Алгебры целозначных функций для алгебраических торов малой размерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Поскольку М(р) = 0, для каждого фиксированного x £ [0,п] функции P\j(x,p), j = 1, 2, являются целыми аналитическими по р, что вместе с (13) дает Рц(х,р) = cos Q(x), P12(x,p) = 0. Также имеем sin Q(x) = 0. Следовательно, QQ(x) = па, где а £ Z. В силу непрерывности QQ(x) число а те зависит от x, и поэтому Q(x) = 0, то есть qi(x) = qi(x). Получаем Pn(x,p) = 1. Согласно (11) получаем S(x,p) = S/(x,p), и следовательно, q0(x) = q0(x) почти всюду на [0,п]. □

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты МК-1701.2007.1 и НШ-2970.2008.1), РФФИ и EEC (проекты, 07-01-00003, 07-01-92000-ЕЕС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Yurko V. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, Utrecht: VSP, 2002,

2, Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007,

3, Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т.37, №2. С.19-23.

4, Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Матем. сб. 2000. Т.191, Ж°-10. С.137-160.

5, Buterin S.A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm - Liouville operator on a finite interval // J. Math. Anal. Appl. 2007. V.335. Issue 1. 739-749.

УДК 512.7

A.M. Водолазов

АЛГЕБРЫ ЦЕЛОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Пусть k - поле р-адпческпх чисел, О - кольцо целых р-адических. T -алгебраический k-тор. В работах [1-3] рассматривается алгебра

A = {f £ k[T] | f (Uk) С О} ,

где Uk - максимальная компактная подгруппа группы T(k). Эта алгебра представляет интерес при исследовании целых моделей алгебраических торов. Она имеет бесконечный набор образующих. В [1] был поставлен ряд вопросов об изучение свойств этой алгебры. В частности, вопрос о нахождении образующих для разложимых торов T = Gr'fn. Образующие для разложимых торов были найдены в работе [4].

Дальнейшие изучение алгебры A можно проводить в двух направлениях. Во-первых, переходить к более сложным классам алгебраических торов,

чем разложимые, т.е. изучать квазиразложимые, норменные и другие классы торов. Во-вторых, провести описание для торов малой размерности, т.е. одномерных, двухмерных и т.д.

В этой статье будут описаны образующие алгебры A для одномерных и двухмерных торов.

Имеется два одномерных тора T = Gm и T = R^k(Gm)5 где L = k(Vd). Первый тор разложимый, и его образующие найдены в [4]. Рассмотрим второй тор, и пусть (d, p) = 1. Образующие алгебры A в этом случае сводятся к образующим алгебры

B = {f е k[x,y] | f (U) с O},

где U = {(x,y) е O2 | x2 — dy2 = 1}. (1)

U

Ui = {(±xi, ±yi),..., (±xa, ±ys)} множество решений сравнения

x2 — dy2 = 1 (mod p). (2)

Плюс и минус у ж и у берутся всевозможными способами. Если пара у¿)

/(2)р при любом у(2) полной системы вычетов по модулю р существует единственное решение х\

является решением сравнения (1), то для у[ = у^ + у( )р при любом у( ) из полной сис сравнения

(xi)2 — d(y;)2 = 1 (modp2) (3)

удовлетворяющее сравнению (xi) = Xi (mod p). Это следует из леммы Ген-зеля для сравнения (2). Далее, применяя лемму Гензеля, можно строить по решениям сравнения по модулю pn решения по модулю pn+i, в пределе по-

U

Un pn

ности этих множеств un связаны соотпошенпем un+i = pun. Обозначим Ti = Ub Tn = Un/Un—iW И n < 2, |Ti| = s,Tn = p(n) = |Un| — |Un—i | = p(pn—i)s (p -функция Эйлера).

Теорема. Пусть un < m < un+i, а,

Gm(x) = ppS- П (x — xi) П (x — xj)

(xi,Vi)eUn (xj,yj)eTn+1, un<j<m

и

Hm(y) = pm П (y— yi) П (y— yj),

(xi,yi)eUn (xj,yj)eT„+i, un<j<m

если т = тпф(п) + • • • + т1(р(1) + то, то вт = тпап + • • • + ш\а\, где 0 < тг < р, а = ^Е^^ри 0 < г < к тк = 0, 0 < т0 < в, тогда

В = 0[х, у, С1(х),И1 (у),..., Сп(х),Ип(у),... ] .

Доказательство. Для доказательства теоремы надо проверить, что многочлены Ип(у) обладают следующими свойствами:

1) deg Ит = т,

2) Ит е В,

нт(ут+1) е в

Сначала рассмотрим многочлены Ит при т = ип7 т.е. многочлены

Иип (у) = рО: П (у - у^ ,

Угеип

где ап = ^п-. Проверим свойства 1)-3) для этих многочленов.

Так как у является решением уравнения (1), а уг пробегает множество

п

рп

югцие разложение: у = Ьо + Ъ\р + ••• + Ьп-1рп-1 + ЬпРп + ... (0 <Ьо < р - 1, 0 < Ьг < р - 1)

уг = ао + а^р +----+ ап-1рп-1 (0 < ао < р - 1, 0 < аг < р - 1)

Разность (у - у г) делится точн о нар1, есл и Ьг = аг пр и г = 0,... ,1 - 1, а Ь/ = а1. При фиксированном у, когда уг пробегает множество решений сравнения по

модулю р\ количест во (у - у г) в П (У - Уг\ делящихся точн о на р при

у%еиГ1

I < к, равно (р - 1)рк-(/+1\ так как для этих уг

ао = Ьо,..., Щ-1 = Ьг-1,

а а1 = Ь/ и а^ произвольные при ] > I + 2. Заметим, что, если а^ = Ьj7 ] = 0,... ,п - 1 то (у - у г) делится па рп только для од ного уг из ип и может делится на большую степень, если Ьк = • • • = Ьк+т = 0. В результате П (У - У г) всегда делится па рап, где

Угеип

ап = п+(р-1)(п-1)+р(р-1)(п-2) + • • • + (р-1)рп-(/+1)1+• • +(р-1)рп-21 =

= 1 + р + ••• + рп-1 = Л .

р - 1

Для у\ у которого цифра Ьп при рп не равна нулю, П (у' - уг) не делится

Угеип

на р°п+1. Тем самым свойства 1)-3) для многочленов Иип доказаны.

рп 1 п-1 р 1

Для произвольного Hn проверка свойств 1)-3) аналогична, надо только упорядочить элементы множества Tn.

Так же доказываются свойсва 1)-3) для многочленов Gn(ж). Из этого и следует утверждение теоремы.

Мы рассмотрели одномерные торы, разложимые и норменные для пераз-ветвленных расширений. Существуют 9 различных неизоморфных двухмерных торов. Часть из них является прямыми произведениями разложимых и норменных одномерных торов, что сводит изучение таких торов к полученным нами результатам.

Библиографический список

1. Kunyvskii В. Е., Moroz B.Z., Voskresenskii V.E. On integral models of an algebraic torus // Max - Planck - Institut fur Mathematic. Preprint Series 2001 (12).

2. Воскресенский B.E., Фомина Т.В. Целые структуры в алгебраических торах// Изв. РАН: Сер. матем. 1995. Т. 59, №5. С. 3-18.

3. Popov S.Yu., Voskresenskii V.E. Galois lattices and reduction of algebraic tori.//Communications of Algebra. №9, 2001. P. 213-223.

4. Водолазов A.M. Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа // Современные проблемы алгебры, теории чисел и функционального анализа: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, Вып. 1. 2003. С. 14-23.

УДК 515.51

И.Ю. Выгодчикова

ОБ УСЛОВНОЙ ЗАДАЧЕ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ

ПОЛИНОМОМ

Рассматривается задача наилучшего равномерного приближения сегментной функции алгебраическим полиномом при наличии ограничения на значение полинома в одном узле сетки. Получен критерий оптимальности в форме, сравнимой с известным в теории приближений альтернансом П.Л. Чебышева.

Пусть n, N — целые числа, n > 0 N > n + 1, T = {to < ii < ... < tN}, A = (a0, a1,..., an) £ Rn+1, pn(A, t) = a0 + a1t + ... + antn. На сетке T задана сегментная функция Ф(-), Ф(^) = [y1jk; y2,k], причем y2,k > y1,k, k = 0,N. Обозначим через /1 (A,tk) = Pn (A,tk) - y1,k, /2 (A,tk) = y2,k - Pn (A,tk), f (A, tk) = max {/1 (A, tk), /2 (A, tk)}•

Рассмотрим следующую задачу:

p(A) := max f (A, tk) —> min, (1)

k=0,N A£D

D = {A £ Rn+1 : pn (A, ts) < v} , (2)