CC BY
20А. М. ВОДОЛАЗОВ
УДК 512.7
Алгебры целозначных функций для квазиразложимых торов
В теории алгебраических торов изучаются различные виды целых моделей алгебраических торов см [1-3]. При рассмотрении некоторых целых моделей появляются алгебры целозначных функций на алгебраическом торе. В работе [1] поставлены некоторые вопросы, связанные с изучением этих алгебр.
Пусть к толе раднческпх чисел, О — кольцо целых р-аднческпх чисел, Е = О* — группа радических единиц, / = О/О* поле нормирования. Т — алгебраический к-тор. Рассмотрим следующую алгебру
А = {/ е к[Т] | /(и) с О},
где ик — максимальная компактная подгруппа группы Т(к).
Одной из задач, связанной с изучением целых алгебраических моделей торов является задача определения образующих алгебры А. Будет ли она иметь их бесконечное число? В работе [4] найдены образующие для разложимых торов Т = С^, в работе [5] найдены образующие одномерных и некоторых двухмерных торов.
В нашей работе мы будем изучать образующие квазиразложимых торов Т = Яь/к(Ст). Здесь Ь — нормальное расширение поля к, а Я —
функтор ограничения основного поля. Сначала рассмотрим случай, когда Ь является неразветвленным расширением поля к степени п. Нераз-ветвленное расширение Ь получается в результате расширения ] поля нормирования / степени п.
Если а1? а2, • • •, ап — образующие расшпрения / над /, то можно Ь
то
а = Р^^ вгРг,
¿=0
где V Е Zвi Е /? вг = 0 и
п
вг = £ вг(Яаг, ] Е /.
3=1
Причем а — целое в Ь, если V ^ 0 и принадлежит максимальной компактной подгруппе мультипликативной группы, если V = 0. Для элементов из максимальной компактной подгруппы верно следующие представление:
то то
а = £ вгРг = £ агХг,
г=0 г=0
где все хг Е О и существует хотя бы одно г такое, что хг Е О*. Поэтому, образующие алгебры А в этом случае сводятся к образующим алгебры
В = {/ Е к[хъ...,хп] | /(и) С О},
п
где и = и и, и = {(Х1 ,...,Хп) Е Оп | Хг Е О*}.
г=1
Упорядочим произвольным образом элементы поля нормирования / так, чтобы О был минимальным элементом. Продолжим на коль-
то
цо целых О этот порядок. Элемент а = ^ 7¿рг Е О больше элемента
г=0
то
а1 = ^ 7¿рг Е О, если 70 = 7О,... ,7/ = 7/, 7/+1 > 7/+1. Упорядоченное
¿=0
О
рез п биекцию упорядоченного множества О и множества натуральных чисел N с обычным порядком.
Рассмотрим множества и (т), которые получаются факторизацией множества и по модулю рт. Элементы множества и (т) упорядочим следующим образом.
то п
и(х1, . . . , Жп) > и'(х1, . . . ,хП) ^ ^^ ) (ж^),
¿=1 ¿=1
то п
и если = ^^п(ж^), то ж1 = ж1,... , ж = ж^, ж^+1 > ж^+1.
¿=1 ¿=1
Теорема 1. Пусть (г1,..., гп) е Нп и многочлен
п Ъ' ^' = 1 ¿ = 1
делится на точную степень р, равную Б3п 1п на множестве Uj, и на точную степень р, равную ^ на множестве (О*)п. Тогда, многочлены
Н(гь...,гп)(жЪ . . . , Жп) = )(жЬ . . . , Хп)
р
являются образующими алгебры В над О, где
£г1,...,гп = тт{5'11,...,гп, . . . , , 5*1,...,г„ }.
Замечание. Можно выписать точные формулы для нахождения чисел и используя формулы, полученные в работе [4] в теоремах
1 и 3.
Доказательство
Пусть ](ж1,..., жп) произвольный многочлен из к[ж1,..., жп]. Имеет место разложение
/ (ж1, . . . , жп) ^ ^ а«1,...,г„ Нгь...,г„ (ж1, . . . , жп), а«1,...,г„ е к,
так, что все степени многочленов Н пробегают всевозможные наборы из Мп.
Надо доказать, что / Е В тогда и только тогда, когда все аг1,...,гп Е О. Элементы множества и упорядочены таким образом, что при и = = п-1(г1,...,гп), Н(г1 ,...,г„)(и) Е О*, а все многочлены, соответствующие и' > и, Н(п-1(м/))(и) равны нулю.
и Е и
ЦИИ /, мы получим
/(и) = а«1,...,гп■%,...,*„) (и) + Ь
где Ь Е О и /(и) Е О и так как Н(г1,...,гп) Е О*, то аг1,...,гп Е О. Что и завершает доказательство теоремы.
Рассмотрим теперь случай разветвленного расширения с индексом
Р. Ь
те расширения поля нормирования / степей и у, и присоединением корня уравнения п1 = р.
Проводя рассуждения, аналогичные для случая неразветвленного
и
ру:
и = У иг,
г=1
где иг = {(х1, ...,хп) Е Оп| хг Е О*}.
В этом случае верна теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Пусть (г1,..., гп) Е № и многочлен
п
%,...,г„)(хЪ... ,Хп) = ПП(Х3 - П-1(г))
3=1 г=1
делится на точную степень р, равную ¿п на множестве из-, и иа точную степень р, равную ¿п на множестве (О*)п. Тогда, многочлены
Н(гь...,г„)(хЪ . . . , Хп) = р5^,...,,п ^(«1,...,«")(хЬ . . . , Хп)
р
являются образующими алгебры, В над O, где
Sib...,i„ = min{5,11)...)in,..., Sriv..,in, Si,...,i„
Библиографический список
1. В. Е. Kunyvskii, В. Z. Moroz, V. Е. Voskresenskii On integral models of an algebraic torus // Max - Planck - Institut fur Mathematic. Preprint Series, 2001(12).
2. В. E. Воскресенский, Т. В. Фомина Целые структуры в алгебраических торах // Изв. РАН: Сер. матем. 1995. Т. 59:5.
3. Popov S . Yu Voskresenskii V .Е . Galois lattices and reduction of algebraic tori //Communications of Algebra. 2001. N 9.
4. A. M. Водолазов Целые модели разложимых алгебраических торов бесконечного типа // Современные проблемы алгебры, теории чисел и функционального анализа: Межвуз. сб. науч. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2003. Вып.1.
5. А. М. Водолазов Алгебры целозначных функций для алгебраических торов малой размерности //Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10.
УДК 511.23
Г.И. ГУСЕВ
Корневое тождество для рациональных тригонометрических
сумм
Пусть ^ ^ ^^^^ ^^^^отальных чисел, Ъ — кольцо целых чисел, ¥(#) = /М ^ рациональная функция, где f (#) и д(т) — многочлены с целыми коэффициентами, взаимно простые между собой, ¥ '(ж) = /-(Х)
