CC BY
77
Получено 12.01.10
УДК 66:621.929
В.М. Васин, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-24-38, vv211048@uic.tula.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)
СПОСОБ СМЕШИВАНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОТОКОВ ИХ ЧАСТИЦ
Приведено описание непрерывного способа смешивания сыпучих материалов и математические модели различных типов потоков частиц, предложена оценка точности потоков компонентов и смеси.
Ключевые слова: сыпучие материалы, непрерывное смешивание, математические модели потоков частиц.
В [1] предложен непрерывный способ смешивания сыпучих материалов, дисперсность которых позволяет осуществлять поштучное дозирование их частиц (рис.1).
Рис. 1. Схема способа смешивания:
Пь П2 -производительность дозирующих устройств;
Утр - скорость транспортирующего органа
В соответствии с этим способом каждый компонент дозируется в один или несколько ручьёв на движущийся транспортирующий орган и потоки компонентов формируются следующим образом: частицы в каждом потоке следуют одна за другой с некоторым интервалом, средняя величина интервала определяется долей компонента в смеси, общим количеством потоков компонентов, производительностью дозирующего устройства и скоростью транспортирующего органа. Практически создать поток частиц компонента с постоянными интервалами между частицами по ряду очевидных причин невозможно, поэтому допускается некоторая вариация величины интервала при соблюдении двух условий: постоянство средней величины и вариация величины интервала относительно средней величины в пределах, определяемых требованиями к качеству готовой смеси. Интервалы между частицами являются случайными величинами. Поток смеси в этом случае представляет собой поток следующих одна за другой и чередующихся в соответствии с долями компонентов частиц всех компонентов. Из-за вероятностного характера потоков компонентов чередование частиц также имеет вероятностный характер. Пробы, взятые из различных участков потока смеси, содержат различные количества всех компонентов, но вследствие условий, предъявляемых к потокам компонентов, среднее содержание каждого компонента соответствует его доли в объёме смеси, а вариация содержания зависит от вариации величины интервала между частицами в потоке компонента. Очевидно, что неравенство одного интервала другому занижает качество смеси, поэтому следует назначать допустимый уровень вариации интервалов. Он может быть установлен из достигнутого уровня смешивания сыпучих материалов или в соответствии с требованиями стандартов или заказчика смеси.
Для обеспечения высокой производительности следует выбирать достаточное число ручьев дозирующих устройств для каждого компонента. Результатом работы одного ручья дозирующего устройства и транспортирующего органа является элементарный поток компонента (рис. 2).
Рис. 2. Элементарный поток частиц компонента
10
Поток компонента является суперпозицией его элементарных потоков, поток смеси - суперпозицией потоков компонентов.
Вид потока смеси компонентов зависит от выбранного режима смешивания, от количества дозирующих устройств и их компоновки в структуре смесителя. В соответствии с первым режимом поток смеси представляет собой последовательность чередующихся вдоль и поперек транспортирующего органа частиц всех компонентов. Толщина потока смеси не превышает размера одной частицы (см. рис. 1, а, б). Если компоненты подаются на транспортирующий орган несколькими поочередно установленными дозирующими устройствами, то возможен второй режим смешивания, результатом которого является поток смеси, состоящий из нескольких слоев, каждый из которых подобен потоку смеси, полученному в соответствии с первым режимом. В этом случае частицы компонентов чередуются вдоль и по высоте потока смеси (см. рис. 1, в). В случае дозирования компонентов, как показано на рис. 1, а, путем подбора соотношения производительности дозирующих устройств и скорости транспортирующего ор ана возмо жен третий режим. Пр и этом смесь имеет вид многослойного потока, каждый слой состоит только из одного компонента, а толщины слоев пропорциональны долям компонентов в смеси (см. рис. 1, г).
Производительность описываемого процесса смешивания зависит от производительности дозирующих устройств, допускаемой скорости транспортирования смеси, соотношения объемов компонентов, размеров и массы частицы каждого компонента, количества дозирующих устройств, числа ручьев каждого дозирующего устройства и режима смешивания.
В общем случае для вышеуказанных первого и второго режимов смешивания часовая производительность
ЗбМ^тр.доп$ К X
М к см } к=1
где Q - часовая производительность, кг; Утр доп - допускаемая скорость
транспортного органа, мм/с; М{Iсм } - математическое ожидание расстояния между двумя смежными частицами в одном слое смеси, мм; ук - доля к -го компонента в смеси; М {тк } - математическое ожидание массы частицы к -го компонента, кг; К - количество компонентов; $ - количество слоев в потоке смеси.
Допускаемая скорость Утр доп должна выбираться из условий оптимального транспортирования и выгрузки смеси, её величина зависит также от суммарной производительности ручьев всех дозирующих устройств и размеров частиц:
К
^тр.доп = М {см } X Пк , к=1
где Пк - производительность дозирующего устройства к -го компонента.
Величина М {/см } зависит от соотношения объемов компонентов и размеров частиц. Оно минимально в случае равных объемов компонентов и равно при этом размеру частицы. Во всех остальных случаях расстояние между частицами равно одному-двум размерам частиц.
Если выбран режим смешивания, результатом которого является многослойный поток смеси, показанный на рис.1, г, то часовую производительность следует рассчитывать по формуле
3600Утр доп $1 К У [ \
=-----Мггт-1 X - М {т к },
М {/1 } к=1 У1
где М {/1} - математическое ожидание расстояния между частицами компонента с наименьшей долей у в смеси; 51 - количество слоев наименьшего компонента.
Предложенным способом возможно непрерывное смешивание компонентов со сколь угодно различающимися физико-механическими свойствами, с большим соотношением объёмов компонентов, компонентов, склонных к агломерированию, компонентов с повышенной сцепляе-мостью частиц. Способ исключает движение частиц компонента среди частиц других компонентов при смешивании, трение между частицами и, следовательно, истирание поверхности частиц и образование пыли.
Математическое ожидание величины интервала /е между частицами в элементарном потоке является функцией производительности дозирующего устройства и скорости движения транспортирующего органа
м {/е К Гяр
П е
а дисперсия величины интервала
ҐУ Л
у тр VП,
Зависимость ^{/е }= /(Пе, Утр) рекомендуется находить опытным
путём, в частности, обработкой методом наименьших квадратов статистического материала, полученного для широкого диапазона варьирования средней величины интервала между частицами, выведена зависимость дисперсии величины интервала от режимов работы смесителя
0{е } = аЬ сПе У1р,
где а, Ь, с - эмпирические коэффициенты.
Приняв во внимание вид потоков компонентов и смеси, предложено рассматривать элементарный поток частиц компонента как временной ряд, поток смеси - как суперпозицию элементарных потоков компонентов
2
и привлечь для их описания и анализа соответствующий математический аппарат теории временных рядов [2-5].
Структура потока частиц в общем случае может складываться из четырёх составляющих: а) тренда, б) колебаний относительно тренда с большей или меньшей регулярностью, в) циклических изменений, г) случайного компонента. В связи с этим поток частиц можно рассматривать как одну из таких составляющих или сумму нескольких из них. Рекомендуется выполнять анализ структуры потока частиц с разложением её на вышеперечисленные составляющие и дальнейшее отдельное изучение последних.
Если предварительный анализ опытных данных позволяет сделать вывод о наличии тренда, то для его математического описания удобно использовать модель в виде полинома. Метод наименьших квадратов дает возможность подобрать его степень. Циклические изменения рекомендуется описывать линейными комбинациями тригонометрических функций порядкового номера интервала, коэффициенты линейных комбинаций рассматриваются как параметры. Для выявления случайности потока частиц можно использовать один из критериев, рекомендуемых в [3].
При наличии корреляционной связи между интервалами рекомендуются стационарные модели авторегрессии, скользящего среднего и смешанная модель авторегрессии-скользящего среднего [2, 3]:
/г = ф1/г-1 + ф2//-2 + ... + фр/г-р + аг,
Ц = а1 - ©/'а/-1 - ©2а1-2 - ... - ©да1 -у ,
/1 = ф1//-1 + ... + фр/1 -р + аг - ©1а/-1 - ... - ©уа1 -у, где /е1, /е(/--1), /ф-2) —, /е{1 -р) - центрированные относительно своего
математического ожидания величины интервалов между смежными частицами сыпучего материала; Ф1, ..., ф р - параметры модели авторегрессии;
©1, ..., © у - параметры модели скользящего среднего; р, у - целые положительные, определяемые экспериментально конечные величины; а, а;-1, а1 -2, ., а;-у - последовательность некоррелированных случайных
величин с нулевым средним и постоянной конечной дисперсией (белый шум).
Параметры моделей должны определяться в два этапа: получение начальных, приближенных оценок, затем эффективных, максимально точных. На первом этапе параметры модели авторегрессии Ф1, ..., фр рекомендуется находить из решения системы линейных уравнений Юла - Уокера, начальные оценки ©1, ..., © у модели скользящего среднего следует
находить итеративным способом с использованием предварительно найденных экспериментально величин коэффициентов корреляции. Для поис-
ка эффективных оценок параметров необходимо графически исследовать условную или безусловную логарифмическую функцию правдоподобия -функции специального вида от параметров модели и дисперсии белого шума - или применить способ их нелинейного оценивания [3].
Исследование элементарных потоков частиц компонентов сыпучего материала на основе этих моделей даёт возможность получить различные характеристики последовательности случайных величин интервалов между частицами: корреляционную функцию, спектр, характеристики белого шума и т.д. Использование в дополнение к этому для описания элементарных потоков частиц компонентов имитационного моделирования позволяет получить характеристики распределения частиц сыпучих материалов в отрезках элементарных потоков и в отрезках суперпозиций элементарных потоков.
Если последовательность интервалов /е1, /е2, ... (см. рис. 2) состоит из независимых, имеющих один и тот же закон распределения ^ (/е) величин интервалов, то характеристики распределения частиц компонента в отрезках АЬе элементарного потока смеси могут быть получены при помощи аппарата теории рекуррентных потоков [4, 5]. В частности, случайное число частиц V е (АLe) в отрезке АЬе элементарного потока в общем виде характеризуется распределением
П А^е
^е(А^е) = п} = 77^ 11^-1(х)- 2¥п(х) + ^+1(х)]■ ¿х,
тр о
где К-ъ рп , рп+1 - (п - ^ п, (п + 1) - кратные свертки закона распределения величины интервала между частицами ^(/е).
Для нормального закона ^(/е) с параметрами, определёнными выше, это распределение имеет вид
^е (А1е ) = п} =
Пе
АЬе
Утрд/2™^ Ъс' Пе 0
I [
1
е АЬе
л]п - 1
[х -(п - ])утр/Пе ]2
2(т - 1)аутрЪ
тр,
2 ,_с/П„
4х
АЬе і АЬе
2 I т I ехР
АЬе 1 АЬе
+ I ~г=Л I ехр
0 Л1п +1 о
[х п Утр /П е ]
2паУтр ЪС Пе
[х - (п +1) утр IП е 2(п + 1)аУтр Ъ
с! Пе
>йх +
>йх]<іх
Математическое ожидание количества частиц на отрезке АЬе определено в соответствии с теоремой Блекуэлла [4]:
2
М {у е (АЬе )}=—^ ЛЬ
тр
а дисперсия случайной величины V е (ЛЬе) в общем случае
0{у е (ЛЬе )} =
2 П ЛЬе 2Пе 5
V,
тр о
1
Л1е
л¡2naVтр ЬС Пе
| ехр
[х п Утр Iп е]
2naVтр ЬС Пе
хПе
Лх —
V
тр
1
+ — 2
Лх.
Если отрезок ЛЬе достаточно велик, то на практике для расчёта дисперсии можно пользоваться формулой
П 3 аЬС Пе е (ЛЬе )}« е
ЛЬ
V
тр
Точность элементарного потока оценивается коэффициентом вариации количества частиц в отрезке ЛЬе :
V {V е (ЛЬе )}= V {е }
М{Л
ЛЬе
п еаЬС пе
ЛЬе
где V{/е } - коэффициент вариации величины интервала между частицами в элементарном потоке; М {/е } - математическое ожидание величины интервала между частицами в элементарном потоке.
Как в случае наличия, так и в случае отсутствия корреляционной связи между величинами интервалов между частицами в элементарном потоке теория временных рядов не даёт возможности в аналитическом виде получить зависимость точности потока с учётом рассеяния массы частицы сыпучего материала
Для оценки влияния рассеяния массы частицы на точность потоков рассмотрен элементарный поток частиц (см. рис. 2): в отрезке потока ЛЬе находится случайное количество частиц ve (ЛЬе), каждая из которых имеет случайную массу т, I = 1, 2, Vе(ЛЬе); общая масса частиц в отрезке
ve (ЛЬе )
элементарного потока т^(ЛЬе) = X т1 также является случайной вели-
/=1
чиной. Принято допущение: все случайные массы тодинаково распределены с математическим ожиданием М{т} и дисперсией О{т}. Это позволило использовать положения теории вероятностей о числовых характеристиках функций случайных величин [6] и получить зависимость коэффициента вариации массы частиц т^ (ЛЬе) от коэффициента вариации
массы частицы V {т}, от коэффициента вариации числа частиц V {уе (ЛЬе)} и математического ожидания числа частиц М {V е (ЛЬе)} в отрезке ЛЬе :
е
VК(Ме)К ■ V '.+ 2{vе(ALe)}.
■Ve(bLe,, уm jv e (ALe )}
Как видно из рис. 3, степень влияния V{m} на V К e (&Le)} зависит от соотношения величин V {m}, M {mv e (ALe)} и V{ve (ALe)}. Оценка точности потока сыпучего материала по рассеянию числа частиц допустима только в случае малого рассеяния массы частицы и при большой величине среднего числа частиц в выбранном отрезке потока сыпучего материала.
V-
1,38
1,17
0,95
0,74
0,53
0,31
0,10
2 1
#
/ Ч \ ./ *
* • * ш J C..--?»
- - ■ " г * ■ _ * Ш _ .J*
.-..•г:«11 б "
\ 9
0 1 2 : у{т}
Рис. 3. Зависимость коэффициента вариации массы частиц
Vе (А!е)} от коэффициента вариации массы частицы V{т}
и коэффициента вариации числа частиц V{уе (АЬе)} в отрезке АЬе:
1-3 - V {V е (А!е)} =1; 4-6 - V К (АЬе )}=0,5; 7-9 - V {у е (А1е)} =0,1;
1, 4, 7- М{уе(АЬе)}=10; 2, 5, 8 - М{уе(АЬе)}=20;
3, 6, 9 - М{уе(АЬе )}=40
Для потоков частиц с независимыми величинами интервалов связь коэффициента вариации массы частиц с режимами смешивания Пе и Vтр
выражена в виде
К (Діе)}
У
тр
ALe
У2 М. ^ о!П0
П е
+ ПеаЬ
Характер зависимости коэффициента вариации V {ту е (а/)} от производительности ручья дозирующего устройства Пе и коэффициента вариации массы частицы V{т} при АЬе = 2000 мм, М {/е} = 100 мм, М {уе (АЬе} = 20 показан на рис. 4. Влияние производительности при её значении от 1 до 3,5 шт./с с увеличением рассеяния массы частицы уменьшается, а при V {т} > 1 оно несущественно.
Рис. 4. Зависимость коэффициента вариации V{тУ( е (Ме)} от производительности Пе:
1 - V{т}=0; 2 - V{т}=0,5; 3 - V{т}=1
Поток компонента может являться суперпозицией нескольких одинаковых элементарных потоков (рис. 5).
Рис. 5. Схема образования потока компонента
В этом случае рассеяние массы V к (АЬк) частиц в отрезке АЬк потока компонента
, w= V К (ААк)}
*Vk (ALk )f JE 5
V {'Ч (ALk )}=
где E - число элементарных потоков, образующих поток компонента,
V \п\е (ЛЬк)} - коэффициент вариации количества частиц в отрезке элементарного потока длиной ЛЬк.
Если для оценки качества смешивания из потока смеси отбирается проба из его отрезка длиной ЛЬС, то рассеяние её массы
V m
V,
;(al(
.)}-
V 2 {m}
K ek П e
II ^ alc
к=leK Vmp
+
KEk
II ab
к=1eK
кП^ Vmp ALe
KEk
IIП* ALC
V K=1eK
где К - число потоков компонентов; Ек - число элементарных потоков, образующих поток к -го компонента; ек - элементарный поток потока к -го компонента; Пе - производительность ручья дозирующего устройства, образующего элементарный поток потока к -го компонента.
Список литературы
1. Васин В.М. Способ приготовления однородных смесей сыпучих материалов // Автоматизация и современные технологии. 2003. №3. С. 21-24.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Вып.1: монография. М.: Энергия, 1973. 440 с.
3. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды: монография. М.: Наука, 1976. 736 с.
4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности: монография. М.: Наука, 1965. 524 с.
5. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления: монография. М.: Советское радио, 1967. 300 с.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения: учебник. М.: Высшая школа, 2000. 480 с.
V. Vasin
Way of mixing of loose materials and mathematical models of streams of their
particles
The description of a continuous way of mixing of loose materials and mathematical models of two types of streams of particles is given, the estimation of accuracy of streams of component is offered to a mix.
Keywords: granular materials, continuous mixing, the mathematical model of particle fluxes.
2
Получено 12.01.10
