Способ и математическая модель смешивания сыпучих материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ

УДК 66; 621.929

СПОСОБ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СМЕШИВАНИЯ

СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ

В.М. Васин

Приведено описание непрерывного способа смешивания сыпучих материалов и математические модели различных типов потоков частиц, предложены оценки точности потоков компонентов и смеси.

Ключевые слова: сыпучие материалы, непрерывное смешивание, математическая модель потоков частиц.

В работе [1] предложен непрерывный способ смешивания сыпучих материалов, размер частиц которых позволяет осуществлять их дозирование в виде разреженных потоков. Способ заключается в наложении один на другой потоков компонентов (рис. 1).

Р

О

г

о о_

Устройства дозирования

Потоки компонентов

АЬ<

П п

»•ОПТШПТ)

к.

Поток смеси

плпт плошптслп

Транспортёр

Рис. 1. Схема способа смешивания

Поток каждого компонента представляет собой последовательность расположенных на некотором случайном расстоянии одна от другой частиц, формирующуюся в результате выдачи частиц дозирующим устрой-

ством на движущуюся ленту транспортёра. Для получения высокой производительности смешивания дозирующее устройство должно быть многоручьевым.

Поток смеси предложено рассматривать как суперпозицию потоков компонентов; поток каждого компонента - как суперпозицию его элементарных потоков, каждый из которых образуется на ленте транспортёра, движущейся со скоростью Ус, в результате подачи на неё частиц компонента с производительностью Ре из одного ручья дозирующего устройства (рис. 2).

Рис. 2. Элементарный поток частиц сыпучего материала

Элементарный поток компонента может рассматриваться как последовательность величин интервалов /е1, 1е2, ..., /е1, ...., связанных между собой корреляционной зависимостью. Для математического описания такого потока предложено использовать линейные, стационарные модели: авторегрессии, скользящего среднего, смешанную модель авторегрессии-скользящего среднего [2].

Если элементарный поток образован последовательностью независимых между собой величин интервалов между частицами, то для его математического описания предлагается использовать аппарат теории рекуррентных потоков восстановления [3, 4].

Математическое ожидание величины интервала /е между частицами в элементарном потоке является функцией средней производительности ручья дозирующего устройства и скорости движения транспортёра:

М {/е } = р,

Р0

а дисперсия величины интервала

о{/е }=м {е2 }-

ЕсЛ 2

Р

К1 е у

Рекомендуется зависимость В{/е}= /(Ре,Ус) находить опытным путём. В частности, в результате обработки методом наименьших квадратов статистического материала, полученного для широкого диапазона ва-

рьирования средней величины интервала между частицами, получена зависимость дисперсии величины интервала от средней производительности Ре и скорости Ус в виде

В{\е } = аЬСРеУ2, где а, Ь, с - эмпирические коэффициенты.

Плотность распределения количества частиц V е (АРе) сыпучего материала в отрезке АЬе элементарного потока с независимыми интервалами между частицами в общем случае описывается выражением

Р{пе (АЬе ) = п} = -

1 АРе

I [Рп _1 00 — 2Рп М + Рп+1 (х)\йх.

М {¡е } 0

где Рп —1, Рп , Рп +1 - (п —1), п , (п + 1)-кратные свёртки функции распределения величины интервала между частицами Р (¡е).

Для нормального закона Р (¡е) с параметрами, определёнными вы-

ше, это распределение имеет вид

Р{П е (АРе ) = п} =

Р0

АР

Ус^ 2тУсЬс1Ре 0

1 АЬе

I [^=г I ехР

0

[х — (п — 1)Ус/Ре 2(п — 1)аУ?Ьс/Ре

йх —

АЬ„

+

— 2 I

0

1

АЬе 1 АЬе

| ехр

[х — пУс/Ре ]2 2паУсЬс1Ре

йх +

АЬ

¡-¡—г | ехР 0 >1п +1 0

[ х — (п + 1)РС/Ре

2 (п +1) аГс2Ьс/Р

йх]йх.

Математическое ожидание количества частиц на отрезке АЬе определяется в соответствии с теоремой Блекуэлла [4]:

М{пе(АРе)}= РАЬе , Ус

а дисперсия случайной величины V е (АРе) в общем случае

е (АРе )}

[х — п Ус/Ре ]

2 Ре АРе

У

1

с 0

А Р„

1

ехр

2 паУ„2 Ьс'Р

хР 1

йх--^ + —

У2

йх.

Если отрезок АРе достаточно велик, то на практике для расчёта дисперсии можно пользоваться формулой

0

2

0

Р 3аЬСРе D{Vе (А/ )}» Р-А1е .

V

с

Точность элементарного потока оценивается коэффициентом вариации количества частиц в отрезке АЬе:

V{Vе (АЬе )}= V{/е }

М {/е }

АЬе

1

РеаЬс'Рв

АЬе

где V {/е } - коэффициент вариации величины интервала между частицами в элементарном потоке.

Если поток к -го компонента (рис. 3) формируется Ек элементарными потоками (к = 1, 2, ..., К), то распределение количества частиц Vк (А/к) в отрезке потока компонента АЬк с учетом независимости случайных величин V е (А/к) в общем случае описывается выражением

Ек

Р{Пк(А/к) = п}= I ПР{Пе(А/к ) = пе },

п1 + П2 +..+Пе^ = пе=1

где V е (А/к) - количество частиц сыпучего материала из е -го элементарного потока в отрезке А/к=АЬе1=А/е2=.=АЬщ потока компонента.

Элементарные <

потоки

Поток компонента

А/

пк

V,

Рис. 3. Схема образования потока компонента

Для больших величин отрезков А/^ суммарное количество частиц компонента в них асимптотически нормально:

Р{пк (А/к ) = п}

1

Е,

^ехр

2р I аРе3ЬСРе АЬк^с е = 1

" Ек ' 2

п - I Ре АЬк^с

_ е = 1 _

Ей

2 I аРеЬсРе АЬк^с

е=1

Если элементарные потоки компонента независимы и одинаковы, то коэффициент вариации числа частиц в отрезках АЬк

1

V{V к (АЬк )} = ^= V {V е (АЬк )} =

4Ек

РеаЬсР

Ек А/к

Полученные результаты можно использовать для анализа и оценки точности потоков частиц, но они не учитывают рассеяние массы частицы компонента, поэтому их рекомендуется использовать при небольшом её рассеянии.

Для учёта рассеяния масс частиц [5] получены выражения для первых двух моментов распределения массы V е (АЬе) частиц в отрезке АЬе и её коэффициента вариации:

Мт

{т е (Ме )}=м {т}Р АЬ>

^е(АЬе)}= [М{т}]2 РАЬе{[V{т}]2 + Р(2аЬсР },

V.

с1Р„

V{mVе (АЬе )} =

АЬ

V2 {т} , п с/Рв

Р

+ РеаЬ

где М{т}, V{т} - математическое ожидание и коэффициент вариации массы частицы.

Если поток компонента является суперпозицией нескольких одинаковых элементарных потоков (рис. 3), то рассеяние массы V к (АЬк) частиц компонента в отрезке АЬк потока компонента

Г/{т , Л V{тУе (АЬк)} V{mvк (АЬк )}=-7=—

Если для оценки качества смешивания из потока смеси отбирается проба из его отрезка длиной АЬ* (рис.1), то рассеяние её массы

V К * (АЬ* )}

V 2 {т}

К Ек Р

К Ек сР 3 I I аЬ' ек Ре3 Vc АЬе к=1 ек =1 к

ек

I I V

к=1 ек =1 Кс

АЬс

К Ек

I I Рек АЬ*

к=1ек =1

2

где ек - элементарный поток потока к -го компонента; Ре - производительность ручья дозирующего устройства, образующего элементарный поток потока к -го компонента.

+

Для определения плотности распределения массы V е частиц в отрезке АЬе рассмотрен элементарный поток частиц (рис. 2). На отрезке АЬе находится случайное количество частиц V е (АЬе).

Приняты допущения: случайная величина V е (АЬе) принимает значения /{Vе(АЬе) = п}, V = 1, 2, ..., Nе в соответствии с нормальным законом; массы всех Vе(АЬе) частиц т1, т2, ... являются независимыми, одинаково нормально распределёнными случайными величинами с плотностью / {т}. В этом случае плотности распределения сумм случайных величин (т1 + т2), (т1 + т2 + т3), ..., (т1 + т2 +... + т^ ) являются композициями нормальных распределений: fVe= 2{т}, /у =3{т}, ..., ^ {т}, где =2 {т} - композиция двух одинаковых законов /{т} и /{т}, fVe= 3{т} - композиция = 2{т} и /{т}, ..., fVe=Ne{m} - композиция

законов /V е =N е -1{т} и /{т}.

Выражение для плотности распределения массы т^ отрезке АЬе в общем случае получено в виде

V е частиц в

N

/{mvе (АЬе )}= I; /Vе {т}-/Vе {Vе (АЬе)}.

V е =1

Принимая во внимание принятые допущения и показанные выше зависимости основных параметров распределения элементарного потока от производительности Ре и скорости Ус, плотность распределения массы частиц можно представить в виде

г ! N е

/Ке (АЬе )}= I

V е =1:

2^ • М {т}У {т}рА^е

х

х ехр

[mVе — VeM{т}Р [V;УС ~ РеАЬе ]2

2v еМ 2 {т}У 2 {т} 2УсР^АЬеаЬ

с / Ре

При вычислении /{т^ (АЬе)} величину Nе с учётом свойств распределения V е (АЬе) рекомендуется принять

Р

N = Р АЬе

е Ус е

1 + 3,

РеУсаЬс'Ре

АЬе

Если поток к -го компонента образуется Ек элементарными пото-

Ек

: 1 тек -ек =1

ками, то масса частиц компонента в его отрезке АЬк т

v к

а распределение /\тПк (АЬк)} является композицией Ек законов распределения /{пуе (АЬк)}, в=1, 2, ..., Ек и приближается к нормальному с параметрами

М{т"к (АЬк )}= М{т} £ М{"ек (АЬк)},

ек =1

в{тк (АЬк )}= Е ек (АЬк )}■ ек=1

Оценка качества смеси может быть выполнена по ключевому компоненту [6] или каким-либо другим известным способом, например, по суммарной дисперсии [7], которая с учётом приведённых выше результатов выражается в виде

К К р3 . а. ЬС!Рек

^(аЬ)= Е*к ■ ВккСАЬs )}= Е *к .4к .ек --АЬз ,

к=1 к=1 УС

где *к - коэффициент, учитывающий степень влияния к -го компонента на качество смеси; Эк {V к (АЬ8)} - дисперсия к -го компонента в отрезке АЬу потока смеси; 4к - количество устройств, дозирующих к -й компонент; вк - количество элементарных потоков, образующих поток к -го компонента; Рвк - производительность одного ручья устройства, дозирующего к -й компонент.

Так как на потребительские свойства смеси оказывают влияние все компоненты и их характеристики, то более корректной является оценка качества смешивания, учитывающая распределение в пробах смеси всех компонентов и распределение их характеристик.

Такой оценкой может быть среднее, определяемое одним из известных способов [8], например, в виде среднего арифметического

К

ЕЧк "к(АЬs)

Я (АЬ8 ) =

К

ЕVк (аь5)

к =1

где (АЬ8) - оценка качества смеси по пробам из отрезков АЬ8 потока смеси; Чк - характеристика к -го компонента; V к (АЬ8) - количество частиц к -го компонента в пробах.

В общем случае величина (АЬ8) является функцией случайных

величин Чк и Vк(АЬ8), к = 1, 2, ..., К.

Используя метод [9, 10], основанный на разложении функции случайных аргументов в ряд Тейлора относительно точки, в которой

все аргументы принимают значения, равные своим математическим ожиданиям, получены выражения для характеристик случайной величины (АЬ,):

к

I ак'ек

М {д (АЬ, )}=к=1

Рк-АЬ

Ус

-М {дк }

к , Рк-АЬ, I ^к-ек' к

к=1

Ус

к

■I

к=1

М {Чк }- Kdk■ek■P,фs - Kdk■ek■P^AЬs■M {дк }

к

к=1

V

к=1

Ус

К л Рк ' АЬ,

к=1

Ус

ек'

Рк -АЬ,

Ус

Рк-Ус-а-ЬРк d■ek ■АЬ,

к

у {д (аь, )}= (i к=1

к

М{Чк }- I ^ "ек ■ к=1

Рк АЬ, К Л Рк АЬ,

Ус

- I ^ -ек

к=1

Ус

м {дк }

к

I dk■ek■

к=1

Рк^АЬл

Ус

2

dk ■ ек ■

Рк ■АЬ,

Ус

Рк'Ус-а-Ь ек ■АЬ,

К

+ I к =1

4 'ек

Рк-АЬ&

Ус

к 1

[М {дк } ■ У {дк }]2)/(к=1

к=1 Рк ■АЬ,

У?

Ус

■ М {дк }

к л Рк -АЬ,

Iк '

к=1

У,

к

■I

к=1

М {дк } ■ I dk ■ ек ■ ^^ - I dk ■ ек ■ ^^ ■ М {дк } к=1

V

к=1

Ус

I dk ' ек Р •АЬ»

к=1

Ус

к Л Рк-АЬ, I dk■ek к 8

Рк ■АЬ,

Ус

Рк Ус -а^/^

dk ■ ек ■ АЬ, 396

3

2

2

2

2

2

3

2

где M{qk}, V} - математическое ожидание и коэффициент вариации случайных величин (к =1, 2, ...,K).

Аппарат, реализующий описываемый способ смешивания, должен состоять из нескольких многоручьёвых устройств дозирования и транспортёра. Число устройств дозирования должно быть не меньше максимально возможного числа компонентов.

При расчёте режима смешивания, т.е. при определении производительности каждого устройства дозирования, скорости транспортёра и количества дозирующих каждый компонент устройств, можно исходить из условия обеспечения минимального времени получения смеси или из условия получения наивысшего качества смеси.

Расчёт режимов смешивания сводится к решению оптимизационных задач. В выражения целевых функций могут входить величины произ-водительностей дозирующих устройств, суммарная дисперсия Ds (DLs), коэффициент вариации V {Qs (DLs)}.

Целевые функции нелинейные. При необходимости определения количества дозирующих каждый компонент устройств задача является частично целочисленной. Для решения задач следует использовать известные способы, например, целевую функцию привести к аддитивно сепара-бельному виду и перейти от нелинейной функции к «кусочно определённой» [11, 12].

Основным вопросом при изучении качества смеси является вопрос о составе проб.

Возможны два способа отбора проб: с участков потока смеси дли*

ной DLs = const и отбор проб, содержащий vs = const частиц.

Для анализа состава проб, взятых в соответствии с первым способом, рекомендуется использовать приведённые выше результаты.

*

Если каждая проба содержит v s частиц, то эта неслучайная вели-

*

чина является суммой случайных величин vк или v

ек •

К К Ек

V* = I пк = I I пек , к=1 к=1 вк =1

где Пк - количество частиц к -го компонента в пробе; Уе - количество

частиц к -го компонента в одном элементарном его потоке.

*

Проба смеси объемом в V * частиц занимает на транспортёре уча*

V* -1

сток случайной длины Ь * = 11*1, где I* - интервал между потоками в

п * I=1

*

потоке смеси. Принимая во внимание величину V5 -1, можно утверждать,

*

что композиция V5 -1 законов распределения I^ является нормальным законом.

*

Распределение числа частиц V£ к -го компонента зависит от случайной величины Ь * участка потока смеси, на котором расположена про-

ба смеси, т. е. имеет место закон распределения

*

V,

/ Л

/ Vк,Ь * = / Ь * •/

V,

/

*

Ь

V 5 У

V ^ У V '«у V

Вид и характеристики распределения компонента Vk в пробах рекомендуется находить имитационным моделированием.

Список литературы

1. Васин В.М. Способ приготовления однородных смесей сыпучих материалов // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 3. С. 2124.

2. Васин В.М. Основы теории потоков частиц сыпучих материалов в смесителях непрерывного действия // Автоматизация и современные технологии. 2007. № 9. С. 10-17.

3. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. 312 с.

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности: монография. М.: Наука, 1965.

5. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения: учебник для высших учебных заведений. М.: Высшая школа, 2000. 480 с.

6. Макаров Ю.И. Аппараты для смешивания сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 216 с.

7. Александровский А. А., Ланге Б.Ю. Статистический анализ качества гетерогенных смесей // Тр. Казан. хим.-технолог. института. Казань: Изд-во КХТИ, 1969. Вып. 39. Ч. 2. С. 86-103.

8. Джини К. Средние величины. М: Статистика, 1970. 448 с.

9. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 1999.

576 с.

10. Хан Г., Шапиро С. Статистические методы в инженерных задачах. М.: Мир, 1969. 396 с.

11. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций: Целочисленное программирование. М.: Мир, 1977. 432 с.

12. Математическое программирование: сборник задач и упражнений по высшей математике / А.В. Кузнецов. [и др.]. Минск: Высшая школа, 2002. 447 с.

Васин Вячеслав Михайлович, канд. техн. наук, доцент, vasin.211019487@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

WAY AND MATHEMATICAL MODEL OF MIXING OF LOOSE MATERIALS

V.M. Vasin

The description of a continuous way of mixing of loose materials and mathematical model of two types of streams of particles is given, the estimation of accuracy of streams of components and is offered to a mix.

Key words: loose materials, a continuous way of mixing, mathematical model of streams of particles.

Vasin Vjatheslav Mihailovith, candidate of technical sciences, docent, vasin. 21101948'a, yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.3

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ КОМПОЗИТНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ НАЛИЧИИ МЕЖСЛОЕВЫХ ДЕФЕКТОВ

А. Л. Медведский, М.И. Мартиросов, А.В. Хомченко

Представлен сравнительный анализ критериев разрушения плоской прямоугольной многослойной композитной пластины при наличии эллиптического межслоевого расслоения под действием нестационарной нагрузки.

Ключевые слова: критерии разрушения композитов, межслоевой дефект, композитная пластина, нестационарная нагрузка, численное моделирование.

Введение. Прочность многослойных композитных пластин и панелей под действием нестационарных нагрузок при наличии межслоевого расслоения является актуальной задачей в механике композитов [1-5]. В качестве внешнего воздействия могут быть рассмотрены нестационарные акустические поля давления, индуцированные набегающим потоком, а также воздействие акустического шума, излучаемого волнами неустойчивости.

Указанные межслоевые расслоения являются технологическими дефектами, либо возникают в процессе эксплуатации конструкции (например, в результате удара), причем форма расслоения в плане достаточно произвольная [6 - 10].

В работе [11] рассмотрена композитная пластина при наличии межслоевого дефекта в форме эллипса. Проведён анализ отклика пластины, находящейся в поле стационарного давления, а также анализ напряжённо - деформированного состояния пластины в поле нестационарного давления.

399