продольных и поперечных волн. С использованием преобразования Лапласа [4]
Ъ [(х, 0] = ^ (х, 5) = } ™кМ (х,
0
Ь (дг, 0] = ^(дг, Я) - ^мл 0,0) - мл (дг, 0),
х 0] = 1,
уравнение (4) можно представить в виде
(с2 — с2ЖЛ1 (х, 5) + с2Ж1М(х, 5) — 5Щ(х, 5) = —а:
(5)
Уравнение (5) решается с учётом начальных и граничных условий (2), (3), представленных также в преобразованной форме:
Щ(х,5) = Щ(х,5), х еОк; р(х,5) = р(х,5), хеОр .
Фундаментальное решение (5) согласно [5, 6] представляется в виде
М>1 х 5) =■
1 , _ дт дт. -(¥ёг1 —У——) ,
1 ' дх дх.
(6)
ажрс2
где 8Ц — символ Кронекера. Для трехмерных задач а = 4, функции у и у равны
-5т/сг ( 2
¥ = ■
■ +
+ С2
Л —5т/с2
22
у 5 Т 5Т J
-,2 {
Т с
с + с
Л 0—5Г/с1
2 2
у 5 Т 5Т J
у =
(3с2 3с.
Л - 5т/сг 2 ( О 2
+—2+1
2 2
у 5 Т 5Т J
т с
3с2 3с
+^+1
^ 5т/с1
2 2
у 5 Т 5Т J
Для двумерных задач а = 2
е
Т
Т
Т
щ = К0 — +
с2 ЬГ
К — — —
С2 С1 С1
С2 1уГ
7 = К2---2 К2— >
С2 С1 С1
где К ~ модифицированные функции Бесселя второго рода и порядка . [7].
Далее рассмотрим численное преобразование уравнения (4), где функция й^х, I) с использованием метода последовательной аппроксимации [8] представляется в виде
wi (х, {) = а1 [мл (х, {) - (х, I - г)] / г2 - а2м?1 (х^ — т)/т — (х, t — т), (7)
здесь: т — шаг сетки вдоль оси г; ц — коэффициенты аппроксимации. Внося (7) в (4), получаем
(С2 — С22(х,г) + С2^т(х,г) — (х,г) =—<2г, / = а, /т2, (8)
где = s2wi(х, ^ - г) + (а2 / г)мл(х, t — т) + аъм>1 (х, t — т) + р .
Из сопоставления следует, что уравнение (8), полученное в результате численного преобразования, по форме совпадает с уравнением (5), полученном путём преобразования Лапласа. Следовательно, фундаментальное решение (6) может быть использовано при реализации уравнения (8) для решения динамических задач теории упругости.
Интегральное уравнение динамической задачи относительно внутренних перемещений, полученное на основе теоремы взаимности работ, записывается в виде
М (4, г) + | р* (4, х)м, (х, г)ёО(х) — { м* (4, х)pJ (х, г)ёО(х) = Р\ (4, х)^(х). (9)
V
При стремлении точки 4 к границе О области V, из (9) можно получить граничное интегральное уравнение [8]
С
(4, г) + \р* (4, х)м, (х, ф О( х) — (4, х)pJ (х, гу О(х) =
О О
= р\ м* (4, х)б, (х, г)^(х), (10)
V
где С = /2 для гладкой границы.
Уравнение (10) является сингулярным граничным интегральным уравнением с неизвестными перемещениями и напряжениями на поверхности тела. Если предположить, что на одну часть поверхности тела О^ заданы перемещения, а на другую её часть Ор— напряжения, то уравнение (10) представляется в виде
(4, г) + | р] (4, хМ (х, О(х) — | м] (4, х)р} (х, О(х) =
О р Оф
= -1 Р] (4, х)м] (х, г О( х) + | м] (4, х)р] (х, г О( х) +
□р
+р$ м] (4, (х, г — Мгуу(х), (11)
V
где м ■, р ■ — заданные перемещения и напряжения, О = + Ор . При решении первой краевой задачи, когда на контуре тела заданы напряжения, уравнение (10) представляется в виде
СМ] (4, г) +1р] (4, х)М] (х, г)ё О( х) = (4, х)р} (х, г)ё О( х) +
О О
+| м] (4, х)й} (х, г)йу{х), (12)
V
где неизвестными являются компоненты перемещения м^ (х, г) на контуре тела. Граничное уравнение (12) решается шаговым методом, где при известных значениях перемещений, скорости и ускорения на предыдущем шаге г — т, определяются их значения в момент времени г, а затем вычисляются деформации и напряжения. Уравнение (12) справедливо как для трёхмерных, так и для двумерных динамических задач и представляет собой соотношение, которое должно выполняться между перемещениями и напряжениями на поверхности, а также обобщёнными объёмными силами
& (х, г) = рдг (х, г) = /г (х, г) +
+р\Ls2wi (х, ? - А?) + а2м>1 (х, ? - А?) / ¿±1 + a3wi(х, ? - А*)] . (13)
Поскольку обобщённые объёмные силы (13) считаются известными, то при заданных граничных условиях уравнение (12) представляет собой граничное интегральное уравнение относительно значений функций на границе. Всё сказанное относится и к внутренней задаче, когда рассматривается конечное тело V с поверхностью О. При этом тело может быть также многосвязным, то есть иметь внутри себя полости.
Если рассматривается бесконечная область, где V является объёмом полости с поверхностью О, то в уравнениеи(12) объёмный интеграл обратится в нуль. Тогда граничное интегральное уравнение для решения внешней динамической задачи представляется в виде
СуМ} (4, г) + (4, х)м] (х, г)а О(х) = \м* (4, х)р] (х, г)а О(х) , (14)
О О
4,х еО, г > 0,
если выполняется условие регулярности на бесконечности [9]
lim j[p* (4, x)w, (x, t) - w* (4, x)pj (x, t)]dQ(x) = 0, (15)
R
a
x eQ„ , 4gQ ,
где Q — поверхность сферической области радиуса R с полостью. Для трёхмерной задачи элемент сферической поверхности dQ(x) = R sin OdOdp, а фундаментальные решения w** (4, x) и p** (4, x) в соответствии с (10) имеют асимметрические выражения O(R и O(R ~2) . Следовательно, условие (15) выполняется в том случае, если функции w. (x, t) и Pj (x, t) будут вести себя, как (1/ R) и
(1/ R2) соответственно, и это гарантирует, что каждое слагаемое в (15) стремится к нулю независимо друг от друга.
В случае двумерной задачи элемент круга dQ = Rda, а фундаментальные решения в соответствии с (6) имеют особенности модифицированной функции Бесселя O(e R) . Асимптотические ряды для больших значений безразмерного радиуса R = sR / c имеют вид [10]
Кп(R) * (п/2R)1/2R *—K'n(R), n = 0,1,2. (16)
Следовательно, если предположить, что функции w. (x, t) и Pj (x, t) ведут себя так же, как фундаментальные решения, то условие (15) с учётом (16) выполняется тождественно.
В случае полупространства с полостью Q и когда на поверхности Q0 действует внешняя нагрузка, то интегральное уравнение (14) представляется в виде
c^j (4, t) + j" pij (4, x)w, (x, t)d Q( x) = J wj (4, x)p} (x, t)d Q( x) +
Q Q
+{ w* (4, y)qj (y, t)dQo(У) , (17)
Q
где 4, x gQ , y g Q0, t > 0, w* (4, x) — перемещение в точке x в j — м направлении от действия сосредоточенной силы, действующей в точке 4 в i — м направлении.
Таким образом, получены граничные интегральные уравнения, позволяющие исследовать динамическое поведение внешних и внутренних задач теории упругости. Они являются универсальными и могут быть использованы как для решения динамических, так и статических задач. Эти уравнения, применяемые, как для двумерных задач, так и для трёхмерных, решаются численным интегрированием путём сплайн аппроксимации граничных параметров.
Поступило 20.10.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА 1. Седов Л. И. Механика сплошной среды, т. 2. - М.: Наука, 1970, 568 с.
2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975, 872 с.
3. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. - М.: Мир, 1987, 524 с.
4. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. - Киев: Вища школа, 1973, 268 с.
5. DoyleJ.M. Integration of the Laplase transformed equations of classic elastokinetics, J. Math. Anal. Appl. 13 (1966).
6. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem - I, J. Mart. Analysis and Appl., v.22, 1968, p.341-355.
7. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. - М.: ИЛ, 1949, т. 1., 798 с., т.2, 220 с.
8. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с.
9. Кошляков Н.С., Глиндер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных в математической физики. - М.: Высшая школа, 1970, 708 с.
10. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1983, 172 с.
Ч,.Н.Низомов, О.АДочибоев, А.АДочибоев
МУОДИЛА^ОИ КАНОРИИ МАСЪАЛА^ОИ ДИНАМИКИИ НАЗАРИЯИ
ЧАНДИРЙ
Институти геология, сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола бо истифода аз дигаргунсозии ададй муодилах,ои интегралии канорй пайдо карда шудаанд, ки дар хдлли масъалах,ои канорй назарияи чандирй истифода карда мешаванд. Х,алли ададии чунин муодилах,о имконият медихднд, ки тадкикоти х,олати динамикии система масъалах,ои дохилй ва берунй гузаронида шаванд.
Калима^ои калиди: муодилаи %аракат - мудилаи канорй - дигаргунсозии Лаплас - дигаргунсозии ададй - %алли фундаменталй - фазои беохир.
J.N.Nizomov, O.A.Hojiboev, A.A.Hojiboev BOUNDARY EQUATIONS DYNAMIC ELASTICITY PROBLEMS
Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan On the basis of the numerical conversion obtained boundary integral equations, which are used for a variety of boundary value problems of elasticity theory. Numerical implementation of these equations allows us to investigate the dynamic behavior of systems, both for the exterior problem, and internal. Key words: equation of motion - boundary equation - Laplace transform - numerical transformation - a fundamental solution - infinite region.
