CC BY
14
Buryy Gregory Gennadievich, candidate of technical sciences, docent, buryy1989@bk. ru, Russia, Omsk, Siberian State Automobile and Highway University,
Poteryaev Ilya Konstantinovich, candidate of technical sciences, docent, po-teryaev ikamail. ru, Russia, Omsk, Siberian State Automobile and Highway University,
Skobelew Stanislav Borisovich, candidate of technical sciences, docent, skobelewarambler.ru, Russia, Omsk, Omsk State Technical University,
Kovalevskiy Valeriy Fedorovich, candidate of technical sciences, docent, skobelewa rambler.ru, Russia, Omsk, Omsk State Technical University
УДК 66:621.929
АНАЛИЗ ПОТОКОВ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В СМЕСИТЕЛЯХ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В.М. Васин
Предложен анализ потоков частиц компонентов, заключающийся в проверке стационарности потока, установления его структуры и выборе адекватной модели.
Ключевые слова: сыпучие материалы, непрерывное смешивание, математические модели потоков частиц.
С целью повышения эффективности непрерывного способа смешивания сыпучих материалов средней и крупной дисперсности ранее было предложено формировать потоки компонентов в виде разреженных потоков таким образом, чтобы частицы в каждом потоке следовали одна за другой с некоторыми интервалами. Средняя величина интервала между частицами определяется долей компонента в смеси и общим количеством потоков компонентов, а дисперсия величины интервала - требованиями к однородности смеси [4].
Поток компонента формируется в результате выдачи частиц из дозирующего устройства на движущийся транспортёр. Поток смеси представляет собой поток следующих одна за другой и чередующихся в соответствии с долями компонентов частиц всех компонентов. Для обеспечения высокой производительности смешивания следует выбирать достаточное число ручьев дозирующих устройств для каждого компонента.
Результатом работы с производительностью Ре одного ручья дозирующего устройства и движущегося со скоростью Ус транспортёра является элементарный поток частиц компонента (рисунок). Поток каждого компонента является суперпозицией его элементарных потоков, поток смеси - суперпозицией потоков компонентов.
19
Принимая во внимание вид элементарного потока частиц, предложено рассматривать его как временной ряд и привлечь для его анализа и описания математический аппарат теории временных рядов [1 - 3, 7 - 11].
Качество смешивания характеризуется двумя основными показателями: минимальное рассеяние содержания частиц компонента в пробах по отношению к его средней величине и постоянство этих характеристик по всему потоку смеси. Эти показатели могут быть достигнуты оптимальным подбором конструкций дозирующих устройств и режимов работы смесителя в целом. Второй показатель требует однообразия характеристик потоков компонентов на всей их протяженности. В теории временных рядов это соответствует свойству стационарности [1 - 3, 8].
V е (А!е )
Элементарный поток частиц компонента
Поток частиц компонента будет являться строго стационарным, если его свойства не зависят от изменения его начала, т.е. если функция распределения ^(¡ф+1), ¡ф+2), ..., ¡е(/+п)) любых п последовательных интервалов ¡ф+1), ¡ф+2), ..., ¡ф+п) между частицами не зависит от / для
всех целых п > 0. В этом случае любые п последовательных величин интервалов имеют одно и то же распределение независимо от места, которое они занимают в потоке.
Стационарный поток должен иметь постоянное математическое ожидание величины интервала, которое определяет средний уровень, относительно которого он флуктуирует, и конечную, постоянную дисперсию, определяющую размах величин интервалов.
Стационарность потока предполагает одинаковое совместное распределение /( ¡е(1+к^ ¡е(2+к)) для всех пар интервалов ¡е(1+к^ ¡е(2+к^ находящихся на одном и том же расстоянии друг от друга. Поэтому для любой пары ¡е/ и ¡ф+к) существуют ковариация и корреляция:
7к = СОУ^е,, ¡е(1+к) 1= М{«(¡е/ - ¡е0 Х^/+к) - ¡е0 7к = 7-к ,
Р к =
7к 7 0
М{(¡е/ - ¡е0 )(¡e(/+к) - ¡е0 )| М{(¡е/ - ¡е0 +к) - ¡е0 )|
(/+к)
м{(¡е/ - ¡е0 )2 |]-М{(¡е(/+к) - ¡е0 )21
е(/+к) -¡е0
Р к =Р-к, 20
а
где leo - математическое ожидание величины интервала.
Для стационарного потока ковариация при к = 0 равна дисперсии
2
величин интервалов: go =o¡ .
В случае стационарного потока для ряда значений lel, le2, ..., len ковариационная и корреляционная матрицы являются симметричными и положительно полуопределенными.
Последовательность интервалов le(¿+1), le(¿+2), ..., le(¿+п) обладает
свойством слабой стационарности второго порядка, если математическое ожидание не зависит от i и ковариационная матрица является положительно полуопределённой, но если дополнительно к этому интервалы распределены по нормальному закону, то поток обладает свойством строгой стационарности.
Экспериментальный материал дает возможность получать выборочные оценки ковариации и корреляции. При обработке статистического материала может возникнуть потребность в оценке точности вычисленных величин коэффициентов корреляции. Для потоков большой протяжённости, когда n >> к, дисперсию величины коэффициента корреляции следует определять по формуле Бартлетта:
D{rk }» - I (р2 +Pi - к Pi+к - 4р к Pi Pi+к + 2Р2Р2).
П i = -¥
Между значениями выборочных коэффициентов корреляции Гк и Гк+я может быть значимая ковариация, это может искажать вид выборочной корреляционной функции. Приближенно при больших к эту ковариа-цию можно оценить:
1 к -1
С°ЧГк,Гк+я}»- IPvPv+я .
пу=-(к -1)
Коррелограмма является полезным инструментом при изучении внутренней структуры потоков частиц сыпучих материалов.
Другой способ анализа потока частиц основан на предположении, что он образован синусоидами и косинусоидами различных частот:
lei = le0 + II (v jgij + wisij )+ ai , j=1
где Vj, Wj - коэффициенты;
gij = cos 2pfji, Sij = sin 2pfj, fj = n, fj - j -я гармоника основной частоты 1/п; п = 2q +1 - количество членов
последовательности le1, le2, ..., len; ai - независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией sa2 .
Для контроля случайности потока частиц рекомендуется использовать периодограмму, состоящую из q = 0,5(п -1) значений,
/ (/, )=n (v2+w2
J "J
где / (fj) - интенсивность на частоте fj ; v j , w j - оценки коэффициентов;
2 n 2 n nJ =~ Zleigj , wJ =~ Zleisij J =1 2 •••, q • ni=1 ni=1
Если элементарный поток частиц является случайным, не содержит
регулярной синусоидальной составляющей, то справедлива модель вида
lei = le0 + ai •
В этом случае каждое значение / (fj ) имеет математическое ожидание 2а a и распределение о2 c 2 (2), независимое от других значений периодограммы •
Если поток частиц не является случайным, содержит регулярную синусоидальную составляющую с частотой f j, амплитудой A , фазой F,
то справедлива модель вида
lei = leo + v cos(2pfj¿)+ w sin (2pfji)+ ai •
Здесь v = A sin F, w = A cos F •
В этом случае / (fj) имеет математическое ожидание 2а2 + 0,5nA ^ Вероятность того, что частота f неизвестной синусоидальной составляющей точно совпадала с одной из частот, для которых могут быть вычислены / (fj), мала^ В этом случае на периодограмме должно наблюдаться увеличение интенсивности в окрестности f •
Кроме периодограммы удобным инструментом для анализа потока частиц, в структуру которого входят синусоиды и косинусоиды с постоянными частотами, может быть выборочный спектр • Его выражение получено преобразованием выражения для периодограммы к виду
' n-1 ^
/ (f ) = 2
со + 2 Zck cos2pk k=l
0 < f < 0,5.
где со, с^ - оценки ковариационной функции.
В какой мере полезны коррелограмма или спектр при исследовании внутренней структуры потока сыпучего материала, зависит от целей исследования и априорных знаний о порождающем поток механизме. Корре-лограмма указывает на зависимость между интервалами потока, спектр указывает на то, в какой мере ряд подчиняется тому или иному ритму.
Стационарные потоки частиц могут характеризоваться случайными изменениями частоты, амплитуды и фазы. Выборочный спектр таких потоков сильно флуктуирует и затрудняет их интерпретацию.
22
Аналогичным инструментом анализа потоков, в структуре которых отсутствуют детерминированные синусоидальные и косинусоидальные составляющие, является спектральная плотность
p( f ) = 2
0 £ f £ 0,5.
g 0 + 2 Z g к cos2f к=1
После интегрирования этого выражения в пределах от 0 до 0,5 связь дисперсии интервала между частицами со спектральной плотностью имеет вид
0,5
g0 =S2 = J P(f )df. 0
Из этого следует, что p(f )df представляет собой приближенное значение дисперсии в частотном диапазоне от f до f + df .
Спектральную плотность можно определить через корреляции р к :
g (f ) ■■
р( f )
о
= 2
0 £ f £ 0,5.
1 + 2 XРк сов2р/к . . к=1
Периодограмма показывает, каким образом дисперсия величины интервала, структура которого включает синусоидальные и косинусои-дальные составляющие, распределена между гармоническими составляющими, а спектральная плотность показывает, как дисперсия величины интервала случайного потока распределена в непрерывном диапазоне частот.
Оценка спектральной плотности не всегда может быть получена заменой теоретических ковариаций у к или корреляций р к их выборочными оценками Ск или Гк. Выборочный спектр стационарного потока может сильно флуктуировать вокруг теоретического спектра. Объяснение этого факта заключается в том, что выборочный спектр соответствует использованию слишком узкого интервала в частотной области. Сглаженную оценку спектра можно получить [2], используя подобранные веса 1 к:
' и-1 ^
Р ( f ) = 2
Со + 2 X1 кСк соБ2р/к к=1
При выполнении статистического анализа потоков частиц следует иметь в виду, что получаемые характеристики могут зависеть от параметров работы дозирующих устройств, транспортёра и их соотношения: потоки с одной и той же средней величиной интервала могут быть получены при работе дозирующего устройства и транспортёра на различных режимах. Естественно предположить, что потоки с одной и той же средней величиной интервала могут иметь различные статистические характеристики: ковариацию, корреляцию, спектр и т.д. Поэтому для получения достоверных результатов анализа и соответствующих выводов о ходе дальнейшего исследования следует рассматривать потоки, полученные при варьировании параметров работы смесителя в широком диапазоне.
23
сю
сю
Важным этапом исследования потока частиц сыпучего материала является этап установления его структуры.
В общем случае структура потока частиц, рассматриваемого как временной ряд, может складываться из четырех составляющих: а) тренд, б) колебания относительно тренда с большей или меньшей регулярностью, в) циклические изменения, г) случайная компонента. В связи с этим поток частиц можно рассматривать как одну из таких составляющих или сумму нескольких из них. Большая часть традиционной теории временных рядов посвящена анализу рядов, основанному на их разложении на вышеперечисленные составляющие и дальнейшем отдельном изучении последних.
Если предварительный анализ опытных данных позволяет сделать вывод о наличии тренда, то для его математического описания удобно использовать модель, например, в виде полинома.
Циклические изменения рекомендуется описывать линейными комбинациями тригонометрических функций порядкового номера интервала между частицами, причем коэффициенты линейных комбинаций рассматриваются как параметры.
Для выявления случайности потока сыпучего материала рекомендуется использовать следующие критерии [2, 8].
Наиболее простым для применения является критерий, который состоит в подсчете экстремумов величин интервалов. Если поток частиц случаен, то распределение экстремумов быстро стремится при увеличении числа интервалов к нормальному.
Второй критерий случайности основан на оценке величины математического ожидания числа фаз между экстремумами.
Если в качестве альтернативы выступает наличие тренда, то характеристики критерия, основанного на экстремальных точках, оказываются довольно плохими, а в некоторых случаях этот критерий будет обладать сравнительно с другими критериями нулевой эффективностью. Если альтернативой является цикличность, то эффективность критерия лучше.
Следующий критерий состоит в подсчете числа положительных разностей первого порядка в последовательности 1е1, 1е2, ..., ¡еп, иначе, числа точек роста. Распределение числа точек роста случайного потока быстро сходится к нормальному.
Этот критерий является совершенно не эффективным, если альтернативой являются симметричные колебания величин интервалов потока. В основном он считается полезным при такой альтернативе, как тренд, особенно линейный тренд. В этом случае он эффективнее критерия по экстремальным точкам, но значительно хуже критериев, основанных на ранговых соотношениях.
Третий критерий обязывает сравнивать все пары, а не только соседние, как в предыдущем критерии. Для этого следует рассмотреть последовательность интервалов 1е1, 1е2, ..., 1еп, подсчитать число пар, для которых ¡еу > 1еI, у > г, и оценить его математическое ожидание.
Если альтернативой является линейный тренд, то можно использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Для случайных рядов его математическое ожидание равно нулю и дисперсия обратно пропорциональна числу интервалов.
В неслучайных потоках сыпучего материала должен существовать тот или иной тип зависимости между интервалами ¡ег и ¡е(г+к), к > 0. Одной из полезных характеристик такой зависимости является коэффициент корреляции Гк , который можно использовать в качестве критерия случайности потока. Для случайных потоков с точностью до выборочных ошибок все коэффициенты, кроме Го, равны нулю.
При наличии корреляционной связи между интервалами рекомендуются стационарные модели авторегрессии, скользящего среднего и смешанная модель авторегрессии-скользящего среднего [1 - 3, 8]:
¡ег = Ф11е(/-1) + ф2^(г - 2) + ... + Ф р1е(г - р) + аг, ¡ег = аг - 0гаг-1 - 02аг-2 - ... - 0цаг-ц,
¡ег = ф11е(г-1) + ... + фр1е(г-р) + аг - 01аг-1 - ... -0цаг-ц, где ¡ег, ¡е(г-1), ¡е(г-2), ..., ¡е(г-р) - центрированные относительно своего
математического ожидания величины интервалов между смежными частицами сыпучего материала; Ф1, Ф2, ф р - параметры модели авторегрессии; 01, 02, ..., 0ц - параметры модели скользящего среднего; р, ц -
целые, положительные, определяемые экспериментально, конечные величины; аг, аг-1, аг-2, ..., аг-ц - некоррелированные случайные величины с
нулевым средним и постоянной конечной дисперсией (белый шум).
Параметры моделей должны определяться в два этапа: получение начальных, приближенных оценок, затем эффективных, максимально точных. На первом этапе параметры модели авторегрессии рекомендуется находить из решения системы линейных уравнений Юла-Уокера, начальные оценки модели скользящего среднего следует находить итеративным способом с использованием предварительно найденных экспериментально величин коэффициентов корреляции. Для поиска эффективных оценок параметров необходимо графически исследовать условную или безусловную логарифмические функции правдоподобия - функции специального вида от параметров модели и дисперсии белого шума или применить способ их нелинейного оценивания.
Исследование элементарных потоков частиц компонентов сыпучего материала на основе этих моделей даёт возможность получить различные характеристики последовательности случайных величин интервалов между частицами: корреляционную функцию, спектр, характеристики белого шума и т.д. Использование в дополнение к этому для описания элементарных потоков частиц компонентов имитационного моделирования позволяет по-
25
лучить характеристики распределения числа v e (DLe) частиц сыпучих материалов в отрезках DLe элементарных потоков, в отрезках суперпозиций элементарных потоков и в потоке смеси [5].
Если последовательность интервалов le1, le2, ..., len (см. рисунок) состоит из независимых, имеющих один и тот же закон распределения F (le) величин интервалов, то характеристики распределения частиц компонента в отрезках DLe элементарного потока смеси могут быть получены при помощи аппарата теории рекуррентных потоков [7, 9 - 11]. В частности, случайное число частиц ve (DLe) в отрезке DLe элементарного потока в общем виде характеризуется распределением
П DLe
P{ve (DLe) = n} = V^ i [Fn-1 (x) - 2Fn(x) + Fn+1(x)] • dx,
Vmp о
где Fn-1, Fn, Fn+1 - (n -1), n, (n + 1)-кратные свертки закона распределения величины интервала между частицами F(le ).
В случае экспоненциального или нормального закона F (le ) можно получить простые выражения для характеристик распределения числа частиц сыпучего материала, как в отрезке элементарного потока компонента, так и в потоке компонента, и в потоке смеси: математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации. Дополнительно к этому для оценки распределения компонентов в пробах постоянного размера (ve - constant) рекомендуется использовать имитационное моделирование.
Если на этапе предварительных исследований получить эмпирические зависимости математического ожидания и дисперсии величины интервала между частицами в элементарных потоках от производительности дозирующего устройства и скорости транспортера, то могут быть получены вероятностные характеристики распределения количества и массы частиц компонентов в потоках с учётом режимов работы смесителя [8].
Список литературы
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 754 с.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Вып.1. М., Энергия. 1973. 440 с.
3. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. 536 с.
4. Васин В.М. Способ приготовления однородных смесей сыпучих материалов // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 3. С. 21 - 24.
5. Васин В.М. Основы теории потоков частиц сыпучих материалов в смесителях непрерывного действия // Автоматизация и современные технологии. 2007. № 9. С. 10 - 17.
6. Васин В.М. Способ и математическая модель смешивания сыпучих материалов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 389 - 399.
7. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.
8. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. 736 с.
9. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. 312 с.
10. Кокс Д.Р., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. 191 с.
11. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1967. 300 с.
Васин Вячеслав Михайлович, канд. техн. наук, доцент, vasin.211019487@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ANALYSIS OF STREAMS OF LOOSE MATERIALS IN MIXERS OF CONTINUOUS ACTIONS AND THEIR MA THEMA TICAL MODELS
V.M. Vasin
An analysis of streams of particles of the components is proposed, which consists in checking the stationarity of a stream, determining its structure and choosing an adequate model.
Key words: bulk materials, continuous mixing, mathematical models of particle
flows.
Vasin Vjatheslav Mihailovich, candidate of technical sciences, docent, va-sin.21101948@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.922; 621.921.34
НОНМИКСИНГ
А. В. Евсеев
Представлен новый подход к анализу теории и оборудования приготовления смесей сыпучих и увлажненных материалов.
Ключевые слова: сыпучий материал, смесь, смеситель, смесительное оборудование, качество смесей.
На основе анализа и обобщения материалов по теории и практике производства смесей сыпучих и увлажненных материалов автор предлагает новый теоретический и практический подход к решению проблем в данной отрасли. Предлагается по-другому взглянуть на проблематику в этой сфере, соединив воедино, в целый технологический процесс, всю цепочку
27
