Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

А. М. ВОДОЛАЗОВ

Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа

В теории алгебраических горок в последние время большой интерес представляет задача изучения целых моделей алгебраических торов свойства которых являются необходимыми в задачах анализа и арифметики на алгебраическом торе. Предложено несколько определений целой моделей, нркоторио in НИХ хорошо изучены |1|, |2|, [3], [4|.

Целью нашей работы является получение ответов на вопросы поставленные в работе [1]. Наши результаты являются начальными в изучении свойств целых моделей алгебраического тора бесконечного типа. Пусть

Ai = {f € Qp[i, t-1] | /(ZJ) С Zp} , (1)

алгебра Al (X = SpecAi) является целой моделью для тора Т = Gm (т.е. Т = X <g>zp Qp). Нас интересуют образующие А\ над Ър. Очевидно, что Аи С Аи где

Ап = Zp[t, Г1, Ui(t),ГШ, • ■ ■ ], Un(t) := У"1-

В работе [1] поставлен вопрос о совпадении А\ и Ац, Предложение. Ап = Zp[t,

Доказательство Будем доказывать методом индукции по п. Пусть п = 2.

tp(p-1) _ j (t(p-D)p _ ! m) = р2 = -?- =

_ У1 - 1 (t"-1)"-1 + (f'1)"-2 + • • • + (f-1) + 1 n u. h{t)

— _ Ui{t)-.

P P V

h(t) обладает следующим свойством: (t,p) = 1, h{t) = 0 (mod p). tp~l = 1 (mod p) по теореме Ферма, а слагаемых p. Разделим многочлен h(t) на U\{t)p = tp~l — 1 с остатком:

h(t) = (t"-1 - \)hi(t) + h2(t)

V(t,p) = 1 h(t) = 0 (mod p), f-1—1 = 0 (mod p), следовательно, hi(t) = 0 (mod p), deghi < p — 1 по теореме о решении сравнения но модулю р. Тогда коэффициенты многочлена кратны р . Следовательно,

[/2(t) = £/i(t)t/i(t)Mt) + ^,

Р

hi(t) и ^^ принадлежат 7*р [М-1]-

Предположим, что утверждение доказано для п = к, то есть Um(t) £

Zp[t,t_1, Ui(t)] для m < к. Докажем его для п = к + 1.

= —pfc+, =--=

tP'-'ö.-!) _ 1 + + .. . + !

=--T---= Uk{ t)-,

p" p p

hk+i(t) = 0 (mod p), (t,p) = 1. Представим hk+\(t) в виде

hk+1(t) = pU^tjhb+^t) + hk+1(t),

где hk+l(t)Jik+1(t) e Z[t] и deg7i*+i < p - 1, hk+i{t) = 0 (mod p) V(i,p) = 1. По теореме о количестве решений по модулю р все коэффициенты

hk+i(t) делятся на р.

UM(t) = Uk(t)Ur(t)hk+1(t) +

Р

Следовательно, все Un(t) выражаются через U\{t). Предложение доказано.

Дальнейшее изучение А\ показало, что Ai ф Ац. Поэтому, естественно встал вопрос о нахождении образующих А\. Для этого мы докажем существование многочленов #„(i) и чисел tn е Z*, обладающих следующим свойствами:

1) deg Я„ - п

2) Я„ е Аг

3) я„(г„) е ц или (^ I Аг).

Сначала построим многочлены Я„ при n = <р(рк) (ч>~ функция Эйлера).

Лемма. Многочлен

р*->-1

= i П («-о

рСк

¡=1, («,г>)=1

принадлежит A¡ и не принадлежит, Ai, где

а* = 1 + р Н----+ р*-1 = ——

р- 1

Доказательство

Так как t и i принадлежат Z*, значит имеет место следующие разложение

t = b0 + bip + ■ ■ ■ + bk-ip1"1 + bkpk + ... (0 < 60 < P - 1, 0 < Ь{ < p - 1)

i = Oo + aip -\----+ ak^ip (0 < a0 < p — 1, 0 < a* < p — 1)

Разность (í — i) делится точно на pl если b¡ = <ц при i = 0,..., I — 1, a b¡ a¡. При фиксированном í, когда i пробегает приведенную систему вычетов по модулю рк S', количество (i — г) в ]] (£ - г) делящихся точно

<6 S'

на р' при I < к равно (р — потому, что для этих г

По = Ьо,-.., a¡_ 1 = Ь|_1, а/ = b¡

üj произвольные j > I -1-1. Заметим, что если a¡ = b¡ j = 0,..., к — 1, то (¿ — г) делится на р*, только для одного г из 5' и может делится на большую степень если Ьк = ■ ■ • = = 0. В результате, ]| (г — г) всегда

ieS'

делится на р"к, где

а* = к+(р-1)(к-1)+р(р-1)(к-2)+- - -+(p-l)p*-<'+1>í+- ■ -+{p-l)pk-h =

р-1

Для í0 = 1 + IlieS'^o — г) пе делится на p"k+1. Лемма доказана.

Теперь построим числа t„. Числа t„ выбираем в порядке возрастания из приведенной по mod pk+l, а п предполагаем большим ч>{рк). При п = <р{рк) + 1 tn = 1 + рк и т.д.

Как и для многочленов при п = '■pip1'), для произвольного п сначала рассмотрим произведение

П (<-') П (*"*)• (2)

i=l (i,p)=l 4>(pk)<j<n

Определим на какую степень р (2) точно делится. Для п имеем разложение

п = nki?(pk) + rik^i<p(ph~1) Н-----b ni<p(p) + н0 пк > 0, 0 < щр, no < Р ~ 1-

При таком п среди чисел i и tj в произведение (2), есть пк приведенных систем вычета по mod рк у которых цифра при рк равна 0,1,... — 1. Среди чисел у которых цифра при рк равна пк имеется приведенная система вычетов по mod рк~1, у которых цифры нри рк~1 равны 0,1,... — 1 соответственно и т.д. ... В итоге числа г пробегают пк приведенных систем по модулю р , оставшиеся nk^i приведенных систем но модулю рк~1, и т.д. Значит из доказательства леммы следует, что (2) всегда делится на р"", где

sn = пкак -I-----f- n2Q2 + Tli ■

По построению in+i — (nkpk + - ■ ■+nip+no) + l, тогда нри подстановке t = tn+1 в (2) , т.к. пк ф 0, то П(«п+1 ~ Лi когда j пробегает любую приведенную систему вычетов по mod рк в (2) делится точно нар"ь, по доказательству леммы. Аналогично, если какое-то п, ф 0, то I~[(Wi — когда j пробегает любую приведенную систему вычетов но mod ps в (2) делится точно на ]>"". Эти рассуждения показывают, что (2) при t — t„,; не делится на p'n+1.

В итоге мы построили числа i„ и многочлены

1

= ~ П С-О И ('-';)•

^ i=l, (i,p)=l v(p*)<J<n

Многочлены Hn(t) обладают свойс твами 1, 2, 3 более того Hn{tk) — 0 при к <71.

Теорема 1. Пусть ip(pk) < п < ip(pkii), а 1

Hn(t) = ~ п (*-о И

если п = пку(рк) + • ■ • + П\<р{р) + п0, то sn — пкак + • • • + щах где О < rii < р, cti — ,при 0 < г < к пк ф 0, п0 < р — 1, тогда

Ai = Zp[t,t~1,Hi{it),...,Hn{t),...] .

Доказательство

Произвольная функция f(t) ё Q[f,<_1] имеет вид /(f) =

/(f) е А! <=> g(t) € Л, .

Пусть degg(t) = т т.к. многочлены Hs(t) определены дня любой степени s, то

9(f) = amHm(t) + dm-iHrn^t) Н-----1- а0 .

По предположению g(t) £ Ai, значит для £„ 6 ZJ g(tn) 6 Zp. Рассмотрим t—1. д( 1) 6 Zp, по свойству 3) многочленов Я„(£) Яп(1) = О при п > 1. Следовательно, ао £ Пусть i = 2, д(2) € тогда

9(2) = а„Яп(2) + а„_1Я„_](2) + ... + a,ft(2) + <ю = 0^(2) + а0,

я,(2)ez; (Я(2) = 0).

Тогда

ао + »(2) ^ „

а.1 ' —

Я, (2)

Пусть аналогично доказано, что ад, ai,..., i € Zp. Докажем, что at 6

"р-

fffe+i) = (апЯп(«ьн) + an-iHn_i{tk+1) + ... 4- aMHk+y(tk+,)) + akHk(tk+1)+ + (a^fln^+i) + ... + aj/i^it+O + a0) = 0 + akHk(tk+1) + bk,

bk = ak-iHk^(tk+i) + ... + aiffi(ffc+i) + a0£Zp по доказанному выше.

g{tk+1) - bk

ak = ■

Hk(tk+i)

так как 9(^+1) - Ьк е 2р, а Нк^к+1) е Ъ"р по свойствам многочленов

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Доказательство теоремы 1 следует известной схеме [5), где из свойств многочленов аналогичным свойствам мно-

гочленов Я„ 1, 2, 3, выводится что они являются базисом над 1. кольца целозначных многочленов из 0[г].

Многочлены #„(4) не являются минимальной системой образующих алгебры Аи ОНИ сами выражаются через многочлены Яр(р*)(^) над

Теорема 2.

где #*;(<) = Обозначим

тояйа Нк+1(г) $ Ах,к , а рНк+1(Ь) е

Доказательство

Будем доказывать теорему методом индукции по степени многочлена. При п < р — 1 утверждение очевидно;

Я„(*) = (*-1)(*-2)...(<-п)

и надо только раскрыть скобки. Я„(£) е при п < р— 1. Предположим, что утверждение верно для любого многочлена Яа(() при в < т и Я5(<) е Лць, если в < <£>(?*)• Рассмотрим многочлен Ят+1(<). Пусть

т + 1 = тк<р(рк) + т*_1р(р*-1) Н-----1- 7711^{р) + 7П0

О < тщ < р — 1, 77Ц; ф 0. Тогда многочлен

От+1(<) = Ят+1 (4) - ЯГ(«)Ят,(«),

где т' = (т + 1) — тк1р(рк) < </?(рк), имеет степень больше либо равную то, так как степени многочленов Ят+1)4( и Я™'(£)Ят/(() равны, а коэффициенты при старшей степени 7/т+1(£) и Л^1''(£)#,„< (4) равны ^¿рт и соответственно, то они равны. По предположению индук-

ции € Лцк, а_Ят-(£) е Л^-!, следовательно и Ят+1(г) € Ли.

Значит, многочлены Я*(£) являются образующими

Л = гр[г, г1, я, (<),..., як(«),...].

Докажем, что рНк){1) е Л^-!. Так как у многочленоврНк{Ь) и (г) равны степени и коэффициенты, то рЯк(£)-Я^_1(<) - многочлен степени мепьше <р{рк), следовательно, по доказанному выше рНк(Ь) 6 Л^-!-Докажем теперь, что Я&+1(4) ^ Л^*.-!. Предположим противное.

Рассмотрим t = t0 +p*+1, 0 < x0_< p — 1, из доказательства теоремы 1 следует, что //¡(t) € pZp при i > 1, Hk+i(t) e Z*. Если в любом слагаемом существует > 0, 1 < г < к, то в (3) левая часть принадлежит ZJ, а правая - piр, чего быть не может. Поэтому должно быть

где /(f) £ Zp[x], так как /(f) е Ах по геореме 1 f(x) представляется в виде

/(f) = a,Hs{t) + a..iU.-i(t) + ■ ■ ■ + ap^B,(t) + g(t), где dcgg(i) < p- 1, <ц e Zp. Пусть f4 = i+pfc+2, i = 1,2,... ,p - 1. Тогда Hk+l{U), Hm(ti), Hs(ti) £ pZ„ из доказательства теоремы 1, следовательно, g(U) 6 pZp. Тогда все коэффициенты многочлена g(t) делятся нар. И если мы подставим в (4) f — (о + р*+1, то получим, что левая часть принадлежит Z*, а правая - pZp. Это противоречие полностью доказывает теорему 2.

Замечание 2. Аналоги теорем 1 и 2 можно доказать и для кольца многочленов у! = {/ е Qp[f]|/(ZP) С Z,,}. Образующими этого кольца

vk

будут многочлены ifn(f) = -¿j- II(f — г), где = р как и в теореме 1.

»=1

Замечание S. Аналоги теорем 1 и 2 можно доказать для любого ко нечпого расширения поля Qp.

Рассмотрим теперь произвольный разложимый тор в Qp, т.е. Т = G^,, тогда верпа

Теорема 3. Пусть

M{f е Qp[ii, ...,in, tl\.. . ,t?}\f(z;n) С Zp}, а многочлены

Hai,...a„(ti,...,t„) — Ha^{ti)... Han(tn), где (c*i, a2,..., an) G N[}, тогда

Ai = Zp[ii,..., f„, tf ,..., f~\..., Hah...an(ti,... ,tn)... ].

Доказательство

Для любого многочлена /(f) из Qp [ti.fsi... ,f„] имеет место разло-жение:

/№ = aai,a2,...,on-^Qlia3i,.|an(f),

aaj,aj,...,a„ € Qp, так как степени многочленов Я пробегают все возможные наборы («1, с*2,..., ап). Как в доказательстве теоремы 1, мы докажем теорему 3 если докажем следующие утверждение. / 6 Ai тогда и только тогда, когда все aj € Zp.

Рассмотрим <i = <2 = • • • = in = 1, тогда но свойству 2) многочленов Яа< Hai{t\)... Han(tn) = 0, если в наборе (ai,... ,an) существует хотя бы

ОДНО Q; > 1, то

/(1,...,1) = ао.....о £

Далее, выбирая t = (1,..., 2,..., 1), получаем t

/(i) = a0.....i.....оЩи) + а0.....о 6 Zp ,

_ fit) - ао,...,о °°.....1.....0 " Щ(2) '

Я, (2) 6 Z*. Подставляя последовательно наборы (t^, i<3,..., tin) = t, мы будем получать такие выражения:

где b 6 Zp по предположению индукции, а оставшиеся многочлены равны

нулю по свойству многочленов Hi, а коэффициент при a<,.....¡„ е Zp.

Что доказывает теорему 3.

Рассмотрим еще одну алгебру

A2 = {f € Qp[t, tr1] | /(0"к) С ОкУКкон. неразв. расш. Qp},

где Оц кольцо целых расширения К поля Qp, а О"^ группа единиц ь

ок.

Докажем следующую теорему. Теорема 4. А2 = Zpft.i-1].

Доказательство

Если / е Л2, то / б для произвольного неразветвленого расширения А' поля Qp. Из аналога теоремы 2 для К заключаем, что многочлен / £ степени < д — 1 имеет коэффициенты из Оц, где § количество элементов FK поля классов вычетов К. Поэтому для такого поля / е Qp[t, Г1] Л 0K[t, Г1], следовательно / 6 Zp[t, f-1].

Замечание 4■ Теорема 4 имеет место и для произвольного разложимого тора, что является отпетом на вопрос поставленный в [1] для разложимых торов.

Автор выражает благодарность В.Е.Воскресенскому за постановку задачи и денные обсуждения, а также С.Ю.Попова за полезные беседы.

Библиографический список

1. В. Е. Kunyvskii, В. Z. Moroz, V. Е. Voskresenskii On integral models of an algebraic torus. // Max - Planck - Institut fur Mathematic. Preprint Series 2001 (12).

2. В. E. Воскресенский, Т. В. Фомина Целые структуры в алгебраических торах. // Изв. РАН: Сер. матем. 1995. Т. 59: 5. С. 3-18.

3. Popov S . Yu Voskresenskii V .Е ., Galois lattices and reduction of algebraic tori.//Communications of Algebra, N 9, 2001. P.213-223.

4. С. Ю. Попов Стандартная целая модель алгебраического тора. //Вес.СамГУ.2001,К 4(22),С 20-54.

5.Г. Полна, Г. Cere Задачи и теоремы из анализа.//М.: Наука. 1978. 4.2.

УДК 681.3.06

А.В.МЕСЯНЖИН

Матричное представление элементов фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу 1

Введение

В работах |4, 5| развит общий алгоритмический подход к построению матричных представлений редуцированных по нульмерному идеалу полиномов с последующим применением этих представлений в задаче исследования корней идеала. В алгоритмах используется понятие стандартного базиса Гребнера, восходящее к Вухбергеру |6|. Однако в [1, 2, 10, 11, 12| было показано, что во многих задачах, связанных с полиномиальными идеалами, намного более эффективным является использование базисон Гребнера специального вида, называемых инволютивными. В данной статье показана целесообразность использования в вышеприведенной задаче алгоритмов, основанных на инволютивном делении Жане.

Ниже мы будем использовать следующие обозначения:

В, — К[хх,.. . ,хп] кольцо полиномов над полем К нулевой характеристики;

'Рабата финансировалась за счет гранта РФФИ 00-15-96691