CC BY
14
Из (10) и (16) следует утверждение теоремы. □
Аналогичный результат может быть получен при ИеЛ < 0.
Постановка задачи и результаты п. 1 принадлежат А. П. Хромову, а результаты п. 2 - М. Ш. Бурлуцкой.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270), гранта Президента РФ (проект ЕШ-ЩЗ.2010.1 ).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Раппопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений, Киев : Изд-во АН УССР, 1954, 258 с,
2, Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. О классическом решении смешанной задачи для уравнения первого порядка с инволюцией // Вестник Воронежского государственного университета. Сер, Физика, Математика, Воронеж, 2010, № 2, С, 26-33,
УДК 512.7
А. М. ВОДОЛАЗОВ
АЛГЕБРЫ ЦЕЛОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАЗЛОЖИМЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ
Пусть к - поле р-адических чисел, О - кольцо целых радических чисел, Т - алгебраический к-тор. Для построения целых моделей алгебраических торов в работах [1, 2] введена алгебра
А = {/ е к[Т] | /(ик) с О} ,
где ик - максимальная компактная подгруппа группы Т(к). В работе [1] было замечено, что эта алгебра имеет бесконечный набор образующих и поставлен вопрос о нахождении всех образующих для разложимых торов Т = О^- Для разложимых торов образующие были найдены в работе [3]. Кроме алгебры просто целозначных функций, представляет интерес изучение ее различных подалгебр. В частности, для построения анализа на алгебраических торах надо рассматривать функции, целозначные вместе со своими разделенными или конечными разностями. Эти алгебры определяются как
А{г} = {/ е к[Т] | /(ик) с О, Ф/(ик, х) е А{г-1}}
и
АИ = {/ е к[Т] | /(ик) с О, УН е ик Д/(х) е Аг-1]}
20
соответственно. Где первая разделенная разность Ф/ для / равна
Ф/(*„,*,) =/ (Хо) -/ (Х1),
Х0 — Х1
а к-я разделенная разность Фк/ (х0,..., Хк) определяется для к > 1 ин-дукционно по формуле
фк / (Х хк ) = Фк—1/(х„, ..., Хк—2, Хк—1) — Фк—1/(Хо, ..., Хк—1, Хк )
Хк Хк—1
Операторы конечные разности А при к = 1 действует на / по правилу
д/(Х) = / (Х + Н1— / (Х) ,
к>1А
дни...,нк-1 / (Х + Ьк) — дни...,нк-1 / (х)
Ah1,...,hfc f (x) =
hi
Мы требуем, чтобы x и все x + hi должны принадлежать Ui-
Алгебра является подалгеброй причем включение почти всегда строгое. Алгебра A{r} имеет бесконечное число образующих, и они были найдены в [4], используя аналоги v-порядков, введенных М. Bhargava. В пашей статье мы находим образующие алгебры A[r].
Рассмотрим сначала одномерный случай T = Gm. Для такого тора верна
Теорема 1. Многочлены,
1 pk—1
Hn(x) = pn П (x - г) П (x - xj)'
i=1, (i,p) = 1 f(pk)<j<n
где n удовлетворяет неравенству ^(pk) < n < ^>(pk+1) (V(n) _ функция Эйлера) и имеет разложение
n = ni^(pk) +-----h ni^(p) + no,
а числа dn = 07 если sn < r, в противном случае dn = sn — r и sn находятся no формуле
Sn = ni ai +-----+ ni ai,
21
где 0 < пг < р, аг = р—у, тари 0 < г < к пк = 0, п0 < р — 1, являются образующими алгебры Л[г\ т.е.
А[г] = О[х, х-1, Щ(х),..., Ип(х),... ] .
Доказательство. Сначала докажем, что многочлены Нп е Л[г]. Рассмотрим многочлены
п
рп(х) = Ц(х — хг).
г=1
р
ся образ Рп(х), Дн1 Рп(х),..., Дн1..хРп(х) при х е ик. В [3] показано, как это делается для Рп(х). Фактически мы определяем точное количество приведенных систем вычетов по модулям рв, па которые разбиваются числа хг.
Рассмотрим представление
ДнРп(х) = Рп(х + НН — Рп(х) = Рп(х) + Рп2(х)Н + ...,
так как Р^(х) = Х^п=1 Пп=1 ]=г{х—х'1), то у нас может происходить потеря в количестве приведенных систем вычетов па единицу. Если Н р - адиче-ская единица, то показатель у Д^Рп(х) будет совпадать с показателем Рп(х) по левой части формулы. Если радический показатель ог<рН > 0, то наименьший показатель в правой части будет у Р'п (х), а здесь происходит потеря на единицу. По индукции показываем, что у г-разности происходит уменьшение показателя на г. Поэтому для определения <п определяется через вп, найденных в [3], из формулировки теоремы. Так доказывается, что Нп е А[г].
Далее, так как deg Нп = п, то любой многочлен раскладывается через многочлены Нп с коэффициента ми из к. Определяя числа хп, как в [3], мы получаем, что Днъ..,нкНг(хп) при г > п равны 0 или имеют р Ре Л[г] тогда
Р
НО
Теорема 1 обобщается па многомерный случай, когда Т = О^-Теорема 2.Многочлены
На1,...ап (х1, . . . , хп) На1 (х1) ... Нап (хп) ,
где (а1,а22,... ,ап) е Щ, являются образующими алгебры Л[г] для, алгебраического тора Т = От
] О[х1, . . . , xn, х— , . . . , х— , . . . , На1,...ап (х1, . . . , хп) ... ].
22
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Kunyvskii В. Е., Moroz В. Z., Vo-skresenskii V. Е. On integral models of an algebraic torus / Max-Planek-Institut fur Mathematik, Preprint Series, 2001, №12,
2, Popov S. Yu., Voskresenskii V. E. Galois lattices and reduction of algebraic tori//Communications of Algebra. 2001. № 9. P. 213-223.
3, Водолазов A. M. Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа //Современные проблемы алгебры, теории чисел и функционального анализа: межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 14-23.
4, Bhargava Л/.. Cahen P.-J., Yeramian J.Finite generation properties for various rings of integer-valued polynomials // J, of Algebra, 2009, Vol, 322, № 4, P. 1129-1150,
УДК 517.518.82
И. Ю. Выгодчикова
О ЗАДАЧЕ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РИСКА
ФИНАНСОВОГО ПОРТФЕЛЯ
Пусть 9i - доли активов n видов, из которых инвестор формирует портфель, bj, i = 1,s, s < n ограничения на доли активов, заставляющие инвестора отказаться от подневольного желания «получить высокий доход любой ценой» и учесть неценовые оценки качества активов. В качестве рисковых показателей а могут выступать среднеквадрати-ческие отклонения доходностей, либо иные показатели негативного для инвестора характера.
Требуется равномерно распределить риски (а) между всеми активами, взвесив их по долям активов в портфеле, за счёт выбора этих долей:
Ф(0) := max аД —> min, (l)
i=l,n OeD
В = |в = (вь...,вп) е : ^ег = 1, вг < М = 1,51 . (2)
решена задача равномерного распределения риска с целевой функцией (1) и такими же ограничениями, как в известной задаче минимизации риска финансового портфеля Г. Марковица.
Теорема 1. Решение задачи (1),(2) существует тогда и только тогда, когда либо з < и, либо з = пи Ь > 123
