CC BY
4
МАШИНЫ, АГРЕГАТЫ И ПРОЦЕССЫ
УДК 66:621.929
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-7-373-378
АЛГОРИТМ ПОИСКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОТОКА ЧАСТИЦ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА В СМЕСИТЕЛЕ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
В.М. Васин
Предложен алгоритм поиска математической модели потока частиц сыпучего материала в смесителе непрерывного действия, заключающийся в проверке стационарности потока, установления его структуры и выборе адекватной модели.
Ключевые слова: сыпучие материалы, непрерывное смешивание, математические модели потоков частиц.
В [7] предложен способ непрерывного смешивания сыпучих материалов, дисперсность частиц которых позволяет осуществлять их дозирование в виде разреженных потоков.
Способ смешивания заключается в одновременном непрерывном дозировании всех компонентов на движущийся транспортёр. Каждый компонент непрерывно дозируется в один или несколько ручьёв на движущийся транспортер, в результате частицы в каждом потоке следуют одна за другой с некоторым интервалом, средняя величина интервала определяется долей компонента в смеси, общим количеством потоков компонентов, величинами и соотношением производительности дозирующего устройства и скорости транспортёра.
Практически создать поток частиц с постоянными интервалами между ними по ряду очевидных причин невозможно и поэтому допускается некоторая вариация величины интервала при соблюдении условий: постоянство средней величины и вариация величины интервала относительно средней величины в пределах, определяемых требованиями к качеству готовой смеси. Интервалы между частицами и количество частиц в отрезках потока рассматриваются как случайные величины.
Поток смеси в этом случае представляет собой поток следующих одна за другой и чередующихся в соответствии с долями компонентов частиц всех компонентов.
Из-за вероятностного характера потоков компонентов чередование частиц также имеет вероятностный характер. Пробы, взятые из различных участков потока смеси, содержат различные количества всех компонентов, но вследствие условий, предъявляемых к потокам компонентов, среднее содержание каждого компонента соответствует его доли в объёме смеси, а вариация содержания зависит от вариации величины интервала между частицами в потоке компонента.
С целью достижения высокой производительности рекомендовано дозирование каждого компонента осуществлять в несколько ручьёв.
Вид потока смеси компонентов зависит от выбранного режима смешивания, от количества дозирующих устройств и их компоновки в структуре смесителя.
В соответствии с первым режимом поток смеси представляет собой последовательность чередующихся вдоль и поперек конвейера частиц всех компонентов. Толщина потока не превышает размера частицы. Возможен второй режим смешивания, результатом которого является поток смеси, состоящий из нескольких слоев, каждый из которых подобен потоку, полученному в соответствии с первым режимом. В этом случае частицы компонентов чередуются и
по высоте потока смеси. Возможен третий режим, при котором смесь имеет вид многослойного потока, каждый слой состоит только из одного компонента, а толщины слоев пропорциональны долям компонентов в смеси.
Результатом работы одного ручья дозирующего устройства и транспортёра является элементарный поток компонента (рисунок). Поток компонента является суперпозицией его элементарных потоков, поток смеси - суперпозицией потоков компонентов.
Щ • • • • • • • • • • • • •
Ус '
Д1е
Элементарный поток частиц компонента: Ре - производительность одного ручья дозирующего устройства; Ус - скорость транспортёра
На первом этапе, принимая во внимание вид элементарного потока частиц, предложено рассматривать его как временной ряд и привлечь для его анализа математический аппарат теории временных рядов [1-3, 10].
Для поиска математической модели потока частиц предлагается алгоритм, состоящий из последовательно выполняемых действий: проверка стационарности потока, установления его структуры, выявление случайности потока и выбор подходящей модели.
Одним из условий получения однородной смеси является стационарность потоков компонентов.
Признаком стационарности потока является инвариантность совместного распределения произвольного числа последовательно взятых интервалов между частицами потока сыпучего материала по отношению к расположению их в потоке. Поэтому первым этапом поиска модели потока является проверка его стационарности.
Если поток сыпучего материала является гауссовским, то существование среднего значения величины интервала, его дисперсии и корреляционной функции, оценивающей связь между двумя интервалами, расположенными на различном расстоянии один от другого, достаточно, чтобы обеспечить его строгую стационарность.
Для получения на практике удовлетворительных оценок корреляционной функции рекомендуется исследовать не менее 50 величин интервалов между частицами. Дисперсии оценок коэффициентов корреляции следует определять по формулам Бартлетта.
Вид выборочной корреляционной функции в некоторых случаях может искажаться наличием связи между различными значениями коэффициентов корреляции. Поэтому следует оценивать их ковариацию.
Другой способ анализа потока сыпучего материала основан на предположении, что он образован синусоидами и косинусоидами различных частот. С этой целью рекомендуется использовать периодограмму, которая представляет собой набор так называемых интенсивностей. Если поток сыпучего материала случаен и не содержит регулярной синусоидальной компоненты, то все интенсивности имеют одно и то же математическое ожидание, равное удвоенной дисперсии величины интервала между частицами, и распределены независимо одна от другой.
Для обнаружения и оценки скрытых в шуме амплитуд синусоидальной компоненты структуры потока сыпучего материала неизвестной частоты может быть использован выборочный спектр, получаемый преобразованием выражения для периодограммы.
Теория спектрального анализа дает возможность получить соотношение, устанавливающее связь выборочного спектра и оценок корреляционной функции.
Периодограмма и выборочный спектр являются удобными инструментами для анализа потока сыпучего материала, образованного синусоидами и косинусоидами с постоянными частотами, скрытыми в шуме. Но стационарные потоки могут характеризоваться случайными изменениями частоты, амплитуды и фазы. Для таких потоков выборочные спектры сильно флуктуируют, что затрудняет их интерпретацию. Если поток является случайным, например: стационарным и нормальным, то рекомендуется получить несколько периодограмм и найти ее среднюю величину.
Если поток сыпучего материала имеет достаточно большую протяженность, то можно получить спектральную плотность.
Периодограмма показывает, как дисперсия потока сыпучего материала, состоящего из синусоид и косинусоид, распределена между различными гармоническими компонентами, а спектральная плотность показывает, как дисперсия распределена в непрерывном диапазоне частот.
Если спектральную плотность удобнее определять при помощи корреляционной функции, то следует использовать нормированный спектр.
Выборочная спектральная плотность стационарного потока сильно флуктуирует вокруг теоретической спектральной плотности. Сглаженную оценку спектральной плотности можно получить введением в выражение для спектральной плотности специально подобранных весов.
Следующим этапом исследования потока частиц сыпучего материала является этап установления его структуры.
В общем случае структура потока сыпучего материала, рассматриваемого как временной ряд, может складываться из четырех составляющих: а) тренд, б) колебания относительно тренда с большей или меньшей регулярностью, в) циклические изменения, г) случайная компонента. В связи с этим поток сыпучего материала можно рассматривать как одну из таких составляющих или сумму нескольких из них. Большая часть традиционной теории временных рядов посвящена анализу рядов, основанному на их разложении на вышеперечисленные составляющие и дальнейшем отдельном изучении последних.
Если предварительный анализ опытных данных позволяет сделать вывод о наличии тренда, то для его математического описания удобно использовать модель, например, в виде полинома.
Циклические изменения рекомендуется описывать линейными комбинациями тригонометрических функций порядкового номера интервала, коэффициенты линейных комбинаций рассматриваются как параметры.
Для выявления случайности потока сыпучего материала рекомендуется использовать следующие критерии.
Наиболее простым для применения является критерий, который состоит в подсчете экстремумов: «пиков» и «ям» в последовательности величин интервалов между частицами сыпучего материала в его потоке. Пик - значение, которое больше обоих соседних. Если есть два и более значения, которые больше предыдущих и предшествующих, то их следует рассматривать как один пик. Аналогично, яма - значение, которое меньше двух соседних.
Если поток частиц случаен, то распределение экстремумов быстро стремится при увеличении п к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией
2 1 М{р} = -(п - 2), В{р} = —(16п - 29),
где п - количество интервалов между частицами сыпучего материала изучаемого потока.
Свойством случайного ряда является также равенство математического ожидания числа фаз длиною ё величине
М М } 2(п - ё ) + 3ё +1
1 аь (ё + 3)!
где ё - количество интервалов потока сыпучего материала между экстремальными точками.
Если в качестве альтернативы выступает наличие тренда, то характеристики критерия, основанного на экстремальных точках, оказываются довольно плохими, а в некоторых случаях этот критерий будет обладать сравнительно с другими критериями нулевой эффективностью.
Если альтернативой является цикличность, то эффективность критерия лучше. В случайных рядах среднее количество интервалов между экстремальными значениями равно приблизительно 1,5 с дисперсией приблизительно 0,9/ п.
Следующий критерий состоит в подсчете числа положительных разностей первого порядка в потоке сыпучего материала, иначе, числа точек роста - с .
Распределение с случайного потока быстро сходится к нормальному с параметрами
М{с}= \(п -1), 0{с}= 12(п +1).
Этот критерий является совершенно не эффективным, если альтернативой являются симметричные колебания величин интервалов потока. В основном он считается полезным при такой альтернативе, как тренд, особенно линейный тренд. В этом случае он эффективнее критерия по экстремальным точкам, но значительно хуже критериев, основанных на ранговых соотношениях.
Третий критерий обязывает сравнивать все пары, а не только соседние, как в предыдущем критерии.
Для этого следует рассмотреть последовательность интервалов между частицами ¡е1, ¡е 2,.., ¡еп и подсчитать число пар Р, для которых ¡^ > ¡е1, ] > г.
Для случайного ряда математическое ожидание
М{Р}= 0,25п -(п -1).
Если наблюдаемое Р > М {Р}, то это указывает на тенденцию к положительному тренду, в противном случае - к отрицательному.
Если альтернативой является линейный тренд, то можно использовать весьма эффективную статистику
т 1
X = 1---г'
п -(п -1)
где Q - дополнение к Р, т.е. число пар, у которых ¡е^- < Iе ■, ] > г.
Её математическое ожидание и дисперсия
М{т}= 0, £>(т) = .
9п-(п -1)
Распределение т быстро сходится к нормальному с ростом п .
Той же эффективностью, что и т, обладает коэффициент ранговой корреляции Спир-
мена
12У
г* =1 —п—V
п - п -1
где V = £ ( - г) - Ну , Ну = 1 при ¡ег > ¡^, Ну = 0 при е < ¡^, Ни = 1.
г <}
Для случайных рядов математическое ожидание и дисперсия коэффициент ранговой корреляции Спирмена равны
М{г* }= 0, в{г* } = -^.
п -1
В неслучайных потоках сыпучего материала должен существовать тот или иной тип зависимости между интервалами ¡е^ и ¡е^+^), к > 0. Одной из полезных характеристик такой
зависимости является коэффициент корреляции, который можно использовать в качестве критерия случайности потока,
-Г - £(1ег - ¡е )-((е(г + к) - ¡е ) ,
_ = п - к г=1__, г-к = гк, Г0 =1,
к 1 п
- •£((-¡е )2
_ п г-1
где ¡е - выборочное среднее величины интервала между частицами в потоке сыпучего материала.
Для случайных потоков с точностью до выборочных ошибок все коэффициенты, кроме Г0, равны нулю.
При наличии корреляционной связи между интервалами рекомендуются стационарные модели авторегрессии, скользящего среднего и смешанная модель авторегрессии-скользящего среднего [2].
Параметры моделей должны определяться в два этапа: получение начальных, приближенных оценок, затем эффективных, максимально точных. На первом этапе параметры модели авторегрессии рекомендуется находить из решения системы линейных уравнений Юла-Уокера,
начальные оценки модели скользящего среднего следует находить итеративным способом с использованием предварительно найденных экспериментально величин коэффициентов корреляции. Для поиска эффективных оценок параметров необходимо графически исследовать условную или безусловную логарифмические функции правдоподобия.
Исследование элементарных потоков частиц компонентов сыпучего материала на основе этих моделей даёт возможность получить различные характеристики последовательности случайных величин интервалов между частицами: корреляционную функцию, спектр, характеристики белого шума и т.д. Использование в дополнение к этому для описания элементарных потоков частиц компонентов имитационного моделирования позволяет получить характеристики распределения числа уе (ДТе ) частиц сыпучих материалов в отрезках ДТ,е элементарных потоков, в отрезках суперпозиций элементарных потоков и в потоке смеси [4, 5, 8]. Если последовательность интервалов 1-у, 1е2, ... состоит из независимых, имеющих один и тот
же закон распределения величин интервалов, то характеристики распределения частиц компонента в отрезках ДТе элементарного потока смеси могут быть получены при помощи аппарата
теории рекуррентных потоков [9, 11, 12].
В случае экспоненциального или нормального закона распределения величин интервалов можно получить достаточно простые выражения для характеристик распределения числа частиц сыпучего материала, в отрезке элементарного потока компонента, в потоке компонента в целом и в потоке смеси: математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации. Дополнительно к этому для оценки распределения частиц компонентов в пробах постоянного размера рекомендуется использовать имитационное моделирование [6].
Если на этапе предварительных исследований получить эмпирические зависимости математического ожидания и дисперсии величины интервала между частицами в элементарных потоках от производительности дозирующего устройства и скорости транспортёра, то могут быть получены вероятностные характеристики распределения частиц компонентов в потоках с учётом режимов работы смесителя.
Список литературы
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 754 с.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Вып.1: Энергия, 1973. 440 с.
3. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.
536 с.
4. Васин В.М. Аналитические и имитационные модели потоков частиц сыпучих материалов в смесителях непрерывного действия // Известия ТулГУ. Серия «Машиноведение, системы приводов и детали машин». Спец. выпуск. Тула: Изд-во ТулГУ. 2006. С. 138-149.
5. Васин В.М. Основы теории потоков сыпучих материалов в смесителях непрерывного действия // Автоматизация и современные технологии. 2007 г. № 9. С. 10-17.
6. Васин В.М. Способ и математическая модель смешивания сыпучих материалов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2018. Вып. 9. С. 389399.
7. Васин В.М. Способ приготовления однородных смесей сыпучих материа-лов//Автоматизация и современные технологии. 2003. №3. С. 21-24.
8. Васин В.М. Способ смешивания сыпучих материалов и математические модели потоков их частиц // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2010. Вып.1. С. 9-18.
9. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.
10. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. 736 с.
11. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. 312 с.
12. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1967. 300 с.
Васин Вячеслав Михайлович, канд. техн. наук, доцент, vasin.211019487@уапёех.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ALGORITHM FOR SEARCHING FOR A MATHEMATICAL MODEL OF THE FLOW OF PARTICLES OF LOOSE MATERIAL IN A CONTINUOUS MIXER
V.M. Vasin
An algorithm for searching for a mathematical model of the flow of particles of loose material in a continuous mixer is proposed, which consists in checking the stationary flow, establishing its structure and choosing an adequate model.
Key words: loose materials, continuous mixing, mathematical models of particle flows.
Vasin Vjatheslav Mihailovich, candidate of technical science, docent, vasin.21101948@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 622.23.05
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-7-378-382
ТЕХНОЛОГИЯ УПРАВЛЕНИЯ АППАРАТОМ ВИХРЕВОГО СЛОЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ ТОРФЯНЫХ ГРУНТОВ
Г.В. Селиверстов, С.А. Мотевич, Ю.О. Вобликова
При рассмотрении процесса обработки и подготовки торфяных и сапропельных грунтов с помощью аппарата вихревого слоя возникает вопрос о выборе параметров, которыми можно управлять для достижения требуемого результата. После выбора параметров необходимо дать количественную оценку их рациональным значениям. Таким образом, можно говорить об управлении процессом обработки и подготовки грунтов, варьируя значениями выбранных параметров в аппарате вихревого слоя.
Ключевые слова: аппарат вихревого слоя, торф, окислительно-восстановительный потенциал, диспергация, ферромагнитные элементы.
Аппараты вихревого слоя известны достаточно давно и как технологические машины по обработке сырья и интенсификации различных физико-химических процессов применяются достаточно широко [1, 2]. В своем большинстве используются аппараты классической конструкции, в которых внешний индуктор создает вращающееся электромагнитное поле, а находящиеся внутри реактора ферромагнитные элементы вращаются этим полем.
При этом обрабатываемая среда пропускается через кипящий слой ферромагнитных элементов, которые оказывают на нее ряд воздействий: кавитационноое, механическое, магни-тострикционное, электрическое [3-6].
Современные аппараты также используют внешний индуктор, но при этом дополнительные обмотки позволяют получать не только вращающееся электромагнитное поле, но и перекрещивать поля. За счет такого решения интенсивность указанных воздействий значительно увеличивается, так как вращающиеся ферромагнитные элементы начинают совершать колебания и относительно собственного центра симметрии.
Таким образом возникает вопрос о необходимости управления этими воздействиями для получения необходимых характеристик сырья на выходе из аппарата [7-10].
Если рассмотреть комплекс параметров, которые влияют на конечный результат, то можно выделить следующие две группы.
Первая группа - это параметры обрабатываемого сырья. К ним можно отнести отношение массы сухого торфа к массе воды; температуру исходной смеси; ее кислотность; окислительно-восстановительный потенциал; массу.
