Алгоритм оптимизации на основе аппроксимаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИЙ

© Т.Л. Дмитриева1, Ле Чан Минь Дат2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрена постановка задачи оптимизации конструкций на основе методов нелинейного математического программирования. Отмечено, что при оптимизации пластинчатых конструкций требуются существенные вычислительные затраты при решении задачи конечно-элементного анализа. Предложен подход, где целевая и ограничительные функции строятся на основе аппроксимаций, а поиск оптимальных решений осуществляется для приближенной задачи. Рассмотрен пример оптимального проектирования пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния. Ил. 10. Табл. 2. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: аппроксимации; расчетная схема сооружения; оптимальное проектирование конструкций; анализ чувствительности; нелинейное математическое программирование; плоское напряженное состояние.

OPTIMIZATION ALGORITHM BASED ON APPROXIMATION T. L. Dmitrieva, Le Tran Minh Dat

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The paper treats the problem setting of structural optimization based on the methods of nonlinear mathematical programming. It is noted that when optimizing plated structures the solution requires significant computational costs in solving the problem of the finite element analysis. The authors propose an approach where the target and restricting functions are based on approximations, and the search for optimal solutions is implemented for the approximating problem. An example of optimal designing of the plate in the state of plane stress is considered. 10 figures. 2 tables. 7 sources.

Key words: approximations; structure calculation scheme; optimal designing of structures; sensitivity analysis; nonlinear mathematical programming; state of plane stress.

Постановка задачи оптимизации. Приведем общую постановку задачи оптимального проектирования конструкций при статических воздействиях в форме задачи нелинейного математического программирования (НМП): найти

min f (x, P(x)), xeE" (1)

при ограничениях

gj(x, P(x))< 0, j = 1,2,.,m; (2)

xL < x < xU, i = 1,2,..., n. (3)

В качестве минимизируемой (целевой) функции f(x) используется объем конструкций. {X} - вектор варьируемых параметров. Параметрические ограничения {X^}, {XU} учитываются отдельно. Варьируются параметры поперечных сечений элементов, а также координаты узлов расчетной схемы. Возможны непрерывные, а также дискретные их изменения. Здесь функции ограничений связаны с варьируемыми параметрами через параметры состояния, которые являются функциями перемещений, внутренних силовых факторов, напряжений, частот собственных колебаний

{P(x)} = р (ё, M, Q, N, а, с), (4)

которые определяются решением уравнения состояния системы в линейной постановке:

[K {}={F} (5)

В случае оптимизации конструкций ограниченной размерности (например, стержневые системы) задача (1)-

1Дмитриева Татьяна Львовна, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, кандидат технических наук, тел.: (3952) 405144, 89149136725, e-mail: [email protected]

Dmitrieva Tatyana, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, Candidate of technical

sciences, tel.: (3952) 405144, 89149136725, e-mail: [email protected]

2Ле Чан Минь Дат, студент, тел.: 89246324136, e-mail: [email protected]

Le Tran Minh Dat, Student, tel.: 89246324136 , e-mail: [email protected]

(3) может быть решена в прямой постановке, где каждое обращение к функции ограничений предполагает решение задачи (5). Однако в задачах оптимизации пластинчатых систем размерность задачи конечно-элементного анализа существенно возрастает и наиболее эффективным становится алгоритм оптимизации на основе аппроксимаций. Такой подход предполагает формирование приближенной задачи посредством построения аппроксимаций ограничительных функций либо параметров состояния, входящих в эти функции. Укрупненный алгоритм решения такой задачи, где показана взаимосвязь основных блоков, приведён на рис. 1.

Построение приближенной задачи

Анализ чувствительности

Решение стандартной задача НМП

Решение задачи статического анализа

Рис. 1. Алгоритм оптимизации на основе аппроксимаций

Линеаризация параметров состояния может быть выполнена путем разложения их в ряд Тейлора в окрестности точки х:

P (x) = Pk (x*)+|frÍ {x-4

V J x = x*

(б)

Аппроксимации первого порядка дают хорошую сходимость к оптимуму в случае, если варьируются жест-костные характеристики сечений. Если же варьируется геометрия конструкции, оптимизационная задача становится существенно нелинейной. Тогда возникает необходимость в построении аппроксимации второго порядка:

Pk (x) = Pt (x-Üfl {x - x-}+ i {x - x*} Ш-1 {x - x*}

l J x=x* l J x= x*

(7)

Коэффициенты аппроксимации вычисляются на основе методов анализа чувствительности, которые достаточно полно разработаны для задач статики [1, 4, 5, 7].

Пример оптимизации консольной пластины. В сопроводительной документации к ANSYS Mechanical приведены верификационные тесты, где решены задачи оптимизации конструкций. Приведём сравнительный анализ решения этих задач в программе ANSYS Mechanical и в программном комплексе РОСК [2]. Задача на условный экстремум сводится к задаче безусловной минимизации при помощи модифицированных функций Лагран-жа, для решения которой представлен широкий набор методов безусловной минимизации [3].

Оптимизация формы консоли (VM 155. Shape Optimization of a Cantilever Beam). Исследование задачи приведено в [б] .

Постановка задачи. Дана консоль переменной толщины (рис. 2,а), на свободном конце нагруженная изгибающим моментом M. Требуется подобрать значения толщин в сечениях 1-4 из условия минимума объема балки. Приняты ограничения на максимальные напряжения (omax < 30000 psi) и на максимальное перемещение (Amax < 0,5 in). Толщина консоли в месте приложения нагрузки фиксирована (i5=0,3 inj. Шаг сечений a=L/4. Физические

характеристики: модуль упругости E = 10 psi; коэффициент Пуассона и = 0,3. Варьировались значения полутолщин Xj в узловых сечениях i =1, ..., 4 (рис. 2,6).

а) У

М=450 in-lb

I

б)

сечение 5

ЙИИИ

/ a=2,5in

t5=0,3 in

/

V г'

V-

Рис. 2. Оптимизируемая консольная пластина

В ПК ANSYS конструкция рассчитывалась как пластина, работающая в условиях плоского напряженного состояния. Конечно-элементная схема моделировалась плоскими четырехузловыми элементами (PLANE 42). В ПК РОСК задача решалась в нескольких вариантах.

Вариант 1. Расчетная схема принята в виде стержня переменного сечения. Так как размеры сечения на порядок меньше длины консоли, то решение, полученное при этом, в дальнейшем рассматривается как точное. Параметры сечений варьировались на интервале: 0,15 in < X < 0,5 in. Начальный проект содержал следующие параметры (in):

X°1= 0,4; X°2= 0,3; X°3= 0,2; X°4= 0,18. Целевая функция представляла объем балки (f ° = 4,775 in3 ):

f (x) = 2,5 • {X, +1 + 2 -X X, ). (8)

i=2

Значение перемещения Д5 вычислялось при помощи интеграла Мора:

M у i M(x) -l2

A< =

5 E X J (2t(x), )3

где /. = (i-l)-a, /5 = L, X5 = t5, M(x) = 10 - x,

t(x). = X - X,i X,+1 • (x -1), i = 1,..., 4. a

В силу того что нижний предел для всех Xj принят 0,15 in, ограничение на напряжение omax < 30000 psi выполняется автоматически, поэтому к расчёту принято только ограничение на перемещение:

g(x) = -^ _i < о. (9)

v ' 0,5

Приведем результаты решения задачи оптимизации:

Оптимальные значения полутолщин в узловых сечениях (in)

Xi X2 X3 X4 {¡/2

0,21763 0,2019 0,18495 0,15 0,15

Оптимальный результат был получен за 9 итераций. На первых 6-ти итерациях решение задачи на безусловный экстремум было выполнено методом деформируемого многогранника, на последних 3-х - методом Ньютона (рис. 3, 4).

5,0 4,5 4,0 3,5 3,0

а)

0,7 0,2 -0,3 -0,8

6

7

0123456789 5

а б

Рис. 3. Изменения целевой функции (П3): а) на итерациях 1-9; б) на итерациях 5-9

8

2 4 5 6 7 8 9

б)

-0,001

-0,002

5 8 9

Рис. 4. Изменения функции ограничений: а - на итерациях 1-9; б - на итерациях 5-9

Невязка в ограничениях на 9-й итерации составила д9 =7,344 10-7 . Значение перемещения узла 5 при этом было равно Д5= 0,50000037 ¡п. Из графиков (рис.3,4) видно, что значения целевой и ограничительных функций близки к оптимальным уже на 3-й итерации поискового алгоритма.

Для оценки точности задачи анализа был выполнен расчёт пластины со значениями Х1 =0,15 ¡п. Максимальное перемещение в этом случае для стержневой расчётной схемы равно 1 ¡п. В табл. 1 приведены значения Дта>< на различных треугольных КЭ сетках.

_Таблица 1

9

Шаг сетки Дтах, ¡п

1. 2х128 0, 825702

2. 2х192 0,856895

3. 3х320 0,976125

4. 6х320 0,993128

Вариант 2. Расчетная схема принята в виде консольной пластины ломаного очертания, работающей в условиях плоского напряженного состояния. К расчёту взята верхняя часть пластины (рис. 5). В качестве нагрузки принята сосредоточенная сила Р= М/15 = 450/0,3 = 1500 1Ь. Для обеспечения кососимметрии в перемещениях справа введена дополнительная горизонтальная связь. Варьировались значения полутолщин, как и в варианте 1 (X,, ¡ =1, ..., 4), на том же интервале изменения. Целевая и ограничительные функции представлены выражениями (8), (9). Перемещение йтах определялось решением задачи КЭ анализа в перемещениях.

Рис. 5. Схема пластины (верхняя часть) с граничными условиями

При решении задачи оптимизации в этом варианте была принята расчётная схема с КЭ сеткой 2 х192, где ошибка в решении задачи анализа составила 14%. Принят начальный проект пластины постоянной толщины (Х°,=0,15 т). Результаты решения были следующие.

Оптимальные значения полутолщин в узловых сечениях (т) X! X2 Xз X4 15/2

0,20091 0,186336 0,16082 0,150002 0,15

3,37 3,36 3,35

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2

3,4

3,2

3,0

4 5 6 7 0 1 2 3

Рис. 6. Изменения целевой функции на итерациях (\п3)

0,03

01 2 4 5 6 7

0,02 0,01 0,00 -0,01 -0,02

2 5 5 7

Рис. 7. Изменения функции ограничений на итерациях

Изменения целевой и ограничительной функций на итерациях для варианта 2 показаны на рис.6 и 7. Погрешность в объёме пластины составила 6,5 %. На рис. 8. дано очертание пластины для вариантов 1 и 2. Заниженное значение толщин связано с погрешностью в КЭ расчете пластины.

0,15 -0,05 -0,25

Вариант 1 Вариант 2

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

Рис. 8. Оптимальное очертание пластины

Вариант 3. Для того чтобы исключить погрешности в решении задачи анализа была принята следующая постановка задачи. При оптимальных значениях переменных X (вариант 1) был выполнен КЭ расчет пластины с треугольной сеткой 2*128. Полученное при этом перемещение Дтах=0,376 ¡п принято как возможно допустимое.

Задача решалась с 2-х начальных проектов:

А) Х° (0,15 ¡п); Б) X0(0,4; 0,3; 0,2; 0,18 ¡п).

В такой постановке значения оптимальных параметров, а также целевой функции до 2-го знака совпали с вариантом 1.

Изменения целевой и ограничительной функций на итерациях для варианта 3 показаны на рис.9. В вариантах 2 и 3 задача безусловной минимизации была решена методом деформируемого многогранника.

Использование густой КЭ сетки в вариантах 2 и 3 привело к достаточно громоздким вычислениям в задаче КЭ анализа, решение которой занимало основное время счета. С этой точки зрения существенным показателем эффективности алгоритма явилось число обращений к функции ограничений, вычисление которой включает КЭ расчет. В данных вариантах число таких обращений составляло от 320 до 425. Существенного сокращения объема, а следовательно, и времени вычислений при решении подобных задач можно добиться, если ослабить требование к точности в невязках ограничений, например, до 1%. Тогда оптимальное решение будет получено уже на 2-3 итерации.

Оптимальные значения полутолщин в узловых сечениях (¡п) Х1 Х2 Х3 Х4 f5/2

А) 0,21909 0,20448 0,18168 0,15 0,15

Б) 0,21894 0,20431 0,18165 0,15 0,15

1,0

0,6 0,2 -0,2 -0,6

\

\

/

/

> г 7 3 } 4 1 5 >

0,02 0,01 0,00 -0,01

3 4 г 5 с ^ > 7

А) Б)

9Ы

д(х)

А) -

Б)---

Рис. 9. Изменения функции цели и ограничений на итерациях

Вариант 4. Для сокращения вычислений, связанных с решением задачи КЭ анализа, был выполнен вариант, где на внешних итерациях в окрестности текущей точки {X} строились линейные аппроксимации функции ограничений:

g

гМ=

g(x)

{х - X *}+ g ( X *).

д x | *

■> х=х

Построение приближенной задачи на каждой итерации требовало пд обращений к прямому вычислению ограничений, где пд=2пх+1. Таким образом, общее число решений задачи анализа было сокращено.

На внутренних итерациях алгоритма решалась задача условной минимизации, с использованием линеаризованной функции gapr(x). Для ее решения применялась следующая схема: поиск прямых переменных х выполнялся методом деформируемого многогранника, а двойственные переменные вычислялись максимизацией модифицированной функции Лагранжа функции Ри [3]. Как уже отмечалось, такой подход не требовал точности в решении задачи поиска безусловного минимума, поэтому предельное число внутренних итераций было ограничено до 5-ти.

Исходные данные взяты по варианту 3 (А): [Дтах]=0,3764 ¡п, х0 =0,15 ¡п. Приведем результаты решения задачи:

Оптимальные значения полутолщин (¡п)

Х1

0,22698

х2 0,21393

х3

0,16906

Х4

0,15017

У2 0,15

4,0

3,5

3,0

НЮ

Рис. 10. Изменение целевой функции на итерациях (вариант 4)

г

Изменение целевой функции на итерациях для варианта 4 показано на рис.10.0птимальное решение было получено на 8-й итерации внешнего уровня аппроксимаций. Общее число прямых вычислений функции ограничений сократилось до 73 (8 итераций, на каждой из которых пд=9, плюс 1 вычисление в полученном оптимальном решении). Невязка в ограничении для оптимального проекта составила д=0,00316, при заданной погрешности 10-2.

Приведем сопоставление результатов расчета в табл.2.

Таблица 2

Сопоставление результатов расчёта __

Объем in3 е, % Max перемещение in е, % Число итераций

Источник 3,600 0,500

ANSYS (Метод аппроксимации подзадачи) 3,616 0,434 0,499 0,156 12

ANSYS (метод первого порядка) 3 ,609 0,261 0,501 0,131 17

РОСК в. 1 3,60332 0,092 0,50000037 7,3-10"5 9

в. 2 3,36306 6,581 0,4995495 0,0901 7

в. 3 (Б) 3,60218 0,0798 0,37662 при [0,3764] 0,053 6

в. 4 3,60826 0,229 0,3776 при [0,3764] 0,316 8

Заключение. Пример оптимизации консоли продемонстрировал, что использование аппроксимации функции ограничений приводит к существенному сокращению объема вычислений, так как обращение к задаче конечно -элементного анализа в этом случае на порядок меньше. При решении задачи на условный экстремум были использованы методы модифицированных функций Лагранжа, которые продемонстрировали свою эффективность. Отмечено, что наибольшую устойчивость при решении задач в подобной постановке имеют прямые методы безусловной минимизации (метод деформируемого многогранника).

Библиографический список

1. Адельман Г.М., Хафтка Р.Т. Анализ чувствительности при расчете дискретных моделей конструкций // Аэрокосмическая техника. 1986. № 12. С. 77-90.

2. Дмитриева Т.Л. Программный комплекс расчета и оптимизации строительных конструкций «РОСК» // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2011. №1 (1). С. 31-38.

3. Дмитриева Т.Л. Алгоритм решения условно-экстремальных задач, использующий методы модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2010. № 3 (27). С. 113-120.

4. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. 428 с.

5. Choi J.H. Shape design sensitivity analysis and optimization of general plane arch structures. Finite Elements in Analysis and Design, 2002, v. 39, №2. P. 119-136.

6. Prasad B., Haftka R. T. Optimal Structural Design with Plate Finite Elements // Journal of the Structural Division, 1979, v. 105, № 11. P. 2367-2382.

7. Schmit L.A. Chang K.J. Optimal Design Sensitivity Based от Approximation Concepts and Dual Methods // IJNME, 1984, v. 20. P. 39-75.

УДК 332.834.3/6

ИННОВАЦИОННЫЙ ПУТЬ ЖИЛИЩНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

© Р.Ю. Лузгин1, В.С. Степанова2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Статья посвящена решению развития жилищного строительства на основе квартальной застройки жилых домов из быстровозводимых зданий в легких металлоконструкциях. Рассмотрены основные существующие технологии малоэтажного домостроения. По мнению авторов, подход, основанный на данном решении, приведет к сокращению продолжительности и снижению себестоимости строительства жилых домов. Сформулированы основные

1Лузгин Роман Юрьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры строительного производства, тел.: 89021711250, email: [email protected]

Luzgin Roman, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Building Production, tel.: 89021711250, email: [email protected]

2Степанова Виктория Сергеевна, старший преподаватель кафедры строительного производства, тел.: 89086624064, e-mail: [email protected]

Stepanova Victoria, Senior Lecturer of the Department of Building Production, tel.: 89086624064, e-mail: [email protected]