CC BY
4АЛГОРИТМИ ЁФТАНИ СО^АИ ЦИМАТ^ОИ ФУНКСИЯ ДАР ^АЛЛИ МАСЪАЛА^ОИ МАТЕМАТИКИ
Мах,камов М., Цабаров М.М., Норов P.C.
Донишгоуи давлати омузгории Тоцикистон ба номи С. Айни
S (t ) Si"
у
t1 t2
t3 t4 t5
x
Масъалаи омузиши тарзхои ёфтани сохаи киматхои Функсия яке аз мавзуъхои мухим ба хисоб меравад. Аммо ба ин нигох накарда, дар солхои охир ин мавзуъ аз мадди назари омузгорон ва мyаллифони китобхои дарсивy дастурхои методй дур афтода, кариб фаромуш шyдааст. Натичаи чунин муносибат ба он оварда расонидааст, ки дар китобхои дарсие, ки айни замон таълими математика дар мактабхои тахсилоти умумй аз руи онхо ба рох монда шудааст, факат бо додани таърифи сохаи киматхои функсия махдуд шудааст. Дар китобхои дарсии алгебра ва функсияхои элементарй, алгебра ва ибтидои анализи солхои 70-уми асри гузашта ин мавзуъ хеле мушаххас нишон дода шуда, масъалахои бисёр оварда шудааст. Дар китобхои дарсии солхои минбаъда бошад, оид ба ин мавзуъ масъалахо кариб, ки дида
намешаванд.
Дар китобхои дарсии алгебра ва функсияхои элементарй ва алгебраи нашри солхои 1985, 1988 ва 1990 ин мавзуъ аз чихати назариявй шарх дода шуда, масъалахо барои корхои мустакилона пешниход карда шудаанд, аммо усулхои ёфтани он умуман нишон дода нашудааст. Аз ин лихоз хангоми омузиши функсияхои элементарй ва хосиятхои онхо дар курси алгебраи мактабй омузгорон ба ин мавзуъ ба таври бояду шояд ахамият намедиханд. Дар маводи аттестатсияи хатми мактабхои тахсилоти миёнаи умумй, ки онро харсол Маркази таълимию методии назди Вазорати маориф ва илми Чумхурии Точикистон аз чоп мебарорад, масъалахо оид ба ёфтани сохаи киматхои функсия чой дода шудаанд. Аз хамин сабаб мо дар назди худ вазифа гузоштаем, ки дар ин макола ба омузгорону хонандагони мактабхои миёна ва дигар шавкмандон якчанд мисолу масъалахоро оид ба ин мавзуъ пешниход намуда, тарзхои халли онхоро нишон дихем. Барои ин пеш аз хама баъзе мафхумхои асосиро номбар мекунем. Мувофики таърифи функсия, бояд шарти ягонагии зерин ичро гардад: ба хар як элементи x e D(у) бояд, ки элементи ягона аз у e Е(у) мувофик гузошта шавад. Барои чй ин гуна талабот гузошта мешавад? Инро бо мисоли одй - графики рох аз хона то мактаб шарх медихем.
Дар тири абсисса вакт t, дар тири ордината-масофа S (t ) нишон дода шудааст. Графики рохро аз хона то мактаб (0; t2 ), вакти дар мактаб будан (t2 ; t3 ) ва вакти бозгашт ба хона (t3 ; t4 ) -ро тасвир менамоем. Дар хар як лахзаи вакт хонанда аз хона дар масофаи муайяни S чойгир аст (дар лахзаи додашудаи вакт аз хона дар масофахои 2 км ё 4 км вокеъ будан гайриимкон аст). Аммо дар лахзаи вактхои tx ва t4 аз хона дар масофаи S вокеъ буд.
Х у л о с а : ба хар як кимати аргумент якто кимати функсия ва ба хар як кимати функсия акаллан якто кимати аргумент мувофик меояд.
Масъалаи 1. Сохаи киматхои функсияи у = ax + b -ро меёбем.
Х,ал. Чуноне ки маълум аст, функсияи хаттии у = ax + b, ки дар ин чо a ^ 0 аст, киматхои хакикии дилхохро кабул карда метавонад. Бинобар ин сохаи тагирёбии ин функсия мачмуи хамаи ададхои хакикй мебошад. Ч,авоб: E(x). у e (— œ; + œ).
Масъалаи 2. Сохаи киматхои функсияи у = x2 — 4x + 7 -ро меёбем.
^ал. Сеаъзогии квадратии x2 — 4x + 7 -ро табдил дода, аз он квадрати пурра чудо
мекунем:
у = x2 - 4x + 7 = x2 - 2 • 2x + 22 + З = (x - 2)2 + З
маълyм аст, ки ифодаи (x - 2)2 хамаи киматхои Fайриманфиро кабул мекунад. Бинобар ин сохаи таFЙирёбии Функсияи мазкyр мачмуи хамаи ададхои аз 3 калон ё ба 3 баробар мебошад. Ин сохаро бо ёрии нобаробарии у > З пешниход намyдан мумкин аст. Ч,авоб: E(x) : у е[З; + œ).
Масъалаи 3. Сохаи киматхои Функсияи у = x2 +-J- x2 + 7 -ро меёбем.
Х,ал. Азбаски сохаи муайянии функсия d(^ ) = О аст, он гох E(у ) = 7 мешавад. Ч,авоб: 7.
Дар якчанд холатхо истифодабарии методи баходихй баъди содакунии формулаи функсияи додашуда мумкин асту халос. Агар функсия ду ё зиёда чамъшавандаи аз таЙFирёбандаи х вобастаро дар бар гирад, онгох методи баходихиро на хама вакт истифода бурдан мумкин аст. Х,арчанд теорема дар бораи сохти нобаробарй дуруст аст, вале на хама вакт ба саволи кимати хурдтарин ва калонтарини функсия чавоб мегардонад. Худуди кимати функсияи ёфташуда бо ёрии теоремаи додашуда, васеъшавии додашударо мумкин аст рад кунад.
Сохаи киматхои функсияи E(у) сохаи хамон киматхои ададии m мебошад, ки барояш акалан якто x e D(у) мавчуд аст, ки у^) = m мешавад. Бо ибораи дигар E(^) аз хамон киматхои m иборат аст, ки барояш муодилаи у^) = m дорои акалан як реша мешавад. Дар якчанд холат муодилаи у(x) = m -ро хамчун муодилаи аз параметр вобаста тадкикот бурдан мумкин аст, ки ба саволи охирон ба хдмон E(v )-и додашуда чавоб мегардонад.
Диккатро ба он равона менамоем, ки ба содакунии муодилаи у = f (x) машк намуда, ба гузаштани баробаркувагии он махсусан ахамият медихем.
x2 - Зx +1
Масъалаи 4. Сохаи киматхои функсияи у =--—^--ро меёбем.
Х,ал. D(у) = R. Баробарии додашударо хамчун муодилаи аз x вобастаи бо параметри у дида мебароем. Он гох масъалаи матлуб ба ёфтани кимати у оварда мерасонад, ки он дар ин
маврид дорои хал мебошад. Азбаски x2 +1 Ф 0 аст, он гох муодилаи додашударо ба махрачи умумй оварда, онро ба муодилаи баробаркувваи зерин табдил медихем:
уx2 + у = x2 - Зx +1 ; уx2 - x2 + Зx + у -1 = 0 ё ки (у - l)x2 + Зx + (у -1) = 0 . (1)
1) Агар у = 1 бошад, онгох муодиоаи хатти Зx = 0 дорои халли x = 0 мешавад.
2) Агар у Ф1 бошад, он гох муодилаи (1) хамон вакт дорои хал мешавад, ки агар дискриминанти он D = 9 - 4(у -1)2 аз нол хурд набошад. Яъне,
Í9 - 4(у -1)2 > О,
[у ф1;
(у -1)2 * 4,
у Ф1;
З
у -1 ^, ••
у 1 2 ё ки i
ЗЗ
у -1 ^,
2 2 мешавад.
у Ф 1
[у Ф 1
Пас, у e[-0,5; l)^(l;0,5]-ро доро мегардад.
Натичаи хосилшударо муттахид намуда, сохаи киматхои функсияро меёбем: [- 0,5; 2,5].
^авоб: [- 0,5; 2,5].
Агар функсия фарки ду функсияхои афзуншаванда ё камшавандаро ташкил диханд, он гох оиди характери ивазшавии он чизе гуфтан мумкин нест. Вале кушиш кардан мумкин аст, ки аз функсияи додашуда формуларо тартиб дихем. Дар як вакт зарбкунй ва таксимкуниро дар ифода истифода бурда, дар натича функсияи афзуншаванда ё камшавандаро хосил намудан мумкин аст.
Масъалаи 5. Сохаи киматхои функсияи у = Vx + 2 - -Jx -ро меёбем.
Х,ал. С^Р: ix + 2 > 0 ix > -2, ё ин ки x > 0 мешавад. Пас, D^ ) = [0; + œ) мешавад.
[x > 0; [x > 0
Ифодаи додашyдаро табдил медихем: I /— -Jx + 2 — 4x
y = V x + 2 —V x =---=
_ (л/ x + 2 — Vx x + 2 + Vx )_ x + 2 — x __2_.
Vx + 2 + Vx Vx + 2 + Vx Vx + 2 + Vx
2
Дамин тарик, y = ,--т= шyда, сохаи киматхои раво тагйир намеёбад. Яъне,
Vx + 2 + V x
D(y) = [О; + œ) мешавад.
Махрачи аз касри додашyда t(x) = л/x + 2 + Vx Функсияи бефосила ва афзyншаванда
хамчун суммаи ду функсияи афзуншаванда буда, он танхо киматхои мусбатро кабул
2
менамояд. Пас, функсияи y = , --¡= бефосила буда, камшаванда ва мусбат мебошад ва
Vx + 2 + V x
ба кимати калонтарини худ хамон вакт ноил мегардад, ки t(x) ба кимати хурдтарини худ доро бошад. ^имати хурдтарини x аз сохаи муайянии функсия ба нол баробар мешавад.
Х,амин тавр, кимати калонтарини функсия ба у(О) = , --¡= = = y¡2 баробар
л/О + 2 WО V2
мешавад.
Инак, функсияи y(x) танх,о кимати мусбатро хангоми y < 42 будан, кабул карда метавонад, яъне, E(y) = (О; 42J. Ч,авоб: (О; 42J
Масъалаи 6. Сохаи киматхои функсияи y = 2x + б -ро меёбем:
Х,ал. Барои ёфтани сохаи киматхои функсия, ифодаи додашударо ин тавр табдил медихем:
2x = У — S ; log 2 2x = log 2(y — S) ; x = log2(y — S).
Аз ин чо, y — S > О ё ки y > S мешавад. Ч,авоб: E(x): y e (S; +œ).
Масъалаи 7. Сохаи киматхои функсияи y = x2 + 8 -ро меёбем.
Х,ал. Азбаски ифодаи y = x2 + 8 (1) барои хамаи киматхои x маъно дорад, бинобар он x e R мешавад. Азбаски x2 + 8 > 8 аст, бинобар он y e [8; + œ) мебошад.
Ё ки ифодаи (1)-ро ба намуди x2 = y — 8 ё ин ки x = ±4y — 8 оварда, сохаи киматхои функсияро муайян мекунем: Яъне, y — 8 > О ё ин ки y > 8 мешавад.
Пас, сохаи киматхои функсияи додашуда y e [8; +œ) мешавад. Ч,авоб: E(y)e [8; +œ). Масъалаи 8. Сохаи киматхои функсияи y = 32x 4x+S -ро меёбем.
Х,ал. Бигузор t (x ) = 2x2 — 4 x + S функсияи квадратй бошад, он гох y = 3t функсияи
b — 4 4
афзоянда мебошад, пас y > О аст. Аз ин чо xn =--=--= — = 1, яъне
2a 2•2 4
t(l) = 2 • l2 — 4 • 1 + S = 3 мешавад.
Бо дарназардошти сохаи муайянии функсияи нишондихандагй тагйирёбандаи t ин тавр иваз мешавад:
[3 < t < +œ, œ < t < +œ.
Пас, 3 < t <+œ шуда, 27 < 32x2 4x+S <+œ мешавад. ^авоб: E(y) = [27; +œ).
4x2 —8x+3
Масъалаи 9. Сохаи киматхои функсияи y = I — I -ро меёбем.
Х,ал. Бигузор г(х) = 4х2 - 8х + 3 -ро функсияи квадрати бошад, он гох у = ^ 1 | функсияи
Ь — 8 8
камшаванда аст, у > 0, х„ =--=--= — = 1, яъне, г(1) = 4 -I2 — 8 • 1 + 3 = — 1 мебошад.
0 2а 2•4 8
Бо дарназардошти сохаи муайянии функсияи нишондихандагИ барои тагйирёбандаи t хосил мекунем:
Г— 1 < г < +да, [— да < г < +да.
Пас, — 1 < г <+да мешавад. Х,ангоми кимати минималии г = — 1 будан, функсия кимати
максималии
Г IV1 1 ^1^4х2 —8х+3
у(— 1)= —I =(9—1)* = 9 -ро кабул мекунад. Пас, 0 <1 — I < 9 мешавад.
V9; 4 7 11 " " ' <19,
Чавоб: Е(у) = (0; 9].
Масъалаи 10. Сохаи киматхои функсияи у = (12 — 4х — х2) -ро меёбем.
4
Х,ал. Бигузор /(х) = 12 — 4х — х2 функсияи квадратИ бошад, он гох у = 1о^ г функсияи
4
камшаванда мебошад. Яъне, х„ = —— =--4 = —2, г (— 2) = 12 — 4 • (— 2) — (— 2)2 = 16 мешавад.
2а — 2
Бо дарназардошти сохаи муайянии функсияи логарифмИ барои тагйирёбандаи г хосил мекунем.
Г— да < х < 16,
[г > 0.
Аз ин чо 0 < г < 16 мешавад.
Дар кимати максималии г = 16 кимати функсияи у = 1о^ 16 = —2 -минималИ аст. Пас
4
— 2 < 1о^16 <+да мебошад. Аз ин чо — 2 < 1о§ х (12 — 4х — х2)<+да , яъне Е(у) = [— 2; + да)
4 4
мешавад.
Ч,авоб: Е(у)=[— 2; +да).
Масъалаи 11. Сохаи киматхои функсияи у = 1о§ 0 г-300-^л -ро хисоб кунед.
, 1 +(100 — х )
Х,ал. Сохаи муайянии функсияи додашуда мачмуи хамаи ададхои хакикии Б(у) = Я мебошад.
Бигузор у = 1о§01-т*-^л бошад. Функсияи у = к®01 г бефосила ва камшаванда
, 1 +(100 — х ) ,
мебошад. Ба сохаи киматхои функсияи г (х) бахо медихем. Зохиран (100 + х2 )> 2 бошад, он
гох 1 + % (100 + х2) > 3 мешавад. Азбаски хар ду тарафи нобаробари мусбат мебошад, онгох
-7* 1-^ <1 мешавад. Х,ар ду тарафи нобаробариро ба адади мусбати 300 зарб зада
1 +(100 — х ) 3
хосил мекунем: -—^ ^^^-< 100 . Мувофики хосияти бефосилагии камшавии функсияи
1 300 . , , 300 . 0
1ое п,-г-^ > 1ой п 1100 аст, он гох 1оа п,-т-> —2 мешавад.
50,11 + % (100 — х2) 5ол 5011 + % (100 — х2)
Инак Е(у) = [— 2; + да) будааст. Ч,авоб: Е(у) = [— 2; + да).
Масъалаи 12. Сохаи киматхои функсияи у = |1о§ 3 (2х2 — 8х +11) -ро меёбем.
Хал. Бигузор p(x) = 2x2 - Sx +11 функсияи квадратй бошад. Аз тарафи рости функсияи p(x ) квадрати пурра чудо мекунем:
p(x) = 2x2 - Sx +11 = 2(x2 - 4x)+11 = 2(x2 - 2 • 2x + 22 - 22)+11 =
= 2(x - 2)2 - 2 • 22 +11 = 2(x - 2)2 + З .
Яъне, p(x)= 2(x - 2)2 + З шуда, у = |log3 p, у > 0 мебошад.
Бо дарназардошти сохаи муайянии функсияи логорифмй барои таFЙирёбандаи p хосил мекунем:
Jз < у < p,
|p> 0.
Аз ин чо p> З мешавад. Хангоми кимати минималии p = З кимати функсия у(З) = log з З = 1 - минималй мебошад.
Азбаски хангоми p > 1 будан, функсияи у = |log3 p ба таври монотонй меафзояд, бинобар он 1 < |log3 p <+œ ё 1 < |log3 (zx2 - Sx + 1l)<+œ мебошад. Ч,авоб: E(у) = [1; + œ).
Масъалаи 13. Сохаи киматхои функсияи у = 7 + ^^ x -ро меёбем.
1ООО
Хал. Сохаи муайянии функсияи додашуда D^) = (— œ; + œ) мебошад.
Хосиятхои бефосилагй ва махдудияти функсияи у = cos x ва хосияти нобаробарихои ададиро истифода бурда, хосил мекунем:
-1 < cos x < 1 ; - 9 < 9 cos x < 9 ; - 9 + 7 < 7 + 9cos x < 7 + 9 ;
- 2 < 7+9cos x < I6 ; 1ООО < I+lrx < —ООО ; - 0,002 < Zjl0Msx <0,016
Аз ин чо сохаи киматхои функсия E^)= [— 0,002; 0,01б] мешавад.
Ч,авоб: E(у) = [- 0,002; 0,01б].
Мисоли 14. Сохаи киматхои функсияи у = sin x — cos x -ро меёбем.
Дар ибтидо функсияи намуди у = a sin x + b cos x -ро (ки дар ин чо a Ф 0, b Ф 0 аст), бо методи дохил намудани кунчи ёрирасон онро ба шакли зерин табдил медихем:
a sin x + b cos x = ^Ja2 + b2
( A >
ab , • sin x + ■ • cos x
4 a2 + b2 4 a2 + b2
Акнун чунин таFЙирёбандахои навро дохил мекунем:
ab i , =sin p ; i . =cos p
4 a2 + b2 4 a2 + b2
Пас, =4a2 + b2 (sin x • sin x + cos x • cos x) = 4a2 + b2 • cos(x - p) мешавад.
Акнун сохаи киматхои функсияи додашударо бо татбики формулаи хосилшуда меёбем.
Хал. Сохаи муайянии функсияи додашуда D^x)) = R аст. Истифодаи методи баходихй барои ин функсия, ки дар чунин намуд дода шудааст, мумкин нест. Бинобар ин ифодаи sin x - cos x -ро бо ёрии методи дохилкунии кунчи ёрирасон ба намуди хосили зарб табдил медихем:
sin x - cos x = V2 • sin x--^ • cos x1 = л( sin • sin x - cos ^ • cos x
Vv2 42 ) V 4 4
= -V2 cos cos x - sin sin x I = ^V2cosf x + ^
Инак, y = — V2cos(íx + —J мешавад. Азбаски сохаи тагйирёбии функсияи y = — cos^x + — ба нобаробарии — 1 < cosí x + — I< 1 баробаркувва аст, бинобар ин хар ду тарафи ин
нобаробариро ба 42 зарб карда, пайдо мекунем:
—42 < 42 cosí x+— \ <42.
Дамин тарик, сохаи тагйирёбии функсияи додашудаи E (x ) : y e —42 < x <42 мешавад. Ч,авоб: E(y(x)) = —42; 42 .
Масъалаи 15. Сохаи киматхои функсияи y = sin2 x + 6sin x + 1О -ро меёбем. Дал. Ин функсияро дар намуди зерин менависем: y = sin2 x + 2 • 3 • sin x + 9 +1. Аз он квадрати дуузва чудо намуда, табдил медихем: y = (sin x + 3)2 +1 (0)
Маълум аст, ки сохаи киматхои функсияи y = sin x порчаи [— 1; 1J мебошад. Сохаи киматхои функсияи y = sin x + 3 -ро муайян мекунем:
Азбаски сохаи киматхои равои функсияи y = sin x ба — 1 < sin x < 1 баробар аст, ба хар дутарафи ин нобаробарй адади 3-ро чамъ карда, пайдо мекунем: — 1 + 3 < sin x + 3 < 1 + 3 ; 2 < sin x + 3 < 4. (1)
Дамин тавр, сохаи киматхои функсия порчаи [2; 4] -ро дарбар мегирад. Дар ду тарафи нобаробарии (1)-ро ба квадрат бардошта, хосил мекунем: 22 < (sin x + 3)2 < 42 ё ки 4 < (sin x + 3)2 < 16 . (2) Ба хар ду тарафи нобаробарии охирон 1-ро чамъ мекунем: 4 +1 < (sin x + 3)2 +1 < 16 +1 ё ин ки S < (sin x + 3)2 < 17 .
Аз ин чо сохаи киматхои функсияи y = (sin x + 3)2 ба [4; 16J ва нихоят сохаи киматхои функсияи матлуб ба E(y ) = [S; 17] баробар мешавад. Ч,авоб: E(y) = [S; 17]. Масъалаи 16. Сохаи киматхои функсияи зеринро меёбем:
y = 7 cosí — — x I • cos x + 7 sin í — — x I • sin x + 2 .
У VI8 J 18 J
Дал. Бигузор ç(x) = 7 cos|— — x J • cos x + 7 sin — x J • sin x + 2 функсияи квадратй бошад,
он гох y = -функсияи афзоянда мебошад, яъне y > О аст. Тарафи рости функсияро табдил медихем:
7 cosí — — x I • cos x + 7 sin I — — x I • sin x + 2 =
= 71 cos1 — — x I • cos x + sin f — — x I • sin x ! + 2 =
= 7 cosf — — x — x 1 + 2 = 7 cosí — — 2x 1 + 2
18 J 18 J
Акнун аз хосиятхои функсияхои тригонометрй истифода намуда, ба ифодаи — 1 < cosí — — 2x i < 1 бахо медихем.
18 J
Дар ду тарафи нобаробарии дучандаро ба 7 зарб менамоем:
— 7 < 7 cos^— — 2x J < 7
Ба хар ду тарафи нобаробарии охирон адади 2-ро чамъ мекунем:
67
8
8
8
8
— 7 + 2 < 7 — 2хI + 2 < 7 + 2 .
— 5 < 7 соб(6 — 2х| + 2 < 9 . Аз ин чо — 5 < р < 9 мешавад.
Бо дарназардошти сохаи муайянии функсияи у = -^р барои тагйирёбандаи р хосил
мекунем:
( — 5 < р < 9, [0 < р < +да.
Аз ин чо 0 < р < 9 (*) мешавад.
Афзоянда будани функсияи у = -ро ба инобат гирифта, аз хар ду тарафи (*) решаи квадратИ гирифта хосил мекунем:
0 <Л/р< 3 ё ин ки 0 < у < 3 мешавад. Ч,авоб: Е(у) = [0;3].
Дар баъзе холатхо ёфтани сохаи киматхои функсия аз ёфтани сохаи муайянии функсия у) огоз мегардад. Мумкин аст, ки сохаи муайянии функсия о(у) факат якчанд киматхои аргументро кабул намоед. Дар ин холат сохаи киматхои функсия Е(у) бо рохи бевоситаи хисобкунии хамаи киматхои имконпазири у ёфта мешавад.
2 х I 2
Масъалаи 17. Сохаи киматхои функсияи у = соб — + V— соб 3х -ро меёбем. Хал. Ба сохаи муайянии функсия хамон киматхои х дохил мешавад, ки барои он х = 6 + , п е 1 мебошад. Хамаи киматхои функсияро ёфташудаи х -ро дар формулаи
у = соб2 х = 1 + ^ х мегузорем. ^иматхои х, ки ба сохаи муайянии функсияи 0(у) дохил
мешавад, ин х = 6 + 2лп, х = 6 + бп, х = + 2лп, х = — + 2бп, х = —6 + 2бп, п е 1
6 2 6 6 6
мебошад.
ЧуфтИ ва даврИ будани функсияи у = собх -ро ба инобат гирифта, ба осонИ киматхои /^-б], /ва /(^| -ро хисоб намудан мумкин аст:
рг
1 + со86 1 + _ 2 + л/3 . 1+со^|_1 + .
Т (6) 2 2 4 ' Т ^2) 2 2 2'
^ л 1 + соб56 1 — ^ о ^ тт л 2 — л/э 1 2 + л/3
Л=_^ =_^ = 2 — V3 . Чавоб: ——тг—.
и V 6 I 2 2 4 222
Масъалаи 18. Сохаи киматхои функсияи у = 3 ягссоб^ у + | — 4 -ро меёбем. Хал. Мо медонем, ки сохаи киматхои арккосинус аз нол то адади 6 аст, яъне Е(агссоБх)=[0; б] ё ки 0 < агссоБх <6 мебошад. Функсияи агссоБ^х + ^б] -ро аз arccosx
тавассути кучондан ва дароз кардан то тири абссисса хосил кардан мумкин аст. Чунин тагйирот ба сохаи киматхои функсияи додашуда таъсир намерасонад, бинобар ин,
0 < агссс«^х + | < 6 хосил мешавад. Функсияи 3 агссов(х + ^б] — 4 аз агссс«^х + ^б] -ро тавассути се маротиба дароз кардан то тири Оу, яъне 0 < 3 агссовГх + 46)< 36 (1)
паидо карда мешавад.
Ва мархилаи охирини тагИирот ин гузариш ба чор вохид ба поён то тири ордината мебошад. Ин моро ба нобаробарии дукаратаи зерин меорад. Аз хар узви нобаробарии (1) адади 4-ро тарх мекунем:
0-4<3агссо8^| + 4^-4<3л-4 о -4<3агссо8^| + 4^-4<3л-4.
Х,амин тарик, сохаи киматхои функсияи матлуб Е(у) = [- 4; 3л - 4] мешавад. Чавоб: Е(у) = [- 4; 3л- 4].
Агар сохаи муаИянии функсия аз якчанд фосилаи ададй иборат бошад, он гох барои ёфтани сохаи киматхои функсия якчанд тарзро истифода бурдан мумкин аст.
Яке аз ин тарзхо - баходихй ба кимати функсия бо ёрии хосияти нобаробарихои ададй мебошад.
Ин мавзуъ ахамияти илмию амалй дорад. Дар курси математикаи мактабй мавзуи «Сохаи киматхои функсия» омухта мешавад. Масъалахо оид ба ёфтани сохаи кимахои функсия хатман дар супоришхои санчишии гуногуни математикй, аз чумла, дар супоришхои имтихони хатм ва Маркази миллии тестй мавчуданд.
Аксар вакт хонандагон фаркияти баИни сохаи муаИянкунии функсия ва сохаи киматхои онро намедонанд. Агар хонандагон масъалахои ёфтани сохаи муаИянкунии функсияро азхуд карда тавонанд хам, аммо масъалахо барои ёфтани сохаи киматхои функсия ба онхо душворихои зиёдеро ба вучуд меоранд.
Бинобар ин дар натичаи баррасии ин мавзуъ маводи назариявй омухта шуда, тарзхо ва алгоритми халли масъалахо оид ба ёфтани сохаи киматхои функсионалй дида баромада шудаанд. Ин маводро омузгор метавонад хангоми таИёр кардани хонандагон ба имтихонхои хатм ва дохилшавй, хангоми омузиши мавзуи «Сохаи киматхои функсия» дар машгулиятхои факултативй ва махфилхо ё дар курсхои интихобии математика истифода баранд.
АДАБИЁТ
1. ВаховскиИ Е.Б. Задачи по элеметарноИ математике: / Е.Б.ВаховскиИ, А.А. Рывкин - М.: «Наука», 1971. -360 с.
2. Кочетков Е.С. Алгебра ва функсияхои элементарй: / Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова - Д.: Ирфон, 1975. -291 с.
3. Литвиненко В. Н. Практикум по решению математических задач: / В. Н.Литвиненко, А.Г.-Мордкович -М.: Просвещение, 1984. 287 с.
4. Колесникова С.И. Решение сложных задач ЕГЭ по математике. / С.И. Колесникова - М:ВАКО. 2011
5. Колмогоров А. Н. Алгебра ва ибтидои анализ: / А.Н.Колмогоров, А. М.Абрамов, В. Е.ВеИц, О. С.Ивашев-Мусатов, Б.М. Ивлев, С.И.Шварцбурд - Д.: Маориф, 1990.-382 с.
6. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовыИ и профильныИ уровни) 11 кл. - М.: Просвещение, 2010.-336 с.
7. Лебединцева Е.А. Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. / Е.А. Лебединцева, Е.Ю.Беленкова - М.: Интеллект-Центр, 2012.
8. Макарычев Ю.Н. Алгебра синфи 8: / Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К. И.Нешков, Суворова С. Б.-Д,: Маориф, 1990. 240 с.
9. Маводи аттестатсияи давлатии хатм барои синфи XI дар мактабхои тахсилоти умумии Чумхурии Точикистон. /Мураттибон: М.Махкамов, Мухиддинов, Ч,. Иматшоев, Н. Дагиев, Х.Ганчибекова, А.Турсунов, И.Урокова, В. СулаИмонова, М.Азизова, З. Fуломова, А.Азизов. -Д.: Аржанг, 2012. - 163 с.
10. Махкамов М. Математика. Тестхо барои дохилшавандагон. / М.Махкамов // Дастури таълимию методй барои хонандагон ва дохилшавандагон. -Душанбе: Аржанг, 2015. 208 с.
11. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика для поступающих в серьезные ВУЗЫ. / Черкасов - М: МосковскиИ лицеИ. 1998.
12. ШахмеИстер А.Х. Тригонометрия. / А.Х.ШахмеИстер - СПб.: Петроглиф, 2014.-750 с.
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Нахождение область значений функции является одним из основных разделов алгебры. Для полного нахождения алгоритма область значений функции в образовательных программах отдельно часы не выделяются. Поэтому при нахождении область значений функции учащиеся сталкиваются со многими трудностями.
В существующих учебниках даётся только определение области значений функции, а материал не отводится для самостоятельной работы учащихся, что является недостаточным для усвоения материала.
Поэтому в этой статье мы представили множество задач в области значений функций с объяснением и алгоритмом их решения.
Ключевые слова: Алгоритм, область значения, функция, учебники, методические указания, переменная, действительные числа, область изменения, увеличение, уменьшение, самостоятельной работы, выпускные и вступительные экзамены.
ALGORITHM FOR FINDING THE RANGE OF VALUES FUNCTIONS IN SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS
Finding the range of a function is one of the main branches of algebra. To fully find the algorithm, the range of the function in educational programs is not allocated separately for hours. Therefore, when finding the range of a function, students face many difficulties.
In existing textbooks, only the definition of the range of function values is given, and the material is not assigned for independent work of students, which is insufficient for mastering the material.
Therefore, in this article, we presented many problems in the range of functions with an explanation and an algorithm for solving them.
Key words: Algorithm, range of value, function, textbooks, guidelines, variable, real numbers, range of change, increase, decrease, self-study, final and entrance exams.
Сведение об авторах:
Махкамов Мамаджон — кандидат педагогических наук, доцент кафедры методика преподавания математики Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни, г. Душанбе, E-mail: mahkamov_m51@,mail.ru, Тел: (+992) 935851055;
Джаборов Мухаммадсафар Мухаммадраджабович — старший преподователь кафедры методика преподавания математики Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни, г. Душанбе, Тел: (+992) 934069093; Норов Раджабали Саломович - старший преподователь кафедры методика преподавания математики Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни, г. Душанбе, Тел: (+992) 777021056
About the authors:
Makhkamov Mamadjon — Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Methods of Teaching Mathematics Tajik State Pedagogical University named after S.Aini, PhD, Dushanbe, E-mail: mahkamov_m51@,mail.ru Phone: (+992) 935851055;
Jaborov Mukhammadsafar Mukhammadrajabovich — Senior Lecturer of the Department Methods of Teaching Mathematics Tajik State Pedagogical University named after S.Aini, Dushanbe, Tel: (+992) 934069093;
Norov Rajabali Salomovich - Senior Lecturer of the Department Methods of Teaching Mathematics Tajik State Pedagogical University named after S.Aini, Dushanbe, Tel: (+992) 777021056;
