CC BY
12
УДК 512.7
А. М. Водолазов, О. А. Королева
АЛГЕБРА ЦЕЛОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ КВАЗИРАЗЛОЖИМЫХ ТОРОВ
Пусть О-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля, к -его поле частных, G - линейная алгебраическая группа, определенная над к. Целой формой группы G будем называть групповую О-схему X такую, что существует групповой изоморфизм ¿-групп X®ak = G. Изучение свойств целых форм необходимо для различных задач арифметики и анализа на группе G.
Нас будет интересовать случай алгебраических торов. Линейная алгебраическая группа Т является алгебраическим тором, определенным над полем к, если Т - форма тривиального тора G'j, L, т. е. T®kL = Gd„.L, где
d- dim Т, a L - минимальное поле разложения тора Т. Дальше везде предполагается, что к - поле р-адических чисел, а О - кольцо целых р-адических чисел поля к и ()' - группа обратимых элементов в кольце О.
Пусть X групповая О-форма тора Т (стандартная целая модель из работы [I]), X = SpecA, Л с~ к[Т\. Рассмотрим группу точек Х(О) - Нот(А,0). Для классификации различных целых форм важной задачей является изучение алгебры целозначных функций на торе А, = {/' е к[Т] | (Уи 6 X(0)f(u) е О}.
Алгебра А, в общем случае не является алгеброй конечного типа, т.е. у нее существует бесконечное число образующих. В работе [2] была поставлена задача нахождения образующих алгебры А» в случае разложимых торов Т = Gdm к. Они были найдены в [3J. Разложимые торы являются первым этапом при изучении алгебраических торов. Следующим важным классом алгебраических торов являются квазиразложимые торы. В этой статье строятся образующие для алгебры А, в случае квазиразложимых торов. Определим квазиразложимый тор Т. Пусть П - группа Галуа расширения поля L над к. а Г— П модуль рациональных характеров тора Т и
существует базис Гх .....на котором П действует перестановками.
Пусть П, — стабилизатор % f -характера, тогда
fsZ®njZ[ П],
а гор Т ~ RF/k(Gm), где F = Z,"1 - расширение поля к с целым базисом ег = l,e2,—,ed и кольцом целых 0F [4]. Для Xi имеем разложение
х, = + ... + х(г%.
В [ 1 ] для стандартной целой модели квазиразложимого тора получено представление
Л-О!*«...,*^"1], где х = Хр—>Х^ = г и там же вычислена группа точек ДО):
х{о)= Нот(А,0) = 0'р. Нашей задачей является нахождение образующих алгебры Л, = 1/ с я[г]= к <®0 Л | /(и)бО Ум £ }.
ЛЕММА. Л={/б^(1),...,х(сг),.у""1]| /(и)еО УиеОр}. Доказательство следует из того, что у является норменным отображением, которое на элементах из 0*р принимает значения в множестве единиц кольца О.
Для О'р удобно следующее представление:
О* ={(х„...,х,) ! V/ х, б О, Э/0х,0 еО*}.
Используя это представление и результаты работы [3], в которой были найдены образующие для алгебры
сформулируем основной результат статьи. ТЕОРЕМА. Многочлены
kJ i
р ' pkJ &•„<», гдеj— 1,..., d, х • является переменой, а
п. = п)^рк> +...+ nfp + 0 < лИ < р, \ \<т< к. -1У Jj 7 ) * О,
(а.) („ р' -1
= "}"*, +... + п)'аи a¡ =----
j ■> J jtj-i
принадлежат Л» и являются образующими вместе с многочленами
f \ d pk~V \
7-1 . N
U'-pH
Замечание. Элементы в теореме являются константами, которые выбираются специальным образом, и процедура их выбора аналогична процедуре выбора соответствующих элементов из работы [3].
Доказательство теоремы следует схеме работы [3]. Принадлежность многочленов Нп (хj) алгебре А* получается из ключения О с: О, а многочлены Нп (xj) целозначны на О. Необходимость добавить многочлены H^\(x^,...,xd) к образующим алгебры At получается из представления для и е 0F в виде
н = «,е, +... + uded,
где и, е О и существует ;'0, такое что uig е О . Поэтому, когда i будет пробегать приведенную систему вычетов по модулю р, для переменной xif), найдется элемент, который попадет в один класс с и^. Следовательно, произведение
р-1
Ш */о - о /=1,0»=1
делится на р. Далее, рассматривая приведенные системы по модулю р , мы находим точные значения показателя a к.
Результаты доказанной теоремы позволяют перейти к описанию алгебр целозначных функций для произвольных алгебраических торов, так как хорошо известно [4], что любой алгебраический тор вкладывается в квазиразложимый тор. Нахождение образующих алгебр целозначных функций является важным для задач классификаций целых форм алгебраических торов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Попов С. Ю. Стандартная целая модель алгебраического тора // Вести. Самар. ун-та, 2001. № 4(22). С. 20 - 54.
2. Kunyyskii В. Е., Moroz В. Z, Voskresenskii V. Е. On integral models of an algebraic torus / Max - Planck - Institut for Mathematic. Preprint Series. Bonn, 2001. № 12.
3. Водолазов A. M. Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вьш. 1. С. П - 19.
4. Воскресенский В. Е. Алгебраические торы. М.: Наука. 1977.
