ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПОТОКОВ КОМПОНЕНТОВ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В СМЕСИТЕЛЯХ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66:621.929

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-538-545

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПОТОКОВ КОМПОНЕНТОВ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В СМЕСИТЕЛЯХ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ

В.М. Васин

Представлены линейные модели потоков частиц сыпучих материалов в смесителях непрерывного действия. Рассмотрены модели элементарных потоков частиц и имитационные модели потоков компонентов.

Ключевые слова: сыпучие материалы, непрерывное смешивание, математические модели потоков частиц.

Введение. Для смешивания сыпучих материалов предложен способ смешивания, заключающийся в формировании разреженных потоков компонентов толщиной в одну частицу с последующим наложением их один на другой. В потоке смеси частицы компонентов чередуются в соответствии с их пропорцией. С целью достижения достаточной производительности смешивания каждый компонент рекомендуется дозировать в несколько элементарных ручьёв [1].

В каждом из элементарных потоков частицы расположены на случайном расстоянии одна от другой. Элементарный поток образуется на транспортирующем органе, движущемся со скоростью Vс , в результате поштучной подачи на него частиц компонента с производительностью Пе из одного ручья дозирующего устройства и представляет собой последовательность частиц, расположенных одна от другой с некоторым интервалом, зависящим от скорости V и производительности Пе (рис.1).

Рис.1. Элементарный поток частиц сыпучего материала: 1 - дозирующее устройство; 2 - транспортирующий орган

При наличии корреляционной зависимости между интервалами 1е^, 1е2, ••• для математического описания потоков частиц может быть привлечена теория временных рядов [2, 3] и потоки могут быть описаны линейными моделями. Параметры моделей зависят от характеристик работы дозирующего устройства и транспортирующего органа, т. е. от Пе и vс.

Общая линейная модель. В общем случае элементарный поток частиц сыпучего материала может быть описан линейной моделью

~ег = а1 + / (П е, ^ )а1-1

(1)

] =1

где ¡е^ = ¡е^ — М{¡е } - центрированный интервал; Iе^ - интервал между частицами в потоке; М{¡е } - математическое ожидание интервала; ^ (Пе, vc ), у2(Пе, vc ), •.. - параметры модели; аI, аI—1, •..- белый шум.

Выражение (1) может быть преобразовано к виду регрессии текущей величины ¡^ на предыдущие величины ¡е1 ¡е1 _2, ...:

¡е1 = X Ф I (пе, Ус %_ I + а1 , (2)

I=1

где Ф1 (Пе, Ус ), ф2 (Пе, Ус),... - параметры модели.

Если поток частиц является стационарным, то он описывается его средним значением, дисперсией, корреляционной функцией и спектром. Спектр показывает, как дисперсия потока частиц распределена в непрерывном диапазоне частот.

Выражение для спектра общей модели потока представлено в виде:

Р(/) ~ (Пе , ^ )^(Пе , ^ , е_2К/ )2

0 < / < 0,5. (3)

X У;/ (пе , Ус )

I =0

Связь дисперсии интервала между частицами а ^ (Пе, ус ) с дисперсией белого шума

¡е

а2 (Пе, Ус ) выражена в виде:

да

а ~ (П е, Ус ) = а а (П е , Ус )Ху 2 (П е , ^). е 1=0 Формы (1) и (2) общей линейной модели содержат неограниченное число параметров. Поэтому предлагаются частные случаи линейной модели потоков частиц с конечным числом параметров.

Взаимосвязь интервалов между частицами в потоках сыпучего материала. Зависимость текущей величины интервала между частицами от конечного числа величин предыдущих интервалов можно описать с помощью модели авторегрессии, которая является частным случаем общей линейной модели (2):

~ Р ~

¡е1 = Хф| (Пе, Ус Уе/_] + а1, I=1

где Р - конечное число, определяемое эмпирически.

Шраметры ф1 (Пд, ¥тр ^ ф2 (Пд, Утр ) фр (Пд, Утр ) модели авторегрессии

удобно находить с помощью уравнений Юла-Уокера [2].

Выражение для корреляционной функции потока сыпучего материала получено в виде:

Рк(Пе,Ус)= X ФI(Пе,Уск_I(Пе,^с> к > 0.

I=1

В общем случае корреляционная функция стационарного потока частиц, описываемого моделью авторегрессии, в зависимости от порядка модели и величин параметров модели состоит из совокупности затухающих экспонент и затухающих синусоид.

Корреляционная функция модели авторегрессии первого порядка экспоненциально монотонно затухает при Ф1 (Пд, Утр )> 0 и корреляционная функция экспоненциально затухает, меняя знак при Ф1 (Пд, Утр ) < 0 .

Корреляционная функция модели авторегрессии второго порядка в зависимости от величин параметров состоит из совокупности затухающих экспонент, причем все р к положительны, или рк знакопеременны, или функция рк является затухающей синусоидой.

Из (3) получено выражение для спектра потока частиц, описываемого моделью авторегрессии:

2о~ (,ус) р(/ ) = 4

1 - Ер/ (Пе , ^с )ф/ (Пе /

■И

0 < / < 0,5.

1 -ЕФ /(Пе,vc)е-2^

2

/

/=1

Для этой модели связь дисперсии интервала между частицами с дисперсией белого шума имеет вид

а ~ (П е, ус )= а2 (п е, Ус ) .

1е р

1 - ЕР/ (Пе, УС )ф/ (пе, УС ) /=1

Спектр модели первого порядка может иметь экстремум при частоте / = 0 или при / = 0,5 в зависимости от знака р1 (Пд, Утр ).

В случае потока сыпучего материала, описываемого моделью авторегрессии второго порядка, при больших положительных р1 (п^ , Утр ) в спектре преобладают низкие частоты. В

структуре потока может наблюдаться псевдопериодичность или тренд величин интервалов между частицами. В случае большого по модулю отрицательном р1 (п^, Утр ) преобладают

высокие частоты. Величины интервалов должны быстро осциллировать относительно своего среднего и в структуре потока усиливается влияние случайной компоненты.

Связь интервалов между частицами с белым шумом. Зависимость текущей величины интервала между частицами от белого шума описывается моделью скользящего среднего:

~ Ч

1е1 = а1 - Е© / (Пе, УС К-/ , /=1

являющейся частным случаем общей модели (1) при / = 1, 2, ..., ч .

Здесь параметры - ©1 (Пе, ус ), ..., - 0 ^ (пе, ус ) соответствуют параметрам общей линейной модели.

Модель скользящего среднего является моделью стационарного потока частиц без каких-либо ограничений на ее параметры.

Корреляционная функция потока прерывается при к > 4 :

-0к (Пе , Ус )+ Е©/ (Пе , Ус )©к +/ (Пе , ^с )

/=1_, к = 1, 2, ..., ч ,

Р к (П е , Ус )='

1 +Е©2 (Пе , Ус )

1 /

Р к (Пе, Ус ) = 0, к > Ч,

т. е. в отличие от корреляционной функции потока, описываемого моделью авторегрессии, конечна.

Параметры ®1 (Пд, Утр ), 0 2 (Пд, Утр ), ..., 0 д (Пд, Утр ) могут быть определены из последнего уравнения через коэффициенты корреляции р1 (Пе, ус ), р2 (Пе, ус ),..., Р ч (Пе, ус ). В отличие от линейных уравнений Юла-Уокера для случая модели авторегрессии

полученные уравнения нелинейны. Исключение составляет случай 4 = 1. При 4 > 1 эти уравнения необходимо решать итеративным способом. В результате можно найти начальные оценки параметров модели.

Эти оценки параметров могут не обладать высокой статистической эффективностью, но они могут оказаться полезными при грубых оценках параметров на этапе идентификации модели и могут быть использованы как начальные приближения в итеративной процедуре, сходящейся к эффективным оценкам максимального правдоподобия при получении эффективных оценок ее параметров.

Из (3) получено выражение для спектра потока частиц

р(( ) = 2а 2 (Я в, гс)

1 -Е® / (Я е, )е

-2/л/

/=1

0 < / < 0,5.

Дисперсия величины интервала и дисперсия белого шума связаны выражением:

а ~ (Яе, ) =

/

1 + Е®2 (Яе,)

/=1

(Я е, ).

Спектр модели скользящего среднего первого порядка имеет экстремумы при при / = 0 и при / = 0,5.

Положение экстремумов спектра модели скользящего среднего второго порядка определяется величинами параметров модели.

Смешанная модель. В ситуациях, когда поток частиц сыпучего материала не может быть описан моделью авторегрессии или моделью скользящего среднего в чистом виде, рекомендуется привлекать модель авторегрессии-скользящего среднего в виде:

~ Р ~ Ч

1е1 = Е Ф / (Яе, К/-/ + а1 - Е ® / (Яе, -/ , /=1 /=1 Выражение для корреляционной функции имеет вид:

Р к (Яе, )= ЕФ / (Яе, )р к-/ (Яе, ), к > Ч + 1

/=1

]

+1.

Если ч - р < 0, то корреляционная функция состоит из совокупности затухающих

экспонент и (или) затухающих синусоид; если 4 - р > 0, то 4 - р + 1 ее первых значений не

укладываются в эту общую картину.

Для смешанной модели потока спектр:

2

Р(/ )

= 2а а (Яе , )

1 - Е®/ (Яе , )е

/ =1

- 2/л/

0 < / < 0,5.

1 -ЕФ / (Я е, >

/=1

-2/л/

Приведенные выше модели дают возможность проанализировать элементарные потоки, но, располагая математическими моделями элементарных потоков компонентов, аналитически получить выражения, описывающие образованные ими потоки компонентов или смеси не предоставляется возможным. Получать характеристики потока компонента, как суперпозиции его элементарных потоков (рис.2), и характеристики потока смеси, как суперпозиции потоков компонентов, предлагается имитационным моделированием [4].

Имитационное моделирование. Этот способ исследования дает возможность выявить характер элементарного потока компонента, представляемого в виде последовательности интервалов между частицами сыпучего материала, получить характеристики распределения числа частиц в отрезках элементарного потока, выявить влияние характера элементарного потока на статистические свойства потока компонента и потока смеси, получить характеристики потоков компонентов и смеси.

С целью изучения возможно более широкого диапазона видов элементарных потоков для исследования взяты 28 моделей авторегрессии и скользящего среднего первого и второго порядков и смешанная модель первого порядка с параметрами, учитывающими различные уровни стохастической связи между интервалами.

Значения параметров выбраны из областей стационарности и обратимости моделей, они соответствуют всем возможным видам корреляционных функций последовательности интервалов между частицами [2].

При подготовке исходных данных приняты параметры распределения интервалов: математическое ожидание М {/е }= 50 мм и дисперсия а ^ = 625 мм2. Для каждой модели рассчи-

1е

2

таны интервалы /е1, /е2, ., /е^, выполнен расчет последовательности случайных чисел частиц ne, находящихся в отрезках элементарного потока компонента длиной АЬе = 500 мм каждый (рис.1), и расчет характеристик этих последовательностей.

Элементарные .

компонента

Поток компонента

/к

м

пк

к

V,

А^к

Рис. 2. Схема образования потока компонента

Анализ результатов расчетов, полученных в ходе имитационного моделирования элементарных потоков и потоков компонентов, позволил сформулировать ряд выводов. Последовательности числа частиц пе соответствуют последовательностям интервалов, т.е., если последовательность интервалов носит псевдопериодический характер, то соответствующая ей последовательность числа частиц так же псевдопериодична, а если величины интервалов осциллируют около своего среднего значения, то и числа частиц так же осциллируют около своего среднего значения.

В качестве примера на рис. 3 приведены псевдопериодическая и осциллирующая последовательности интервалов и соответствующие им последовательности числа частиц в отрезках одного из элементарных потоков, описываемые моделями авторегрессии первого порядка

~ = 0,9(пд, Утр )~-1 + а1; ~ = -0,9(пд, Утр )~-1 + а1.

Количества частиц пе в отрезках АЬе элементарных потоков с уровнем значимости

ошибки не более 5 % во всех случаях распределены по нормальному закону.

Величины коэффициентов вариации числа частиц в отрезках потока для исследованных моделей при математическом ожидании М{пе }=10 находятся в пределах 0,08 - 0,43;

меньшие значения коэффициентов соответствуют осциллирующим элементарным потокам частиц.

Расчеты показали, что первые два момента распределения пе со статистической надежностью 99,99 % являются одинаковыми для различных участков элементарных потоков компонентов. Из этого следует, что последовательности пе обладают свойством стационарности второго порядка для всех исследованных моделей последовательностей интервалов.

Расчет значений корреляционных функций последовательности числа частиц в элементарных потоках и проверка их значимости показали, что их вид существенно отличается от вида корреляционных функций, свойственным моделям авторегрессии, скользящего среднего или авторегрессии-скользящего среднего [2], а в некоторых случаях последовательности числа частиц являются случайными. Это указывает на необходимость их исследования способом имитационного моделирования или методами теории рекуррентных потоков.

Рассмотрены три варианта потоков компонентов, различающиеся характером образующих их элементарных потоков частиц: суперпозицию образуют элементарные потоки с явно выраженной псевдопериодичностью, суперпозицию образуют элементарные потоки осциллирующего характера, суперпозицию образуют элементарные потоки, занимающие промежуточное положение между псевдопериодическими и осциллирующими потоками.

В первом случае последовательности интервалов между частицами описываются моделями авторегрессии первого порядка

~ = 0,9(Яд, ^р )/-1 + ai■

[д, у тр //'-1 + ai

во втором - авторегрессии первого порядка-скользящего среднего первого порядка

~ = -0,9(Яд, Vтр )~-1 + ai - 0,9(Яд, Vn^p )ai-1, в третьем - авторегрессии первого порядка

~ = 0,2(Яд, ^р Х-1 + ai. .2

120

2 100 80

/

§ 60

и &

£ 40

X

К

20 0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

Порядковый номер интервала /е

т

а

ы

а

и

т

о

а

\У

I

I

I

I

к

1

'I

й/ 1

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

Порядковый номер отрезка ДЬе

Рис. 3. Последовательности величин интервалов (а) и соответствующие им последовательности количества частиц (б) для моделей авторегрессии первого порядка

с параметрами: 1, 3 - Ф1 =0,9; 2, 4 - Ф1 =-0,9

\ /' ^ ✓

V ^

ч

/

.............

Во всех случаях последовательности интервалов имеют параметры распределения М{/е } = 300 мм, а^ = [р,5М{/е }]2. Количество элементарных потоков, образующих суперпозицию, Е = 2, 4, 6.

Установлено, что вид суперпозиции двух элементарных потоков в некоторой мере соответствует виду исходного элементарного потока во всех трех случаях, но при увеличении числа элементарных потоков все три суперпозиции внешне становятся подобными одна другой (рис. 4).

Это объясняется распределением интервалов между частицами сыпучего материала: если интервалы между частицами в элементарных потоках распределены по нормальному закону, то интервалы в их суперпозициях распределены по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром 1/М {/к } = Е/М {/е }.

а

Корреляционные функции последовательностей интервалов в потоках компонентов при одном и том же числе элементарных потоков для различных их моделей существенно различаются. Общим является то, что при увеличении числа элементарных потоков для каждого из трех случаев корреляционная связь ослабевает и имеет сложный характер.

Порядковый номер интервала I^ Рис. 4. Последовательность величин интервалов в потоке компонента

Со статистической надежностью 95 % показано, что потоки компонентов строго стационарны вне зависимости от числа и вида элементарных потоков.

Вид последовательности числа частиц nk в отрезках потоков компонентов AL^ при увеличении числа элементарных потоков в суперпозициях в основном сохраняется: характер элементарного потока передается его суперпозициям. Если элементарный поток является осциллирующим, то и поток компонента - осциллирующий, и, аналогично, если элементарный поток - псевдопериодический, то и поток компонента - псевдопериодический.

Для всех суперпозиций последовательностей nk характерно наличие в той или иной

мере корреляционной зависимости. Показано, что потоки компонентов являются стационарными, с постоянными на всем их протяжении нормальными функциями распределения как интервалов между частицами, так и числа частиц на их отрезках.

Выводы. Вид модели последовательности величин интервалов между частицами в потоке сыпучего материала, величины и соотношение величин членов ее корреляционной функции влияют на вид ее спектра и характер. Последовательность значений интервалов определяет характер и стохастические показатели последовательности числа частиц в отрезках потока сыпучего материала.

Список литературы

1. Васин В.М. Способ приготовления однородных смесей сыпучих материалов. Автоматизация и современные технологии. 2003. №3.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1. М.: Мир, 1974. 406 с.

3. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. 736 с.

4. Бусленко Н.П. Метод статистического моделирования. М.: Наука, 1970. 296 с.

Васин Вячеслав Михайлович, канд. техн. наук, доцент, vasin.211019487@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

LINEAR MODELS OF FLOWS OF COMPONENTS OF BULK MATERIALS IN CONTINUOUS

MIXERS.

V.M. Vasin 544

Linear models ofparticle flows of bulk materials in continuous mixers are presented. Models of elementary particle flows and simulation models of component flows are considered.

Key words: bulk materials, continuous mixing, mathematical models ofparticle flows.

Vasin Vjatheslav Mihailovich, candidate of technical science, docent, vasin.21101948@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.0

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-545-548

РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ДОСЫЛАНИЯ ПАТРОНА

В ПАТРОННИК

Р.В. Мотало

Рассматриваются 2 способа досылания патрона в патронник: треугольный закон досылания и трапецеидальный закон досылания. Приведены схемы работы каждого из рассматриваемых вариантов. Показано, что наиболее целесообразным можно считать трапецеидальный закон досылания.

Ключевые слова: стрельба, досылание патрона, треугольный закон, трапецеидальный

закон.

Практика проектирования автоматического оружия показывает, что возможность увеличения темпа стрельбы в значительной степени определяется прочностью патрона. При автоматической стрельбе, а в некоторых случаях и при перезарядке патрон может получить недопустимо большие деформации, которые приводят к задержкам. Характер этих деформаций зависит от тех нагрузок на элементы патрона, которые возникают в результате работы автоматики.

Наиболее нагружен патрон в осевом направлении. Это связано с тем, что для повышения темпа стрельбы сокращают время таких основных операций, как досылание патрона, извлечение стреляной гильзы из патронника, это неизбежно приводит к повышению осевых нагрузок, действующих на патрон.

Продольные усилия, действующие на патрон при досылании, возникают в начале его движения (досылающий удар, разгоняющее усилие) и в конце (удар при остановке патрона, тормозящее усилие).

При разгоне и торможении характер деформации патрона, а также допустимые величины нагрузок различны. Поэтому функционирование патрона при разгоне и торможении рассматривают отдельно.

Величина деформации патрона и, следовательно, допустимая скорость при ударе по патрону досылателем определяются прочностными характеристиками самого патрона, геометрией, массой деталей автоматики, взаимодействующих с ним.

Виды деформаций патрона при ударном торможении зависят от способов торможения патрона при посадке его в патронник, а также от того, к каким местам гильзы приложено тормозящее усилие. В современных образцах оружия патрон может останавливаться следующими способами:

- ударом буртика о пенек ствола.

- патрон при останове опирается на скаты гильзы.

- патрон при останове удерживается в лапках затвора.

Треугольный закон досылания патрона.

Треугольный закон досылания патрона имеет вид на рис. 1.

545